五．自由落体运动[要点导学]1．物体只在___________________________________________叫做自由落体运动。这种运动只在没有空气的空间里才能发生，我们所研究的自由落体运动是实际运动的一种抽象，是一种理想化的运动模型：忽略次要因素（空气阻力）、突出主要因素（重力）。生活中的很多落体问题，如果空气阻力的作用比较小，可以忽略，物体的下落也可以近似看作自由落体运动。因此，对生活中的落体运动进行理想化处理是有实际意义的。2．自由落体运动的特点：物体仅受重力作用；初速度v0=____，加速度a=____，即初速度为零的匀加速直线运动。3． 叫做自由落体加速度，也叫 ，通常用符号_____表示。重力加速度g的方向总是_______________；g的大小随地点的不同而略有变化，在地球表面上赤道处重力加速度最小，数值为________，南、北两极处重力加速度_______，数值为_______；g的大小还随高度的变化而变化，高度越大，g
值______。但这些差异并不是太大，在通常计算中，地面附近的g取9.8m/s2，在粗略的计算中，g还可以取10m/s2。4．自由落体运动是匀变速直线运动在v0=0、a=g时的一个特例,因此其运动规律可由匀变速直线运动的一般规律来推导。速度公式：vt=gt位移公式：h=gt2/2速度与位移的关系式：vt2=2gh在应用自由落体运动的规律解题时，通常选取 方向为正方向。5．重力加速度的测量研究自由落体运动通常有两种方法：用打点计时器研究自由落体运动和用频闪摄影法研究自由落体运动。研究的原理和过程与前面对小车运动的研究相同，在对纸带或照片进行数据处理，计算物体运动的加速时，可以有下面两种方法：(1)图象法求重力加速度以打点计时器研究自由落体运动为例，对实验得到如图2-4-1所示的纸带进行研究。根据匀变速直线运动的一个推论：在一段时间t内的平均速度等于这段时间中间时刻的瞬时速度，有
v1=(x1+x2)/2T，v2=(x2+x3)/2T……求出各计数点的瞬时速度后，由加速度的定义：a=Δv/Δt计算出该物体做匀变速直线运动的加速度；或选好计时起点作v-t图象，图象的斜率即为该匀变速直线运动的加速度。(2)逐差法求重力加速度图2-4-1中x1、x2、x3、…、xn是相邻两计数点间的距离,Δx表示两个连续相等的时间里的位移之差,即Δx1=x2-x1,Δx2=x3-x2,……T是两相邻计数点间的时间间隔且T=0.02n(n为两相邻计数点间的间隔数)。设物体做匀变速直线运动经过计数点0时的初速度为v0，加速度为a，由位移公式得：x1=v0T+aT2/2，x2=v1T+aT2/2，又因为v1=v0+aT，所以Δx=x2-x1=aT2。因为时间T是个恒量，物体的加速度a也是个恒量，因此，Δx必然是个恒量。这表明，只要物体做匀变速直线运动，它在任意两个连续相等时间里的位移之差就一定相等。根据x4-x1=(x4-x3)+(x3-x2)+(x2-x1)=3aT2，可得：a1=(x4-x1)/3T2，同理可得：a2=(x5-x2)/3T2；a3=(x6-x3)/3T2。加速度的平均值为：a=(a1+a2+a3)/3=[(x4-x1)/3T2+(x5-x2)/3T2+(x6-x3)/3T2]/3=[(x4+x5+x6)-(x1+x2+x3)]/9T2
这种计算加速度的方法叫做“逐差法”。如果不用此法，而用相邻的各x值之差计算加速度再求平均值可得：a=[(x2-x1)/T2+(x3-x2)/T2+(x4-x3)/T2+(x5-x4)/T2+(x6-x5)/T2]/5=(x6-x1)/5T2比较可知，逐差法将x1到x6各实验数据都利用了，而后一种方法只用上了x1和x6两个实验数据，所以失去了多个数据正负偶然误差互相抵消的作用，算出的a值误差较大，因此实验中要采用逐差法。[范例精析]例1：甲球的重力是乙球的5倍，甲、乙分别从高H、2H处同时自由落下（H足够大），下列说法正确的是（）A．同一时刻甲的速度比乙大B．下落1m时，甲、乙的速度相同C．下落过程中甲的加速度大小是乙的5倍D．在自由下落的全过程，两球平均速度大小相等解析：甲、乙两球同时作初速度为零、加速度为g的直线运动，所以下落过程的任一时刻两者加速度相同、速度相同，但整个过程中的平均速度等于末速度的一半，与下落高度有关。所以正确选项为B。
