第15章分式测试卷(1)一、选择题1.已知关于x的分式方程=1的解是非正数,则a的取值范围是( )A.a≤﹣1B.a≤﹣1且a≠﹣2C.a≤1且a≠﹣2D.a≤12.下列计算正确的是( )A.﹣2﹣1=2B.(﹣2)2=﹣4C.20=0D.=23.甲乙两人同时从A地出发到B地,如果甲的速度v保持不变,而乙先用v的速度到达中点,再用2v的速度到达B地,则下列结论中正确的是( )A.甲乙同时到达B地B.甲先到达B地C.乙先到达B地D.谁先到达B地与速度v有关4.若关于x的分式方程=2的解为非负数,则m的取值范围是( )A.m>﹣1B.m≥1C.m>﹣1且m≠1D.m≥﹣1且m≠15.若x=3是分式方程﹣=0的根,则a的值是( )A.5B.﹣5C.3D.﹣36.关于x的分式方程=有解,则字母a的取值范围是( )A.a=5或a=0B.a≠0C.a≠5D.a≠5且a≠07.解分式方程+=3时,去分母后变形为( )A.2+(x+2)=3(x﹣1)B.2﹣x+2=3(x﹣1)C.2﹣(x+2)=3(1﹣x)D.2﹣(x+2)=3(x﹣1)8.分式方程=的解为( )A.x=0B.x=3C.x=5D.x=99.分式方程=1的解为( )A.1B.2C.D.010.关于x的分式方程的解是负数,则m的取值范围是( )第21页(共21页)
A.m>﹣1B.m>﹣1且m≠0C.m≥﹣1D.m≥﹣1且m≠011.已知关于x的分式方程+=1的解是非负数,则m的取值范围是( )A.m>2B.m≥2C.m≥2且m≠3D.m>2且m≠312.关于x的分式方程=1的解为正数,则字母a的取值范围为( )A.a≥﹣1B.a>﹣1C.a≤﹣1D.a<﹣113.已知方程﹣a=,且关于x的不等式组只有4个整数解,那么b的取值范围是( )A.﹣1<b≤3B.2<b≤3C.8≤b<9D.3≤b<4 二、填空题14.若分式方程=a无解,则a的值为 .15.关于x的分式方程﹣=0无解,则m= .16.关于x的方程x2﹣4x+3=0与=有一个解相同,则a= .17.已知关于x的方程的解是负数,则n的取值范围为 .18.分式方程=的解是 .19.方程=的解是 .20.方程﹣=1的解是 .21.若关于x的分式方程=﹣2有非负数解,则a的取值范围是 .22.计算:20130﹣2﹣1= .23.如果从一卷粗细均匀的电线上截取1米长的电线,称得它的质量为a克,再称得剩余电线的质量为b克,那么原来这卷电线的总长度是 米.第21页(共21页)
24.已知关于x的分式方程﹣=1的解为负数,则k的取值范围是 .25.若关于x的方程无解,则m= .26.若关于x的分式方程的解为正数,那么字母a的取值范围是 .27.关于x的方程=﹣1的解是正数,则a的取值范围是 .28.已知关于x的方程的解是正数,则m的取值范围是 .29.若关于x的方程=+1无解,则a的值是 . 三、解答题30.小明解方程﹣=1的过程如图.请指出他解答过程中的错误,并写出正确的解答过程. 第21页(共21页)
参考答案与试题解析一、选择题1.已知关于x的分式方程=1的解是非正数,则a的取值范围是( )A.a≤﹣1B.a≤﹣1且a≠﹣2C.a≤1且a≠﹣2D.a≤1【考点】分式方程的解.【分析】先解关于x的分式方程,求得x的值,然后再依据“解是非正数”建立不等式求a的取值范围.【解答】解:去分母,得a+2=x+1,解得,x=a+1,∵x≤0且x+1≠0,∴a+1≤0且a+1≠﹣1,∴a≤﹣1且a≠﹣2,∴a≤﹣1且a≠﹣2.故选:B.