人教版八年级上册13.4 课题学习 最短路径问题教案

13.4课题学习最短路径问题教学目标：1、能利用轴对称解决简单的最短路径问题.2、体会图形的变化在解决最值问题中的作用.3、感悟转化思想．学习重点：B¡¤¡¤All利用轴对称将最短路径问题转化为“两点之间，线段最短”问题．教学过程一、探索新知问题1 相传，古希腊亚历山大里亚城里有一位久负盛名的学者，名叫海伦．有一天，一位将军专程拜访海伦，求教一个百思不得其解的问题：  从图中的A地出发，到一条笔直的河边l饮马，然后到B地．到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程最短？精通数学、物理学的海伦稍加思索，利用轴对称的知识回答了这个问题．这个问题后来被称为“将军饮马问题”．你能将这个问题抽象为数学问题吗？追问2 你能用自己的语言说明这个问题的意思，并把它抽象为数学问题吗？（1）从A地出发，到河边l饮马，然后到B地；（2）在河边饮马的地点有无穷多处，把这些地点与A，B连接起来的两条线段的长度之和，就是从A地到饮马地点，再回到B地的路程之和；BAl（3）现在的问题是怎样找出使两条线段长度之和为最短的直线l上的点．设C为直线上的一个动点，上面的问题就转化为：当点C在l的什么位置时，AC与CB的和最小（如图）．问题2如图，点A，B在直线l的同侧，点C是直线上的一个动点，当点C在l的什么位置时，AC与CB的和最小？-3- 追问1 对于问题2，如何将点B“移”到l的另一侧B′处，满足直线l上的任意一点C，都保持CB与CB′的长度相等？追问2 你能利用轴对称的有关知识，找到上问中符合条件的点B′吗？问题2如图，点A，B在直线l的同侧，点C是直线上的一个动点，当点C在l的什么位置时，AC与CB的和最小？作法：B¡¤lA¡¤B′C（1）作点B关于直线l的对称点B′；（2）连接AB′，与直线l相交于点C．则点C即为所求．问题3 你能用所学的知识证明AC+BC最短吗？证明：如图，在直线l上任取一点C′（与点C不重合），连接AC′，BC′，B′C′.由轴对称的性质知，BC=B′C，BC′=B′C′．∴ AC+BC=AC+B′C=AB′，AC′+BC′=AC′+B′C′．追问1 证明AC+BC最短时，为什么要在直线l上任取一点C′（与点C不重合），证明AC+BC＜AC′+BC′？这里的“C′”的作用是什么？C不重合）与A，B两点的距离和都大于AC+BC，就说明AC+BC最小．追问2 回顾前面的探究过程，我们是通过怎样的过程、借助什么解决问题的？二、练习 如图，一个旅游船从大桥AB的P处前往山脚下的Q处接游客，然后将游客送往河岸BC上，再返回P处，请画出旅游船的最短路径．ABCPQ山河岸大桥基本思路：  由于两点之间线段最短，所以首先可连接PQ，线段PQ为旅游船最短路径中的必经线路．将河岸抽象为一条直线BC，这样问题就转化为“点P，Q在直线BC的同侧，如何在BC上找到一点R，使PR与QR的和最小”．-3- 三、归纳小结1、本节课研究问题的基本过程是什么？2、轴对称在所研究问题中起什么作用？四、布置作业教科书P93复习题13第15题.-3-