拓展：自由落体运动是匀加速直线运动的一个特例，其初速度为零、加速度为g，g的大小与重力大小无关。当问题指明（或有明显暗示）空气阻力不能忽略不计时，物体运动就不再是自由落体运动。例2：水滴由屋檐自由下落，当它通过屋檐下高为1.4m的窗户时，用时0.2s，不计空气阻力，g取10m/s2，求窗台下沿距屋檐的高度。解析：雨滴自由下落，由题意画出雨滴下落运动的示意图如图2-4-2所示,利用自由落体运动的特点和图中的几何关系求解。如图2-4-2所示h1=gt2/2……①h2=gt2/2……②t2=t1+0.2s……③h2=h1+L……④由①②③④解得:g(t1+0.2)2/2=gt12/2+L代入数据得t1=0.6s所以,h2=g(t1+0.2)2=10×0.82/2=3.2m拓展：由该问题的解题过程可以看出，利用平均速度来解题比较方便、简捷。请思考：本题有无其它解题方法，如有，请验证答案。
例3：升降机以速度v＝4.9m/s匀速竖直上升，升降机内的天花板上有一个螺丝帽突然松脱，脱离天花板。已知升降机天花板到其地板的高度为h＝14.7m。求螺丝帽落到升降机地板所需时间。解析：解法一：以地面为参照物求解（1）上升过程：螺丝帽脱离升降机后以v=4.9m/s初速度竖直向上运动上升到最高点时间：t1=-v/(-g)=4.9/9.8=0.5s上升到最高点的位移：h1=(0-v2)/(-2g)=(0-4.92)/(-2×9.8)=1.225m螺丝帽的运动过程如图2-4-3所示，由图中位移约束关系得：h1+h=h2+v(t1+t2)即v2/2g+h=gt22/2+v(t1+t2)v2/2g+h=gt22/2+v(v/g+t2)代入数据化简得：t22+t2-2.75=0解得：t2=1.23s因此，螺丝帽落到升降机地板所需时间t=t1+t2=1.73s解法二：以升降机为参照物求解
我们以升降机为参考系，即在升降机内观察螺丝帽的运动，因为升降机做匀速直线运动，所以相对于升降机而言，螺丝帽的下落加速度仍然是重力加速度。显然，螺丝帽相对于升降机的运动是自由落体运动，相对位移大小即升降机天花板到其地板的高度。由自由落体运动的规律可得h＝gt2/2t＝1.73s拓展：参考系选择不同，不仅物体的运动形式不同，求解时所用的物理规律也可能不同。选择适当的参考系，往往可以使问题的求解过程得到简化。[能力训练]1．某物体从某一较高处自由下落，第1s内的位移是_______m，第2s末的速度是______m/s，前3s内的平均速度是_________m/s（g取10m/s2）。5,20,152．小球做自由落体运动，它在前ns内通过的位移与前（n+1）s内通过的位移之比是_____________。n2/(n+1)23．一物体从高处A点自由下落，经B点到达C点，已知B点的速度是C点速度的3/4，BC间距离是7m，则AC间距离是__________m（g取10m/s2）。16
4．一物体从高H处自由下落，当其下落x时，物体的速度恰好是着地时速度的一半，由它下落的位移x=__________H/45．关于自由落体运动的加速度g,下列说法中正确的是(B)A．重的物体的g值大B．同一地点,轻重物体的g值一样大C．g值在地球上任何地方都一样大D．g值在赤道处大于在北极处6．一个铁钉与一个小棉花团同时从同一高处下落,总是铁钉先落地,这是因为(C)A．铁钉比棉花团重B．铁钉比棉花团密度大C．棉花团的加速度比重力加速度小得多D．铁钉的重力加速度比棉花团的大7．甲物体的重力是乙物体重力的3倍，它们从同一高度处同时自由下落，由下列说法正确的是（C）A．甲比乙先着地B．甲比乙的加速度大C．甲、乙同时着地D．无法确定谁先着地8．自由下落的物体，自起点开始依次下落相等高度所用的时间之比是（D）
A．1/2B．1/3C．1/4D．(+1):19．自由落体运动的v-t图象应是图2-4-4中的(B)10．一个物体从20m高的地方下落,到达地面时的速度是多大?落到地面用了多长时间?(取g=10m/s2)20m/s,2s11.气球以4m/s的速度匀速竖直上升,它上升到217m高处时,一重物由气球里掉落,则重物要经过多长时间才能落到地面?到达地面时的速度是多少?(不计空气阻力,g=10m/s2)。7.0s,66m/s12．如图2-4-5所示,把一直杆AB自然下垂地悬挂在天花板上,放开后直杆做自由落体运动,已知直杆通过A点下方3.2m处一点C历时0.5s,求直杆的长度是多少?(不计空气阻力,g=10m/s2).2.75m
13．某同学利用打点时器测量学校所在地的重力加速度，得到如图2-4-6所示的一条纸带，测得相邻计数点间的距离在纸带上已标出，已知打点计时器的周期为0.02s；请根据纸带记录的数据，计算该学校所在地的重力加速度为多少？9.72~9.78m/s2
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