5 自由落体运动6伽利略对自由落体运动的研究[学科素养与目标要求] 物理观念：1.知道物体做自由落体运动的条件，知道自由落体运动是初速度为零的匀加速直线运动.2.掌握自由落体加速度.3.能够运用自由落体运动的规律和特点解决有关问题．科学探究：1.会通过实验探究自由落体运动的规律、测量自由落体加速度.2.了解伽利略研究自由落体运动的科学方法．一、自由落体运动1．定义：物体只在重力作用下从静止开始下落的运动．2．运动性质：初速度为0的匀加速直线运动．3．物体的下落可看做自由落体运动的条件：空气阻力的作用比较小，可以忽略．二、自由落体加速度1．定义：在同一地点，一切物体自由下落的加速度都相同，这个加速度叫做自由落体加速度，也叫做重力加速度，通常用g表示．2．方向：竖直向下．3．大小(1)在地球上不同的地方，g的大小一般是不同的(填“不同”或“相同”)，g值随纬度的增大而逐渐增大．(2)一般取值：g＝9.8m/s2或g＝10m/s2.三、伽利略对自由落体运动的研究1．亚里士多德的观点：物体下落的快慢是由它们的重量决定的．2．伽利略的研究：(1)逻辑归谬：伽利略从亚里士多德的论断出发，通过逻辑推理，否定了“重物比轻物落得快”的论断．(2)猜想与假说：伽利略猜想自由落体运动是一种最简单的变速运动，它的速度应该是均匀变化的．(3)数学推理：伽利略通过数学推理得出初速度为0的匀变速运动的位移与所用时间的二次方成正比，即x∝t2.(4)间接验证：让小球从斜面上的不同位置滚下，测出小球滚下的位移x和所用时间t.实验表明：小球沿斜面滚下的运动是匀加速直线运动；斜面倾角一定时，小球的加速度相同；小球的加速度随斜面倾角的增大而增大．
(5)合理外推：伽利略认为当斜面倾角为90°时，小球将自由下落，仍会做匀加速直线运动．1．判断下列说法的正误．(1)在空气中自由释放的物体都做自由落体运动．( × )(2)物体只在重力作用下的运动是自由落体运动．( × )(3)自由落体加速度的方向垂直地面向下．( × )(4)伽利略通过实验的观察与计算，直接得到自由落体运动的规律．( × )2．质量为2m的物体A从高h处由静止下落，质量为m的物体B从高h处由静止下落，不计空气阻力，则A、B两物体下落的加速度之比为；下落时间之比为tA∶tB＝；落地前瞬间的速度之比vA∶vB＝.答案 1∶1 2∶1 2∶1一、自由落体运动与自由落体加速度1．自由落体运动(1)自由落体运动实质上是初速度v0＝0、加速度a＝g的匀加速直线运动，是匀变速直线运动的一个特例．(2)自由落体是一种理想化模型，这种模型忽略了次要因素——空气阻力，突出了主要因素——重力．实际上，物体下落时由于受空气阻力的作用，并不做自由落体运动．(3)运动图象：自由落体运动的v－t图象(如图1)是一条过原点的倾斜直线，斜率k＝g.图12．自由落体加速度(重力加速度)(1)方向：总是竖直向下，但不一定垂直地面；(2)大小：①在同一地点，重力加速度都相同．②地球上纬度不同的地点重力加速度不同，其大小随纬度的增加而增大，赤道上最小，两极处最大，但各处的重力加速度都接近于9.8m/s2，因此一般计算中g取9.8m/s2或10m/s2.例1 (多选)下列说法正确的是( )A．初速度为零、竖直向下的匀加速直线运动是自由落体运动B．仅在重力作用下的运动叫做自由落体运动
