5 自由落体运动6 伽利略对自由落体运动的研究[学习目标] 1.知道物体做自由落体运动的条件，知道自由落体运动是初速度为零的匀加速直线运动.2.会探究自由落体运动的规律，掌握自由落体加速度.3.能够运用自由落体运动的规律和特点解决有关问题.一、自由落体运动1.定义：物体只在重力作用下从静止开始下落的运动.2.运动性质：初速度为0的匀加速直线运动.3.物体的下落可看做自由落体运动的条件：空气阻力的作用比较小，可以忽略.二、自由落体加速度1.定义：在同一地点，一切物体自由下落的加速度都相同，这个加速度叫自由落体加速度，也叫重力加速度，通常用g表示.2.方向：竖直向下.3.大小(1)在地球上不同的地方，g的大小一般是不同的(填“不同”或“相同”)；(2)一般取值：g＝9.8m/s2或g＝10m/s2.三、伽利略对自由落体运动的研究1.亚里士多德的观点：物体下落的快慢是由它们的重量决定的.2.伽利略的研究：(1)逻辑归谬：伽利略从亚里士多德的论断出发，通过逻辑推理，否定了“重物比轻物落得快”的论断.(2)猜想与假说：伽利略猜想自由落体运动是一种最简单的变速运动，它的速度应该是均匀变化的.(3)数学推理：伽利略通过数学推理得出初速度为0的匀变速运动的位移与所用时间的二次方成正比，即x∝t2.(4)间接验证：让小球从斜面上的不同位置滚下，测出小球滚下的位移x和所用时间t.实验表明：小球沿斜面滚下的运动是匀加速直线运动；斜面倾角一定时，小球的加速度相同；小球的加速度随斜面倾角的增大而增大.(5)合理外推：伽利略认为当斜面倾角为90°时，小球将自由下落，仍会做匀加速直线运动.
1.判断下列说法的正误.(1)在空气中自由释放的物体都做自由落体运动.(×)(2)物体只在重力作用下的运动是自由落体运动.(×)(3)自由落体加速度的方向垂直地面向下.(×)(4)伽利略通过实验的观察与计算，直接得到自由落体运动的规律.(×)2.一物体从塔顶做自由落体运动，经过3s落地，取g＝10m/s2，则物体落地时的速度v＝________m/s，方向；塔高H＝m.答案 30 竖直向下 45【考点】自由落体运动规律的应用【题点】自由落体运动公式的应用一、自由落体运动1.自由落体运动(1)自由落体运动实质上是初速度v0＝0、加速度a＝g的匀加速直线运动，是匀变速直线运动的一个特例.(2)自由落体运动是一种理想化的运动模型.只有当空气阻力比重力小得多，可以忽略时，物体的下落才可以当做自由落体运动来处理.(3)运动图象：自由落体运动的v－t图象(如图1)是一条过原点的倾斜直线，斜率k＝g.图12.自由落体加速度(重力加速度)(1)方向：总是竖直向下，但不一定垂直地面；(2)大小：①在同一地点，重力加速度都相同.②地球上纬度不同的地点重力加速度不同，其大小随纬度的增加而增大，赤道上最小，两极处最大，但各处的重力加速度都接近于9.8m/s2，因此一般计算中g取9.8m/s2或10m/s2.例1 关于自由落体运动，下列说法正确的是( )A.质量大的物体自由下落时的加速度大B.雨滴下落的过程是自由落体运动C.从水平飞行着的飞机上释放的物体将做自由落体运动
D.从二楼阳台由静止释放的石块，可近似看做自由落体运动答案 D解析 自由下落的物体的加速度相同，都是重力加速度g，A错误；雨滴下落过程中的空气阻力不能忽略，B错误；从水平飞行着的飞机上释放的物体不是从静止开始下落即初速度不为零，C错误；从二楼阳台由静止释放的石块，重力远大于阻力，可近似看做自由落体运动，D正确.【考点】自由落体运动【题点】自由落体运动的理解二、自由落体运动的规律1.自由落体运动的基本公式匀变速直线运动规律自由落体运动规律2.匀变速直线运动的一切推论公式，如平均速度公式、位移差公式、初速度为零的匀变速直线运动的比例式，都适用于自由落体运动.例2 一物体做自由落体运动，落地时速度是30m/s(g取10m/s2).问：(1)它下落到地面所需时间？(2)它开始下落时的高度？(3)它在最后1s内下落的高度？答案 (1)3s (2)45m (3)25m解析 (1)由v＝gt得：t＝＝s＝3s(2)方法一 根据v2＝2gh，则下落的高度为：h＝＝m＝45m.方法二 h＝·t＝×3m＝45m.方法三 h＝gt2＝×10×32m＝45m.方法四 v－t图象.h＝×3×30m＝45m.(3)物体在前2s内的位移为：x＝gt22＝×10×4m＝20m，
