2023年人教版数学八年级上册13.4《课题学习 最短路径问题》课时练习（教师版）

2023年人教版数学八年级上册13.4《课题学习最短路径问题》课时练习一、选择题已知点A，B是两个居民区的位置，现在准备在墙l边上建立一个垃圾站点P，如图是4位设计师给出的规划图，其中PA＋PB距离最短的是()【答案解析】答案为：D.直线l是一条河，P，Q是两个村庄.欲在L上的某处修建一个水泵站，向P，Q两地供水，现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则所需管道最短的是()【答案解析】答案为：D.A、B是直线l上的两点，P是直线l上的任意一点，要使PA+PB的值最小，那么点P的位置应在()A.线段AB上B.线段AB的延长线上C.线段AB的反向延长线上D.直线l上【答案解析】答案为：A.在如图所示的4×4的正方形网格中，有A、B两点，在直线a上求一点P，使PA+PB最小，则点P应选在(    )A.C点B.D点C.E点D.F点【答案解析】答案为：A.如图，直线l外不重合的两点A，B，在直线l上求作一点C，使得AC+BC的长度最短，作法为：①作点B关于直线l的对称点B/②连接AB/，与直线l相交于点C，则点C为所求作的点． 在解决这个问题时没有运用到的知识或方法是(    )A.转化思想B.三角形的两边之和大于第三边C.两点之间，线段最短D.三角形的一个外角大于与它不相邻的任意一个内角【答案解析】答案为：D.在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，AD⊥BC于D点，且AD=4，若P点在边AC上移动，则BP的最小值是()A.4.5B.4.6C.4.7D.4.8【答案解析】答案为：D.如图，在锐角△ABC中，AB＝AC＝10，S△ABC＝25，∠BAC的平分线交BC于点D，点M，N分别是AD和AB上的动点，则BM＋MN的最小值是()A.4B.C.5D.6【答案解析】答案为：C.如图，点P是∠AOB内任意一点，OP=5cm，点M和点N分别是射线OA和射线OB上的动点，△PMN周长的最小值是5cm，则∠AOB的度数是(    )A.25°B.30°C.35°D.40°【答案解析】答案为：B.如图，点P是∠AOB内任意一点，且∠AOB=40°，点M和点N分别是射线OA和射线OB上的动点，当△PMN的周长取最小值时，∠MPN的度数为(    )A.140°B.100°C.50°D.40°【答案解析】答案为：C.如图，在△ABC中，∠C=90°，∠BAC=30°，AB=8，AD平分∠ BAC，点PQ分别是AB、AD边上的动点，则PQ+BQ的最小值是()A.4B.5C.6D.7【答案解析】答案为：C.二、填空题如图，在△ABC中，AB=AC，AD，CE是△ABC的两条中线，P是AD上一个动点，则BP+EP的最小值等于线段    的长度．【答案解析】答案为：CE.如图，∠BAC=30°，AB=4，点P是射线AC上的一动点，则线段BP的最小值是______．【答案解析】答案为：2.如图，OA、OB分别是线段MC、MD的垂直平分线，MD=5cm，MC=7cm，CD=10cm，一只小蚂蚁从点M出发爬到OA边上任意一点E，再爬到OB边上任意一点F，然后爬回M点处，则小蚂蚁爬行的路径最短为       ．【答案解析】答案为：10cm.如图，CD⊥AB，垂足是D，AC=7，BC=5，CD=4，点E是线段AB上的一个动点(包括端点)，连接CE，那么CE的范围是          ．【答案解析】答案为：4≤CE≤7.如图，在等腰△ABC中，AB=AC，点D在BC边上，连接AD，且CD=5，AD=13，直线EF是腰AC的垂直平分线，若点M在EF上运动，则△CDM周长的最小值为     ． 【答案解析】答案为：18.如图，AC，BD在AB的同侧，AC=2，BD=8，AB=8，点M为AB的中点，若∠CMD=120°，则CD的最大值是_______．【答案解析】答案为：14.解：如图,作点A关于CM的对称点A′,点B关于DM的对称点B′.