C．物体只在重力作用下从静止开始下落的运动叫做自由落体运动D．当空气阻力可以忽略不计时，物体由静止开始自由下落的运动可视为自由落体运动答案 CD解析 自由落体运动是物体只在重力作用下由静止开始下落的运动，选项A、B错误，C正确．当空气阻力可以忽略不计时，物体由静止开始自由下落的运动也可视为自由落体运动，选项D正确．二、自由落体运动的规律1．自由落体运动的基本公式匀变速直线运动规律自由落体运动规律2．匀变速直线运动的一切推论公式，如平均速度公式、位移差公式、初速度为零的匀变速直线运动的比例式，都适用于自由落体运动．例2 (2019·月考)从离地面500m处自由落下一个小球，不计空气阻力，取g＝10m/s2，求：(1)小球落到地面需要的时间；(2)开始下落后第1s内的位移大小和最后1s内的位移大小；(3)下落时间为总时间一半时的位移大小．答案 (1)10s (2)5m 95m (3)125m解析 (1)小球做自由落体运动，根据h＝gt2可得t＝＝s＝10s.(2)第1s内的位移h1＝gt12＝×10×12m＝5m前9s内的位移h9＝gt92＝×10×92m＝405m最后1s内的位移h10＝h－h9＝500m－405m＝95m.(3)t′＝＝5s位移h5＝gt′2＝×10×52m＝125m.例3 如图2所示，一滴雨滴从离地面20m高的楼房屋檐自由下落，下落途中用Δt＝0.2s的时间通过一个窗口，窗口的高度为2m，g取10m/s2，求：
图2(1)雨滴落地时的速度大小；(2)雨滴落地前最后1s内的位移大小；(3)屋檐离窗的上边框有多高？答案 (1)20m/s (2)15m (3)4.05m解析 (1)设雨滴自由下落时间为t，根据自由落体运动公式h＝gt2得t＝2s.则雨滴落地时的速度v＝gt＝20m/s.(2)雨滴在第1s内的位移为h1＝gt12＝5m则雨滴落地前最后1s内的位移大小为h2＝h－h1＝15m.(3)由题意知窗口的高度为h3＝2m，设屋檐距窗的上边框h0，雨滴从屋檐运动到窗的上边框的时间为t0，则h0＝gt02又h0＋h3＝g(t0＋Δt)2联立解得h0＝4.05m.三、自由落体运动的实验探究1．实验器材打点计时器、纸带、复写纸、带铁夹的铁架台、几个质量不同的重物、夹子、交流电源、毫米刻度尺．
2．探究过程图3(1)如图3所示将打点计时器竖直固定在铁架台上，连接好电路．(2)令纸带穿过两个限位孔，下端用夹子夹到重物上，让重物靠近打点计时器．(3)用手捏住纸带上端把纸带拉成竖直状态，启动计时器，释放纸带让重物自由下落，重物落地后立刻关闭电源，打点计时器就在纸带上打下一系列的点．(4)改变重物的质量，重复几次上面的实验，选取一条点迹清晰的纸带进行处理．3．数据处理(1)用刻度尺测量打点计时器打出的纸带上的点之间的距离．(2)用vn＝求出各点的速度，作v－t图象，图象应为一条过原点向上倾斜的直线．(3)根据v－t图象的斜率求加速度，或根据Δx＝aT2计算加速度．4．实验结论自由落体运动是初速度为零、加速度恒定(约为9.8m/s2，与物体的质量无关)的匀加速直线运动．例4 某同学用如图4甲所示的装置测定重力加速度．图4(1)电火花计时器的工作电压为．(2)打出的纸带如图乙所示，实验时是纸带的(填“A”或“B”)端和重物相连接．