所以最后1s内的位移：x′＝h－x＝45m－20m＝25m.【考点】自由落体运动规律的应用【题点】自由落体运动公式的应用例3 如图2所示，一滴雨滴从离地面20m高的楼房屋檐自由下落，下落途中用Δt＝0.2s的时间通过一个窗口，窗口的高度为2m，g取10m/s2，问：图2(1)雨滴落地时的速度大小；(2)雨滴落地前最后1s内的位移大小；(3)屋檐离窗的上边框有多高？答案 (1)20m/s (2)15m (3)4.05m解析 (1)设雨滴自由下落时间为t，根据自由落体运动公式h＝gt2得t＝2s.则雨滴落地时的速度v＝gt＝20m/s.(2)雨滴在第1s内的位移为h1＝gt12＝5m则雨滴落地前后最后1s内的位移大小为h2＝h－h1＝15m.(3)由题意知窗口的高度为h3＝2m，设屋檐距窗的上边框h0，雨滴从屋檐运动到窗的上边框时间为t0，则h0＝gt02.又h0＋h3＝g(t0＋Δt)2联立解得h0＝4.05m.【考点】自由落体运动规律的应用【题点】自由落体运动公式的应用三、伽利略对自由落体运动的研究例4 针对伽利略对自由落体运动的研究内容及过程，有以下叙述：①伽利略后来借助数学知识发现，如果速度与位移成正比，将会推导出复杂的结论；②伽利略做了大胆的猜想即落体运动应该是一种简单的运动，落体的速度与时间或位移成正比；③伽利略通过逻辑推理得出亚里士多德的结论是错误的；
④伽利略通过铜球沿阻力很小的斜面滚下这一严谨求实的实验测定，得出只要斜面的倾角一定，铜球的加速度不变，他进一步设想当倾角为90°时，运动变为自由落体运动，其性质不变，且所有物体下落的加速度都一样，至此人类终于认识到自由落体运动是匀变速直线运动了.根据伽利略研究的真实过程，请你做出科学合理的排序，你认为正确的是( )A.①②③④B.③②①④C.②①③④D.②③①④答案 B解析 伽利略对自由落体运动的研究过程是这样的：伽利略通过逻辑推理得出亚里士多德的结论是错误的；伽利略做了大胆的猜想即落体运动应该是一种简单的运动，落体的速度与时间或位移成正比；伽利略借助数学知识发现，如果速度与位移成正比，将会得到复杂的结论；伽利略通过铜球沿阻力很小的斜面滚下这一严谨求实的实验测定，得出只要斜面的倾角一定，铜球的加速度不变，他进一步设想当倾角为90°时，运动变为自由落体运动，其性质不变，且所有物体下落的加速度都一样，至此人类终于认识到自由落体运动是匀变速直线运动.故正确的顺序为③②①④，故B正确.【考点】伽利略对自由落体运动的研究【题点】伽利略对自由落体运动的研究1.(自由落体加速度)(多选)关于自由落体运动及重力加速度的说法，正确的是( )A.竖直向下的运动一定是自由落体运动B.熟透的苹果从树枝开始下落的运动可被视为自由落体运动C.同一地点，轻重物体的g值一样大D.g值在赤道处大于在北极处答案 BC解析 物体做自由落体运动的条件是初速度为零且只受重力作用，A错；熟透的苹果在下落过程中虽受空气阻力作用，但该阻力远小于它的重力，可以忽略该阻力，故可将该过程视为自由落体运动，B对；同一地点，重力加速度都相同，与质量无关，C对；赤道处g值小于北极处，D错.【考点】自由落体加速度【题点】自由落体加速度的理解2.(伽利略对自由落体运动的研究)(多选)图3大致地表示了伽利略探究自由落体运动的实验和思维过程，对于此过程的分析，以下说法正确的是( )