【点评】本题考查了分式方程的解,解一元一次不等式,需注意在任何时候都要考虑分母不为0,这也是本题最容易出错的地方. 2.下列计算正确的是( )A.﹣2﹣1=2B.(﹣2)2=﹣4C.20=0D.=2【考点】负整数指数幂;有理数的乘方;算术平方根;零指数幂.【分析】根据有理数乘方的法则、算术平方根的定义以及负整数指数幂为正整数指数的倒数,任何非0数的0次幂等于1,分别进行计算,即可得出答案.【解答】解:A、﹣2﹣1=﹣,故本选项错误;B、(﹣2)2=4,故本选项错误;C、20=1,故本选项错误;第21页(共21页)
D、=2,故本选项正确;故选D.【点评】此题考查了负整数指数幂、有理数的乘方、算术平方根以及零指数幂,注意:负整数指数为正整数指数的倒数;任何非0数的0次幂等于1. 3.甲乙两人同时从A地出发到B地,如果甲的速度v保持不变,而乙先用v的速度到达中点,再用2v的速度到达B地,则下列结论中正确的是( )A.甲乙同时到达B地B.甲先到达B地C.乙先到达B地D.谁先到达B地与速度v有关【考点】列代数式(分式).【分析】设从A地到B地的距离为2s,根据时间=路程÷速度可以求出甲、乙两人同时从A地到B地所用时间,然后比较大小即可判定选择项.【解答】解:设从A地到B地的距离为2s,而甲的速度v保持不变,∴甲所用时间为,又∵乙先用v的速度到达中点,再用2v的速度到达B地,∴乙所用时间为,∴甲先到达B地.故选:B.【点评】此题主要考查了一元一次方程在实际问题中的应用,解题时首先正确理解题意,根据题意设未知数,然后利用已知条件和速度、路程、时间之间的关系即可解决问题. 4.若关于x的分式方程=2的解为非负数,则m的取值范围是( )A.m>﹣1B.m≥1C.m>﹣1且m≠1D.m≥﹣1且m≠1【考点】分式方程的解.【专题】计算题.第21页(共21页)
【分析】分式方程去分母转化为整式方程,表示出整式方程的解,根据解为非负数及分式方程分母不为0求出m的范围即可.【解答】解:去分母得:m﹣1=2x﹣2,解得:x=,由题意得:≥0且≠1,解得:m≥﹣1且m≠1,故选D【点评】此题考查了分式方程的解,需注意在任何时候都要考虑分母不为0. 5.若x=3是分式方程﹣=0的根,则a的值是( )A.5B.﹣5C.3D.﹣3【考点】分式方程的解.【分析】首先根据题意,把x=3代入分式方程﹣=0,然后根据一元一次方程的解法,求出a的值是多少即可.【解答】解:∵x=3是分式方程﹣=0的根,∴,∴,∴a﹣2=3,∴a=5,即a的值是5.故选:A.【点评】(1)此题主要考查了分式方程的解,要熟练掌握,解答此题的关键是要明确:在解方程的过程中因为在把分式方程化为整式方程的过程中,扩大了未知数的取值范围,可能产生增根,增根是令分母等于0的值,不是原分式方程的解.(2)此题还考查了一元一次方程的求解方法,要熟练掌握.第21页(共21页)
6.关于x的分式方程=有解,则字母a的取值范围是( )A.a=5或a=0B.a≠0C.a≠5D.a≠5且a≠0【考点】分式方程的解.【分析】先解关于x的分式方程,求得x的值,然后再依据“关于x的分式方程=有解”,即x≠0且x≠2建立不等式即可求a的取值范围.【解答】解:=,去分母得:5(x﹣2)=ax,去括号得:5x﹣10=ax,移项,合并同类项得:(5﹣a)x=10,∵关于x的分式方程=有解,∴5﹣a≠0,x≠0且x≠2,即a≠5,系数化为1得:x=,∴≠0且≠2,即a≠5,a≠0,综上所述:关于x的分式方程=有解,则字母a的取值范围是a≠5,a≠0,故选:D.【点评】此题考查了求分式方程的解,由于我们的目的是求a的取值范围,根据方程的解列出关于a的不等式.另外,解答本题时,容易漏掉5﹣a≠0,这应引起同学们的足够重视. 7.解分式方程+=3时,去分母后变形为( )第21页(共21页)