(3)纸带上1至9各点为计时点，由纸带所示数据可算出实验时重物的加速度为m/s2.(电火花计时器的工作频率为50Hz)(4)当地的重力加速度为9.8m/s2，该测量值与当地重力加速度的值有差异的一个原因是．答案 (1)220V (2)B (3)9.4 (4)受摩擦力和空气阻力作用解析 (1)电火花计时器的工作电压为220V.(2)由于各点之间时间间隔均为T＝0.02s，重物下落过程中速度越来越大，故相邻两点间距离越来越大，由此可知，B端与重物相连．(3)由Δx＝aT2得x23－x78＝5aT2，解得a＝＝9.4m/s2.(4)重物拖着纸带下落时受到摩擦力和空气阻力的作用，加速度必然小于重力加速度．研究自由落体运动、测定自由落体加速度常用的其他方法1.频闪照相法(1)频闪照相机可以间隔相等的时间拍摄一次，利用频闪照相机的这一特点可追踪记录做自由落体运动的物体在各个时刻的位置，如图5.图5(2)根据匀变速直线运动的推论Δh＝gT2可求出重力加速度g＝.也可以根据＝＝，求出物体在某两个时刻的速度，由g＝，求出重力加速度g.2．滴水法(1)让水滴落到垫起来的盘子上，可以清晰地听到水滴碰盘子的声音，细心地调整水龙头的阀门，使第一个水滴碰到盘子听到响声的瞬间，注视到第二个水滴正好从水龙头滴水处开始下落．(2)听到某个响声时开始计时，并数0，以后每听到一次响声，顺次加1，直到数到N，停止计时，表上时间的读数是T.(3)用米尺量出水龙头滴水处到盘子的距离为h.(4)由h＝gt2和t＝得g＝＝＝.
1．(自由落体加速度)(多选)关于自由落体运动及重力加速度的说法，正确的是( )A．竖直向下的运动一定是自由落体运动B．熟透的苹果从树枝静止下落的运动可被视为自由落体运动C．同一地点，轻重物体的g值一样大D．g值在赤道处大于在北极处答案 BC解析 物体做自由落体运动的条件是初速度为零且只受重力作用，A错；熟透的苹果在下落过程中虽受空气阻力作用，但该阻力远小于它的重力，可以忽略该阻力，故可将该过程视为自由落体运动，B对；同一地点，重力加速度g值都相同，与质量无关，C对；g值在赤道处小于北极处，D错．2．(自由落体运动规律的应用)(2018·棠湖中学高一期末统考)做自由落体运动的甲、乙两物体所受的重力之比为2∶1，下落高度之比为1∶2，则( )A．下落过程中的加速度之比为2∶1B．下落时间之比为1∶2C．落地速度之比为1∶D．若甲、乙同时下落，在甲落地前，两者间的距离越来越近答案 C解析 自由落体运动的加速度相等，A错误；由h＝gt2得t1∶t2＝1∶，B错误；再由v＝gt得v1∶v2＝1∶，C正确；若两者同时下落，在相等的时间内下落的位移相等，故两者间的距离保持不变，D错误．3．(自由落体运动规律的应用)(2019·月考)一名宇航员在某星球上完成自由落体运动实验，让一个质量为1kg的小球从一定的高度自由下落，测得在第5s内的位移是18m，此时小球未着地，则( )A．小球在2s末的速度是20m/sB．小球在第5s内的平均速度是3.6m/sC．该星球上的重力加速度为5m/s2D．小球在5s内的位移是50m答案 D解析 小球在第5s内的位移是18m，则第5s内的平均速度v
＝18m/s，B错误；第5s内的平均速度等于4.5s时刻的速度，故该星球上，宇航员所在处的重力加速度g＝m/s2＝4m/s2，C错误；小球在2s末的速度v2＝gt2＝8m/s，A错误；小球在5s内的位移h＝gt52＝50m，D正确.4．(自由落体运动规律的应用)(多选)物体从某高度处开始做自由落体运动，从开始到落到地面的平均速度为10m/s(g取10m/s2)，则下列说法正确的是( )A．下落一半高度时的瞬时速度为10m/sB．落地瞬间的速度是20m/sC．物体下落的高度是20mD．