图3A.其中的甲图是实验现象，丁图是经过合理的外推得出的结论B.其中的丁图是实验现象，甲图是经过合理的外推得出的结论C.运用甲图的实验，可“冲淡”重力的作用，使实验现象更明显D.运用丁图的实验，可“放大”重力的作用，使实验现象更明显答案 AC【考点】伽利略对自由落体运动的研究【题点】伽利略对自由落体运动的研究3.(自由落体运动规律的应用)一物体从H高处自由下落，经时间t落地，则当它下落时，离地的高度为( )A.B.C.D.答案 C解析 解法一 根据h＝gt2，下落高度与时间的平方成正比，所以下落时，下落高度为，离地高度为.解法二 把下落的时间平均分成两段，则这两段内的位移之比是1∶3，所以当物体下落时，离地高度h＝H＝H.【考点】自由落体运动规律的应用【题点】自由落体运动规律的应用4.(自由落体运动规律的应用)屋檐每隔相同的时间间隔滴下一滴水，当第5滴正欲滴下时，第1滴刚好到地面，而第3滴与第2滴分别位于高为1m的窗子的上、下沿，如图4所示，不计空气阻力.求此屋檐离地面的高度及滴水的时间间隔.(g取10m/s2)
图4答案 3.2m 0.2s解析 方法一 利用基本规律求解设屋檐离地面的高度为x，滴水时间间隔为T，则：第2滴水的位移x2＝g(3T)2①第3滴水的位移x3＝g(2T)2②又因为x2－x3＝1m.③联立①②③式解得T＝0.2s.屋檐离地面的高度为x＝g(4T)2＝×10×(4×0.2)2m＝3.2m.方法二 用比例法求解由于初速度为零的匀加速直线运动从开始运动起，在连续相等的时间间隔内的位移之比为1∶3∶5∶7∶…∶(2n－1)，据此令相邻两水滴之间的间距从上到下依次是x0、3x0、5x0、7x0显然，窗高为5x0，即5x0＝1m,得x0＝0.2m屋檐离地面的高度为x＝x0＋3x0＋5x0＋7x0＝16x0＝3.2m.由x＝gt2知，滴水时间间隔为t＝＝s＝0.2s.方法三 用平均速度求解设滴水时间间隔为T，则水滴经过窗子的过程中的平均速度为＝＝水滴下落2.5T时的速度为v＝2.5gT由于＝v，故有＝2.5gT，解得T＝0.2s屋檐离地面的高度为x＝g(4T)2＝3.2m.【考点】自由落体运动规律的应用【题点】自由落体运动规律的应用一、选择题考点一 自由落体运动
1.小明发现从核桃树上同一高度一颗核桃和一片树叶同时从静止落下，下列说法正确的是( )A.核桃和树叶的运动都是自由落体运动B.核桃先落地是由于核桃受到的重力较大C.核桃和树叶的运动都不能看成自由落体运动D.假如地球上没有空气，核桃和树叶会同时落地答案 D解析 从树上落下的核桃所受阻力相对重力来说很小，可看成自由落体运动，而从树上落下的树叶所受阻力相对重力来说较大，不能看成自由落体运动，A、B、C错误.假如地球上没有空气，则核桃和树叶不受空气阻力，都做自由落体运动，下落快慢相同，同时落地，D正确.【考点】自由落体运动【题点】自由落体运动的理解2.(多选)关于自由落体运动，下列说法正确的是( )A.初速度为零的竖直向下的运动是自由落体运动B.只在重力作用下的竖直向下的运动是自由落体运动C.自由落体运动在任意相等的时间内速度变化量相等D.自由落体运动是初速度为零、加速度为g的匀加速直线运动答案 CD解析 选项A中，竖直向下的运动，有可能受到空气阻力或其他力的影响，下落的加速度不等于g，这样就不是自由落体运动，选项B中，物体有可能具有初速度，所以选项A、B错误；选项C中，因自由落体运动是匀变速直线运动，加速度恒定，由加速度的概念a＝可知，Δv＝gΔt，所以若时间相等，则速度的变化量相等，故选项C正确；选项D可根据自由落体运动的性质判定是正确的.【考点】自由落体运动【题点】自由落体运动的理解考点二 自由落体加速度的理解3.(多选)下列关于重力加速度的说法正确的是( )A.重力加速度g是标量，只有大小，没有方向B.在地球上不同地方，g的大小是不同的，但差别不大C.在地球上同一地点，轻石块与重石块做自由落体运动的加速度是相同的D.纬度越低的地方，重力加速度g值越小答案 BCD