A.2+(x+2)=3(x﹣1)B.2﹣x+2=3(x﹣1)C.2﹣(x+2)=3(1﹣x)D.2﹣(x+2)=3(x﹣1)【考点】解分式方程.【分析】本题考查对一个分式确定最简公分母,去分母得能力.观察式子x﹣1和1﹣x互为相反数,可得1﹣x=﹣(x﹣1),所以可得最简公分母为x﹣1,因为去分母时式子不能漏乘,所以方程中式子每一项都要乘最简公分母.【解答】解:方程两边都乘以x﹣1,得:2﹣(x+2)=3(x﹣1).故选D.【点评】考查了解分式方程,对一个分式方程而言,确定最简公分母后要注意不要漏乘,这正是本题考查点所在.切忌避免出现去分母后:2﹣(x+2)=3形式的出现. 8.分式方程=的解为( )A.x=0B.x=3C.x=5D.x=9【考点】解分式方程.【专题】计算题.【分析】分式方程去分母转化为整式方程,求出整式方程的解得到x的值,经检验即可得到分式方程的解.【解答】解:去分母得:2x=3x﹣9,解得:x=9,经检验x=9是分式方程的解,故选D.【点评】此题考查了解分式方程,解分式方程的基本思想是“转化思想”,把分式方程转化为整式方程求解.解分式方程一定注意要验根. 第21页(共21页)
9.分式方程=1的解为( )A.1B.2C.D.0【考点】解分式方程.【专题】计算题.【分析】分式方程变形后,去分母转化为整式方程,求出整式方程的解得到x的值,经检验即可得到分式方程的解.【解答】解:去分母得:2﹣3x=x﹣2,解得:x=1,经检验x=1是分式方程的解.故选A.【点评】此题考查了解分式方程,解分式方程的基本思想是“转化思想”,把分式方程转化为整式方程求解.解分式方程一定注意要验根. 10.关于x的分式方程的解是负数,则m的取值范围是( )A.m>﹣1B.m>﹣1且m≠0C.m≥﹣1D.m≥﹣1且m≠0【考点】分式方程的解.【分析】由题意分式方程的解为负数,解方程求出方程的解x,然后令其小于0,解出m的范围.注意最简公分母不为0.【解答】解:方程两边同乘(x+1),得m=﹣x﹣1解得x=﹣1﹣m,∵x<0,∴﹣1﹣m<0,解得m>﹣1,又x+1≠0,∴﹣1﹣m+1≠0,∴m≠0,第21页(共21页)
即m>﹣1且m≠0.故选:B.【点评】此题主要考查分式的解,关键是会解出方程的解,此题难度中等,容易漏掉隐含条件最简公分母不为0. 11.已知关于x的分式方程+=1的解是非负数,则m的取值范围是( )A.m>2B.m≥2C.m≥2且m≠3D.m>2且m≠3【考点】分式方程的解.【专题】计算题.【分析】分式方程去分母转化为整式方程,求出整式方程的解表示出x,根据方程的解为非负数求出m的范围即可.【解答】解:分式方程去分母得:m﹣3=x﹣1,解得:x=m﹣2,由方程的解为非负数,得到m﹣2≥0,且m﹣2≠1,解得:m≥2且m≠3.故选:C【点评】此题考查了分式方程的解,时刻注意分母不为0这个条件. 12.关于x的分式方程=1的解为正数,则字母a的取值范围为( )A.a≥﹣1B.a>﹣1C.a≤﹣1D.a<﹣1【考点】分式方程的解.【专题】计算题.【分析】将分式方程化为整式方程,求得x的值然后根据解为正数,求得a的范围,但还应考虑分母x+1≠0即x≠﹣1.【解答】解:分式方程去分母得:2x﹣a=x+1,第21页(共21页)