第3s内物体下落25m答案 BC解析 根据平均速度＝，解得物体落地的速度v＝2×10m/s＝20m/s；根据v2＝2gh，v′2＝2g·得，下落一半高度时的速度v′＝v＝10m/s，故A错误，B正确．物体下落的高度h＝＝m＝20m，故C正确．物体落地的时间t＝＝s＝2s，则第3s内下落的位移为零，故D错误．一、选择题考点一 自由落体运动与自由落体加速度1．(多选)关于自由落体运动，下列说法正确的是( )A．初速度为零的竖直向下的运动是自由落体运动B．只在重力作用下的竖直向下的运动是自由落体运动C．自由落体运动在任意相等的时间内速度变化量相等D．自由落体运动是初速度为零、加速度为g的匀加速直线运动答案 CD解析 初速度为零的竖直向下的运动，有可能受到空气阻力或其他力的影响，下落的加速度不等于g，这样就不是自由落体运动，故选项A错误；只在重力作用下竖直向下运动的物体，可能具有初速度，不是自由落体运动，所以选项B错误；因自由落体运动是匀变速直线运动，加速度恒定，由加速度的概念a＝可知，Δv＝gΔt，所以若时间相等，则速度的变化量相等，故选项C正确；根据自由落体运动的性质判定选项D正确．
2．下列关于自由落体运动的说法正确的是( )A．自由落体运动是一种初速度为零的匀加速直线运动B．从竖直上升的热气球吊篮中掉下的物体的运动是自由落体运动C．在空气中下落的雪花的运动是自由落体运动D．只在重力作用下的运动必定是自由落体运动答案 A解析 自由落体运动是初速度为零、加速度为g的匀加速直线运动，故A正确；从竖直上升的热气球吊篮中掉下来的物体具有向上的初速度，所以不是自由落体运动，故B错误；在空气中下落的雪花受到的空气阻力不能忽略不计，不是自由落体运动，故C错误；只在重力作用下但初速度不为零的运动不是自由落体运动，故D错误．3．(多选)下列关于重力加速度的说法正确的是( )A．重力加速度g是标量，只有大小，没有方向B．在地球上的不同地方，g的大小是不同的，但差别不大C．在地球上同一地点，轻石块与重石块做自由落体运动的加速度是相同的D．纬度越低的地方，重力加速度g值越小答案 BCD解析 重力加速度是矢量，方向总是竖直向下．地球上同一地点，一切物体做自由落体运动的加速度都是相同的，地球上不同地方g的大小是不同的，但差别不大，纬度越低的地方，g值越小．故正确答案为B、C、D.考点二 自由落体运动规律的应用4．一石块从楼房阳台边缘向下做自由落体运动到达地面，把它在空中运动的时间分为相等的三段，如果它在第一段时间内的位移是1.2m，那么它在第三段时间内的位移是( )A．1.2mB．3.6mC．6.0mD．10.8m答案 C解析 将该自由落体运动的时间分成了相等的三段，由其规律知：第T内、第2T内、第3T内的位移之比为xⅠ∶xⅡ∶xⅢ＝1∶3∶5，第一段时间内的位移为1.2m，则第三段时间内的位移为x＝1.2×5m＝6.0m，故选C.5．(多选)一小球从空中由静止释放，不计空气阻力(g取10m/s2)．下列说法正确的是( )A．第2s末小球的速度为20m/sB．前2s内小球的平均速度为20m/sC．第2s内小球的位移为10mD．前2s内小球的位移为20m答案 AD