解析 重力加速度是矢量，方向总是竖直向下.地球上同一地点，一切物体做自由落体运动的加速度是相同的，地球上不同地方g的大小是不同的，但差别不大，纬度越低的地方，g值越小.故正确答案为B、C、D.【考点】自由落体加速度【题点】自由落体加速度的理解考点三 自由落体运动规律的应用4.(多选)甲、乙两物体，m甲＝2m乙，甲从2H高处自由落下，1s后乙从H(H>1m)高处落下，不计空气阻力，在两物体落地之前，正确的说法是( )A.同一时刻甲的速度大B.同一时刻两物体的速度相同C.各自下落1m时，两物体速度相同D.落地之前甲和乙的高度之差不断增大答案 AC解析 因为甲、乙物体都做自由落体运动，它们的初速度为零，加速度为g，甲任意时刻的速度为：v＝gt，乙任意时刻的速度v′＝g(t－1)，所以两物体下落过程中，在同一时刻甲的速度大于乙的速度，故A正确，B错误；各自下落1m时，根据速度时间关系公式，有：v2＝2gh，故v＝＝m/s＝2m/s，两物体速度相同，C正确；1s后，相对于乙物体，甲向下做匀速直线运动，由于不知道题目中H的具体数值，故不知道甲能否超过乙，故不能确定是否一直靠近，故D错误.【考点】自由落体运动规律的应用【题点】自由落体运动公式的应用5.(多选)如图1所示，两位同学合作估测反应时间，甲捏住直尺顶端，乙在直尺下部做握尺的准备(但手不与直尺接触)，当看到甲放开手时，乙立即作出反应去握住尺子.若测出直尺下落的高度，即可估测乙同学的反应时间.该合作小组将反应时间的数据分析整理，设计制作一种简易测量人的反应时间的小仪器，为方便使用，将直尺上的距离刻度改成时间刻度，其测量范围为0～0.4s，重力加速度g取10m/s2.下列关于该仪器的说法正确的是( )图1A.该直尺的最小长度是40cmB.该直尺的最小长度是80cmC.每个相等时间间隔在直尺上对应的长度是相等的D.每个相等时间间隔在直尺上对应的长度是不相等的
答案 BD解析 在反应时间t＝0.4s内，直尺下落的距离h＝gt2＝×10×0.42m＝0.8m＝80cm，所以该直尺的最小长度是80cm，故A错误，B正确.自由落体运动是初速度为零的匀加速直线运动，根据匀加速直线运动的规律可知，在相等时间间隔通过的位移是不断增加的，所以每个时间间隔在直尺上对应的长度是不相等的，故C错误，D正确.【考点】自由落体运动规律的应用【题点】自由落体运动公式的应用6.物体从某一高度自由下落，第1s内就通过了全程的一半，物体还要下落多长时间才会落地( )A.1sB.1.5sC.sD.(－1)s答案 D解析 初速度为零的匀变速直线运动，经过连续相同的位移所用时间之比为1∶(－1)∶(－)∶…，所以物体下落后半程的时间为(－1)s，故D正确.【考点】自由落体运动规律的应用【题点】自由落体运动的比例式的应用7.一石块从楼房阳台边缘向下做自由落体运动到达地面，把它在空中运动的时间分为相等的三段，如果它在第一段时间内的位移是1.2m，那么它在第三段时间内的位移是( )A.1.2mB.3.6mC.6.0mD.10.8m答案 C解析 将该自由落体运动的时间分成了相等的三段，由其规律知：第T内、第2T内、第3T内的位移之比为xⅠ∶xⅡ∶xⅢ＝1∶3∶5，第一段时间内的位移为1.2m，则第三段时间内的位移为x＝1.2×5m＝6.0m，故选C.【考点】自由落体运动规律的应用【题点】自由落体运动的比例式的应用8.长为5m的竖直杆下端距离一个竖直隧道口为5m，若这个隧道长也为5m，让这根杆自由下落，它通过隧道的时间为(取g＝10m/s2)( )A.sB.(－1)sC.(＋1)sD.(＋1)s答案 B解析 根据h＝gt2，直杆自由下落到下端运动到隧道上沿的时间t1＝＝
＝1s.直杆自由下落到直杆的上端离开隧道下沿的时间t2＝＝＝s.则直杆通过隧道的时间t＝t2－t1＝(－1)s，选项B正确，A、C、D错误.【考点】自由落体运动规律的应用【题点】自由落体运动公式的应用9.(多选)从不同高度做自由落体运动的甲、乙两物体，质量之比为2∶1，下落高度之比为1∶2，则( )A.下落时间之比是1∶2B.落地速度之比是1∶1C.落地速度之比是1∶D.下落过程中的加速度之比是1∶1答案 CD解析 由自由落体运动的规律知，自由落体运动快慢与物体的质量无关，高度h＝gt2，故t＝，故下落时间之比是1∶，选项A错误；由v＝知落地速度之比是1∶，选项B错误，C正确；自由落体运动的加速度与物体的质量无关，与高度无关，选项D正确.