解得:x=a+1,根据题意得:a+1>0且a+1+1≠0,解得:a>﹣1且a≠﹣2.即字母a的取值范围为a>﹣1.故选:B.【点评】本题考查了分式方程的解,本题需注意在任何时候都要考虑分母不为0. 13.已知方程﹣a=,且关于x的不等式组只有4个整数解,那么b的取值范围是( )A.﹣1<b≤3B.2<b≤3C.8≤b<9D.3≤b<4【考点】分式方程的解;一元一次不等式组的整数解.【专题】计算题.【分析】分式方程去分母转化为整式方程,求出整式方程的解得到a的值,经检验确定出分式方程的解,根据已知不等式组只有4个正整数解,即可确定出b的范围.【解答】解:分式方程去分母得:3﹣a﹣a2+4a=﹣1,即(a﹣4)(a+1)=0,解得:a=4或a=﹣1,经检验a=4是增根,故分式方程的解为a=﹣1,已知不等式组解得:﹣1<x≤b,∵不等式组只有4个整数解,∴3≤b<4.故选:D【点评】此题考查了分式方程的解,以及一元一次不等式组的整数解,弄清题意是解本题的关键. 二、填空题(共16小题)第21页(共21页)
14.若分式方程=a无解,则a的值为 1或﹣1 .【考点】分式方程的解.【专题】计算题.【分析】由分式方程无解,得到最简公分母为0求出x的值,分式方程去分母转化为整式方程,把x的值代入计算即可求出a的值.【解答】解:去分母得:x﹣a=ax+a,即(a﹣1)x=﹣2a,显然a=1时,方程无解;由分式方程无解,得到x+1=0,即x=﹣1,把x=﹣1代入整式方程得:﹣a+1=﹣2a,解得:a=﹣1,综上,a的值为1或﹣1,故答案为:1或﹣1【点评】此题考查了分式方程的解,需注意在任何时候都要考虑分母不为0. 15.关于x的分式方程﹣=0无解,则m= 0或﹣4 .【考点】分式方程的解.【分析】分式方程无解的条件是:去分母后所得整式方程无解,或解这个整式方程得到的解使原方程的分母等于0.【解答】解:方程去分母得:m﹣(x﹣2)=0,解得:x=2+m,∴当x=2时分母为0,方程无解,即2+m=2,∴m=0时方程无解.当x=﹣2时分母为0,方程无解,即2+m=﹣2,第21页(共21页)
∴m=﹣4时方程无解.综上所述,m的值是0或﹣4.故答案为:0或﹣4.【点评】本题考查了分式方程无解的条件,是需要识记的内容. 16.关于x的方程x2﹣4x+3=0与=有一个解相同,则a= 1 .【考点】分式方程的解;解一元二次方程-因式分解法.【分析】利用因式分解法求得关于x的方程x2﹣4x+3=0的解,然后分别将其代入关于x的方程=,并求得a的值.【解答】解:由关于x的方程x2﹣4x+3=0,得(x﹣1)(x﹣3)=0,∴x﹣1=0,或x﹣3=0,解得x1=1,x2=3;当x1=1时,分式方程=无意义;当x2=3时,=,解得a=1,经检验a=1是原方程的解.故答案为:1.【点评】本题考查了一元二次方程的解、分式方程的解.解分式方程时,注意:分式的分母不为零. 17.已知关于x的方程的解是负数,则n的取值范围为 n<2且n≠ .【考点】分式方程的解.【分析】求出分式方程的解x=n﹣2,得出n﹣2<0,求出n的范围,根据分式方程得出n﹣2≠﹣,求出n,即可得出答案.第21页(共21页)