解析 小球做自由落体运动，第2s末小球的速度为v＝gt＝10×2m/s＝20m/s，故A正确；前2s内小球的位移为h2＝gt2＝×10×22m＝20m，前2s内小球的平均速度为＝＝m/s＝10m/s，故B错误，D正确；第1s内小球的位移为h1＝gt12＝×10×12m＝5m，故第2s内小球的位移为Δh＝h2－h1＝20m－5m＝15m，故C错误．6．(多选)从一座塔顶自由落下一石子，忽略空气阻力，如果已知重力加速度大小，再加上下列哪项条件即可求出塔顶高度( )A．最后1m内石子下落的时间tB．第1s末和第2s末的速度C．最初1s内石子下落的高度D．最后1s内石子下落的高度答案 AD解析 知道最后1m内石子下落的时间t，结合位移公式x＝v0t＋gt2，速度公式vt＝v0＋gt，即可求出物体的末速度，再根据vt2＝2gh可得塔的高度h＝，故A正确；知道第1s末和第2s末的速度无法求解出运动的总时间，也不能求解末速度，故无法求解塔高，故B错误；知道最初1s内的位移，无法求解出运动的总时间，也不能求解末速度，故无法求解塔高，故C错误；知道最后1s内石子的位移，同A项类似，即可求得塔的高度，故D正确．7．(多选)甲、乙两物体，m甲＝2m乙，甲从2H高处自由落下，1s后乙从H(H>1m)高处落下，不计空气阻力，在两物体落地之前，正确的说法是( )A．同一时刻甲的速度大B．同一时刻两物体的速度相同C．各自下落1m时，两物体速度相同D．落地之前甲和乙的高度之差不断增大答案 AC解析 因为甲、乙物体都做自由落体运动，它们的初速度为零，加速度为g，甲任意时刻的速度为：v＝gt，乙任意时刻的速度v′＝g(t－1)，所以两物体下落过程中，在同一时刻甲的速度大于乙的速度，故A正确，B错误；各自下落1m时，根据速度时间关系公式，有：v2＝2gh，故v＝＝m/s＝2m/s，两物体速度相同，C正确；1s后，相对于乙物体，甲向下做匀速直线运动．若甲自由下落1s时甲在乙的上方，则落地之前甲和乙的高度之差先减小后增大，若甲自由下落1s时甲在乙的下方，则落地之前甲和乙高度之差不断增大，由于不知道题目中H的具体数值，故D错误．
8．物体从某一高度自由下落，第1s内就通过了全程的一半，物体还要下落多长时间才会落地( )A．1sB．1.5sC.sD．(－1)s答案 D解析 初速度为零的匀变速直线运动，经过连续相同的位移所用时间之比为1∶(－1)∶(－)∶…，所以物体下落后半程的时间为(－1)s，故D正确．9.(多选)(2018·济宁市期中)小球从竖直砖墙某位置由静止释放，用频闪照相机在同一底片上多次曝光，得到了如图1中1、2、3、4、5所示的小球在运动过程中每次曝光的位置．连续两次曝光的时间间隔均为T，每块砖的厚度均为d.根据图中的信息，下列判断正确的是( )图1A．位置1是小球释放的初始位置B．小球做匀加速直线运动C．小球下落的加速度为D．小球在位置3的速度为答案 BCD解析 小球做自由落体运动，从静止开始运动的连续相等时间内的位移之比为1∶3∶5∶7∶…，而题图中位移之比为2∶3∶4∶5∶…，故位置1不是小球释放的初始位置，选项A错误，B正确．由a＝得a＝，选项C正确．小球在位置3的速度v3＝＝，选项D正确．10.(多选)如图2所示，在一个水平桌面上方有三个金属小球a、b、c，高度分别为h1、h2、h3，且h1∶h2∶h3＝3∶2∶1.若先后由静止依次释放小球a、b、c，三小球刚好同时落到桌面上，不计空气阻力，则( )