【考点】自由落体运动规律的应用【题点】自由落体运动公式的应用10.(多选)一小球从空中由静止释放，不计空气阻力(g取10m/s2).下列说法正确的是( )A.第2s末小球的速度为20m/sB.前2s内小球的平均速度为20m/sC.第2s内小球的位移为10mD.前2s内小球的位移为20m答案 AD解析 小球做自由落体运动，第2s末小球的速度为v＝gt＝10×2m/s＝20m/s，故A正确；前2s内小球的位移为h2＝gt2＝×10×4m＝20m，前2s内小球的平均速度为＝＝m/s＝10m/s，故B错误，D正确；第1s内小球的位移为h1＝gt12＝×10×1m＝5m，故第2s内小球的位移为Δh＝h2－h1＝20m－5m＝15m，故C错误.【考点】自由落体运动规律的应用【题点】自由落体运动的比例式的应用考点四 伽利略对自由落体运动的研究
11.意大利科学家伽利略在研究落体运动的规律时，做了著名的斜面实验，其中应用到的物理思想方法属于( )A.等效替代法B.实验归纳法C.理想实验法D.控制变量法答案 C解析 由于时间测量上的困难，伽利略无法直接研究自由落体运动，而是在斜面实验的基础上合理外推，最终得到倾角为90°时小球运动(自由落体运动)的规律.所以，在当时并没有直接对落体运动进行实验，伽利略所用的物理实验方法属于理想实验法，选项C正确.【考点】伽利略对自由落体运动的研究【题点】伽利略对自由落体运动的研究二、非选择题12.(自由落体运动规律的应用)某校物理兴趣小组为了了解高空坠物的危害，将一只鸡蛋从高楼上静止释放，经过4s鸡蛋刚好着地.(忽略空气阻力的作用，g取10m/s2)求：(1)鸡蛋释放时距离地面的高度；(2)鸡蛋在下落过程中的平均速度大小；(3)鸡蛋下落过程中第4s内的位移大小.答案 (1)80m (2)20m/s (3)35m解析 (1)由h＝gt2，可得：h＝×10×16m＝80m.(2)下落过程的平均速度为：＝＝m/s＝20m/s.(3)前3s内的位移h′＝gt32＝×10×32m＝45m，故第4s内的位移Δh＝h－h′＝35m.【考点】自由落体运动规律的应用【题点】自由落体运动公式的应用13.(自由落体运动规律的应用)在离地面7.2m处，手提2.2m长的绳子的上端如图2所示，在绳子的上下两端各拴一小球，放手后小球自由下落(绳子的质量不计，球的大小可忽略，g＝10m/s2)求：
图2(1)两小球落地时间相差多少？(2)B球落地时A球的速度多大？答案 (1)0.2s (2)10m/s解析 (1)设B球落地所需时间为t1，因为h1＝gt12，所以t1＝＝s＝1s，设A球落地所需时间为t2依h2＝gt22得t2＝＝s＝1.2s所以两小球落地的时间差为Δt＝t2－t1＝0.2s.(2)当B球落地时，A球的速度与B球的速度相等.即vA＝vB＝gt1＝10×1m/s＝10m/s.【考点】自由落体运动规律的应用【题点】自由落体运动公式的应用14.(自由落体运动规律的应用)跳伞运动员做低空跳伞表演，他离开飞机后先做自由落体运动，当距离地面125m时打开降落伞，伞张开后运动员就以14.3m/s2的加速度做匀减速直线运动，到达地面时的速度为5m/s，取g＝10m/s2.问：(1)运动员离开飞机时距地面的高度为多少？(2)离开飞机后，运动员经过多长时间才能到达地面？(结果保留三位有效数字)答案 (1)305m (2)9.85s解析 (1)设运动员自由下落的高度为h1，则此时速度为v1，有v12＝2gh1①打开降落伞做匀减速运动时满足：v22－v12＝2ah2②式中v2＝5m/s，a＝－14.3m/s2，h2＝125m联立①②解得h1＝180m所以总高度为H＝h1＋h2＝(180＋125)m＝305m(2)设第一过程经过的时间是t1，有h1＝gt12第二过程经过的时间是t2＝所以总时间为t＝t1＋t2≈9.85s【考点】自由落体运动规律的应用【题点】自由落体运动公式的应用
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