【解答】解:,解方程得:x=n﹣2,∵关于x的方程的解是负数,∴n﹣2<0,解得:n<2,又∵原方程有意义的条件为:x≠﹣,∴n﹣2≠﹣,即n≠.故答案为:n<2且n≠.【点评】本题考查了分式方程的解和解一元一次不等式,关键是得出n﹣2<0和n﹣2≠﹣,注意题目中的隐含条件2x+1≠0,不要忽略. 18.分式方程=的解是 x=2 .【考点】解分式方程.【专题】计算题.【分析】分式方程去分母转化为整式方程,求出整式方程的解得到x的值,经检验即可得到分式方程的解.【解答】解:去分母得:3x=2x+2,解得:x=2,经检验x=2是分式方程的解.故答案为:x=2.【点评】此题考查了解分式方程,解分式方程的基本思想是“转化思想”,把分式方程转化为整式方程求解.解分式方程一定注意要验根. 19.方程=的解是 x=9 .第21页(共21页)
【考点】解分式方程.【专题】计算题.【分析】分式方程去分母转化为整式方程,求出整式方程的解得到x的值,经检验即可确定出分式方程的解.【解答】解:去分母得:2x=3x﹣9,解得:x=9,经检验x=9是分式方程的解,故答案为:x=9【点评】此题考查了解分式方程,解分式方程的基本思想是“转化思想”,把分式方程转化为整式方程求解.解分式方程一定注意要验根. 20.方程﹣=1的解是 x=2 .【考点】解分式方程.【专题】计算题.【分析】分式方程去分母转化为整式方程,求出整式方程的解得到x的值,经检验即可得到分式方程的解.【解答】解:去分母得:x2﹣2x+2=x2﹣x,解得:x=2,经检验x=2是分式方程的解,故答案为:x=2【点评】此题考查了解分式方程,解分式方程的基本思想是“转化思想”,把分式方程转化为整式方程求解.解分式方程一定注意要验根. 21.若关于x的分式方程=﹣2有非负数解,则a的取值范围是 a且a .【考点】分式方程的解.【分析】将a看做已知数,表示出分式方程的解,根据解为非负数列出关于a的不等式,求出不等式的解集即可得到a的范围.第21页(共21页)
【解答】解:分式方程去分母得:2x=3a﹣4(x﹣1),移项合并得:6x=3a+4,解得:x=,∵分式方程的解为非负数,∴≥0且﹣1≠0,解得:a≥﹣且a≠.故答案为:a且a.【点评】此题考查了分式方程的解,分式方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值,本题注意x﹣1≠0这个隐含条件. 22.计算:20130﹣2﹣1= .【考点】负整数指数幂;零指数幂.【分析】根据任何数的零次幂等于1,负整数指数次幂等于正整数指数次幂的倒数进行计算即可得解.【解答】解:20130﹣2﹣1=1﹣=.故答案为:.【点评】本题考查了任何数的零次幂等于1,负整数指数次幂等于正整数指数次幂的倒数,是基础题,熟记两个性质是解题的关键. 23.如果从一卷粗细均匀的电线上截取1米长的电线,称得它的质量为a克,再称得剩余电线的质量为b克,那么原来这卷电线的总长度是 米.【考点】列代数式(分式).【专题】计算题.【分析】这卷电线的总长度=截取的1米+剩余电线的长度.【解答】解:根据1米长的电线,称得它的质量为a克,只需根据剩余电线的质量除以a,即可知道剩余电线的长度.故总长度是(+1)米.第21页(共21页)
故答案为:(+1).【点评】注意代数式的正确书写,还要注意后边有单位,故该代数式要带上括号.解决问题的关键是读懂题意,找到所求的量的等量关系. 24.已知关于x的分式方程﹣=1的解为负数,则k的取值范围是 k>且k≠1 .【考点】分式方程的解.【专题】计算题.【分析】分式方程去分母转化为整式方程,求出整式方程的解得到x的值,根据解为负数确定出k的范围即可.【解答】解:去分母得:(x+k)(x﹣1)﹣k(x+1)=x2﹣1,去括号得:x2﹣x+kx﹣k﹣kx﹣k=x2﹣1,移项合并得:x=1﹣2k,根据题意得:1﹣2k<0,且1﹣2k≠±1解得:k>且k≠1故答案为:k>且k≠1.【点评】此题考查了分式方程的解,本题需注意在任何时候都要考虑分母不为0. 25.若关于x的方程无解,则m= ﹣8 .【考点】分式方程的解.【专题】计算题.【分析】分式方程去分母转化为整式方程,将x=5代入计算即可求出m的值.【解答】解:分式方程去分母得:2(x﹣1)=﹣m,将x=5代入得:m=﹣8.第21页(共21页)