图2A．三小球到达桌面时的速度大小之比是3∶2∶1B．三小球运动时间之比为∶∶1C．小球b与a开始下落的时间差小于c与b开始下落的时间差D．小球b与a开始下落的时间差大于c与b开始下落的时间差答案 BC解析 由v2＝2gh，得v＝，则三小球落到桌面时的速度大小之比v1∶v2∶v3＝∶∶1，A错误；又由t＝可得三小球运动时间之比t1∶t2∶t3＝∶∶1，B正确；设小球b与a开始下落的时间差为Δt1，小球c与b开始下落的时间差为Δt2，则由B选项的分析可得Δt1∶Δt2＝(－)∶(－1)，比值小于1，因此小球b与a开始下落的时间差小于c与b开始下落的时间差，C正确，D错误．二、非选择题11．一位同学进行“用电磁打点计时器测量自由落体加速度”的实验．(1)现有下列器材可供选择：铁架台、电火花计时器及墨粉纸、电磁打点计时器及复写纸、纸带若干、220V交流电源、低压直流电源、天平、秒表、导线、开关．其中不必要的器材是：；缺少的器材是．(2)这位同学从打出的几条纸带中，挑出较为理想的一条纸带．把开始打的第一个点标记为A，随后连续的几个点依次标记为B、C、D、E和F，测量出各点间的距离，如图3所示．已知电磁打点计时器的工作频率为50Hz，则由该纸带求出的自由落体加速度为m/s2(保留3位有效数字)；比标准值(填“偏大”或“偏小”)．图3(3)产生该实验误差的主要来源是；可用的方法减小该误差．答案 (1)电火花计时器及墨粉纸、220V交流电源、低压直流电源、天平、秒表 6V以下低压交流电源、刻度尺、重物 (2)9.58 偏小 (3)空气的阻力和纸带的摩擦 增大重物重力12．某校物理兴趣小组为了了解高空坠物的危害，将一只鸡蛋从高楼上静止释放，经过4s鸡蛋刚好着地．忽略空气阻力的作用，g取10m/s2，求：(1)鸡蛋释放时距离地面的高度；(2)鸡蛋在下落过程中的平均速度大小；(3)鸡蛋下落过程中第4s内的位移大小．答案 (1)80m (2)20m/s (3)35m
解析 (1)由h＝gt2，可得：h＝×10×42m＝80m.(2)下落过程的平均速度大小为：＝＝m/s＝20m/s.(3)前3s内的位移大小h′＝gt32＝×10×32m＝45m，故第4s内的位移大小Δh＝h－h′＝35m.13.(2019·奉新一中高一上学期期末)如图4所示，直杆长l1＝0.5m，圆筒高l2＝3.7m．直杆位于圆筒正上方H＝0.8m处．直杆从静止开始做自由落体运动，并能竖直穿过圆筒(g取10m/s2)，求：图4(1)直杆下端刚到圆筒上端的时间；(2)直杆穿越圆筒所用的时间．答案 (1)0.4s (2)0.6s解析 设直杆下端到达圆筒上端的时间为t1，上端离开圆筒下端的时间为t2(1)根据自由落体运动规律有H＝gt12，解得t1＝s＝0.4s.(2)根据自由落体运动规律有l1＋H＋l2＝gt22，解得t2＝s＝1s，则直杆穿越圆筒所用的时间t＝t2－t1＝0.6s.14．跳伞运动员做低空跳伞表演，他离开飞机后先做自由落体运动，当距离地面125m时打开降落伞，伞张开后运动员就以14.3m/s2的加速度做匀减速直线运动，到达地面时的速度为5m/s，取g＝10m/s2.问：(1)运动员离开飞机时距地面的高度为多少？(2)离开飞机后，运动员经过多长时间才能到达地面？(结果保留三位有效数字)答案 (1)305m (2)9.85s解析 (1)设运动员自由下落的高度为h1，则此时速度为v1，有v12＝2gh1①打开降落伞做匀减速运动时满足：v22－v12＝2ah2②式中v2＝5m/s，a＝－14.3m/s2，h2＝125m
联立①②解得h1＝180m所以总高度为H＝h1＋h2＝305m(2)设第一过程经过的时间是t1，有t1＝第二过程经过的时间是t2，有t2＝所以总时间为t＝t1＋t2≈9.85s
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