∵∠CMD=120°,∴∠AMC+∠DMB=60°,∴∠CMA′+∠DMB′=60°,∴∠A′MB′=60°,∵MA′=MB′,∴△A′MB′为等边三角形∵CD≤CA′+A′B′+B′D=CA+AM+BD=2+4+8=14,∴CD的最大值为14.三、作图题八年级(1)班同学做游戏，在活动区域边OP放了一些球(如图)，则小明按怎样的路线跑，去捡哪个位置的球，才能最快拿到球跑到目的地A?【答案解析】解：如图所示： 四、解答题如图，直线m是△ABC中BC边的垂直平分线，点P是直线m上的一动点，若AB=6，AC=4，BC=7，(1)求PA+PB的最小值，并说明理由；(2)求△APC周长的最小值．【答案解析】解：(1)PA+PB＝AB＝6；原因：两点之间，线段最短；(2)∵m是BC的垂直平分线，点P在m上，∴点C关于直线m的对称点是点B，则PB＝PC，∵C△ABC＝AP+PC+AC，∵AC＝4，要使△APC周长最小，即AP+PC最小，当点P是m与AB的交点时，PA+PB最小，即PA+PB＝AB，此时C△APC＝AB+AC＝6+4＝10．如图(1)，要在燃气管道l上修建一个泵站，分别向A、B两镇供气．泵站修在管道的什么地方，可使所用的输气管线最短？你可以在l上找几个点试一试，能发现什么规律？聪明的小华通过独立思考，很快得出了解决这个问题的正确办法．他把管道l看成一条直线(图(2))，问题就转化为，要在直线l上找一点P，使AP与BP的和最小．他的作法是这样的：①作点B关于直线l的对称点B′．②连接AB′交直线l于点P，则点P为所求．请你参考小华的做法解决下列问题．如图在△ABC中，点D、E分别是AB、AC边的中点，BC=6，BC边上的高为4，请你在BC边上确定一点P，使△PDE得周长最小． (1)在图中作出点P(保留作图痕迹，不写作法)．(2)请直接写出△PDE周长的最小值：______．【答案解析】解：(1)作D点关于BC的对称点D′，连接D′E，与BC交于点P，P点即为所求；(2)∵点D、E分别是AB、AC边的中点，∴DE为△ABC中位线，∵BC=6，BC边上的高为4，∴DE=3，DD′=4，∴D′E2=DE2+DD′2=32+42=25，∴D′E=5∴△PDE周长的最小值为：DE+D′E=3+5=8，五、综合题(1)如图1，在AB直线一侧C、D两点，在AB上找一点P，使C、D、P三点组成的三角形的周长最短，找出此点并说明理由．(2)如图2，在∠AOB内部有一点P，是否在OA、OB上分别存在点E、F，使得E、F、P三点组成的三角形的周长最短，找出E、F两点，并说明理由．(3)如图3，在∠AOB内部有两点M、N，是否在OA、OB上分别存在点E、F，使得E、F、M、N，四点组成的四边形的周长最短，找出E、F两点，并说明理由．【答案解析】解：(1)如图1，作C关于直线AB的对称点C′，连接C′D交AB于点P．则点P就是所要求作的点． 理由：在l上取不同于P的点P′，连接CP′、DP′．∵C和C′关于直线l对称，∴PC=PC′，P′C=P′C′，而C′P+DP＜C′P′+DP′，∴PC+DP＜CP′+DP′∴CD+CP+DP＜CD+CP′+DP′即△CDP周长小于△CDP′周长.(2)如图2，作P关于OA的对称点C，关于OB的对称点D，连接CD，交OA于E，OB于F，则点E，F就是所要求作的点．理由：在OA，OB上取不同于E，F的点E′，F′，连接CE′、E′P′，∵C和P关于直线OA对称，∴PE=CE，CE′=PE′，PF=DF，PF′=DF′，∵PE+EF+PF=CE+EF+DF，PE′+PF′+E′F′=CE′+E′F′+DE′，∴CE+EF+DF＜CE′+E′F′+DF′，′∴PE+EF+PF＜PE′+PF′+E′F′(3)如图3，作M关于OA的对称点C，关于OB的对称点D，连接CD，交OA于E，OB于F，则点E，F就是所要求作的点．理由：在OA，OB上取不同于E，F的点E′，F′，连接CE′、E′P′，∵C和P关于直线OA对称，∴PE=CE，CE′=PE′，PF=DF，PF′=DF′，由(2)得知MN+ME+EF+MF＜ME′+E′F′+F′D．