故答案为:﹣8【点评】此题考查了分式方程的解,方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值. 26.若关于x的分式方程的解为正数,那么字母a的取值范围是 a>1且a≠2 .【考点】分式方程的解.【专题】计算题.【分析】将a看做已知数求出分式方程的解得到x的值,根据解为正数列出不等式,求出不等式的解集即可得到a的范围.【解答】解:分式方程去分母得:2x﹣a=x﹣1,解得:x=a﹣1,根据题意得:a﹣1>0且a﹣1﹣1≠0,解得:a>1且a≠2.故答案为:a>1且a≠2.【点评】此题考查了分式方程的解,弄清题意是解本题的关键.注意分式方程分母不等于0. 27.关于x的方程=﹣1的解是正数,则a的取值范围是 a>﹣1且a≠﹣ .【考点】分式方程的解.【分析】根据解分式方程的步骤,可得分式方程的解,根据分式方程的解是正数,可得答案.【解答】解:=﹣1,解得x=,∵=﹣1的解是正数,第21页(共21页)
∴x>0且x≠2,即0且≠2,解得a>﹣1且a≠﹣.故答案为:a>﹣1且a≠﹣.【点评】本题考查了分式方程的解,先求出分式方程的解,再求出a的取值范围. 28.已知关于x的方程的解是正数,则m的取值范围是 m>﹣6且m≠﹣4 .【考点】分式方程的解.【分析】首先求出关于x的方程的解,然后根据解是正数,再解不等式求出m的取值范围.【解答】解:解关于x的方程得x=m+6,∵方程的解是正数,∴m+6>0且m+6≠2,解这个不等式得m>﹣6且m≠﹣4.故答案为:m>﹣6且m≠﹣4.【点评】本题考查了分式方程的解,是一个方程与不等式的综合题目,解关于x的方程是关键,解关于x的不等式是本题的一个难点. 29.若关于x的方程=+1无解,则a的值是 2或1 .【考点】分式方程的解.【专题】压轴题.【分析】把方程去分母得到一个整式方程,把方程的增根x=2代入即可求得a的值.【解答】解:x﹣2=0,解得:x=2.方程去分母,得:ax=4+x﹣2,即(a﹣1)x=2第21页(共21页)
当a﹣1≠0时,把x=2代入方程得:2a=4+2﹣2,解得:a=2.当a﹣1=0,即a=1时,原方程无解.故答案是:2或1.【点评】首先根据题意写出a的新方程,然后解出a的值. 三、解答题30.小明解方程﹣=1的过程如图.请指出他解答过程中的错误,并写出正确的解答过程.【考点】解分式方程.【专题】图表型.【分析】小明的解法有三处错误,步骤①去分母有误;步骤②去括号有误;步骤⑥少检验,写出正确的解题过程即可.【解答】解:小明的解法有三处错误,步骤①去分母有误;步骤②去括号有误;步骤⑥少检验;正确解法为:方程两边乘以x,得:1﹣(x﹣2)=x,去括号得:1﹣x+2=x,移项得:﹣x﹣x=﹣1﹣2,合并同类项得:﹣2x=﹣3,解得:x=,经检验x=是分式方程的解,第21页(共21页)
则方程的解为x=.【点评】此题考查了解分式方程,解分式方程的基本思想是“转化思想”,把分式方程转化为整式方程求解.解分式方程一定注意要验根.第21页(共21页)