3.5__圆周角__第1课时 圆周角定理1．如图3－5－2，点A，B，C在⊙O上，∠ABO＝32°，∠ACO＝38°，则∠BOC等于( )A．60°B．70°C．120°D．140°3－5－22．如图3－5－3，点A，B，C在⊙O上，∠A＝50°，则∠BOC的度数为( )3－5－3A．40°B．50°C．80°D．100°3．如图3－5－5，在⊙O中，弦BC＝1，点A是圆上一点，且∠BAC＝30°，则⊙O的半径是( )3－5－5A．1B．2C.D.4．如图3－5－6所示，已知CD为⊙O的直径，过点D的弦DE平行于半径OA，若∠D的度数是50°，则∠C的度数是( )A．25°B．40°C．30°D．50°
图3－5－65．如图3－5－12，∠AOB＝100°，点C在⊙O上，且点C不与点A，B重合，则∠ACB的度数为( )A．50°B．80°或50°C．130°D．50°或130°图3－5－12[来源:Z.Com]6．如图3－5－7，⊙O的弦AB垂直于半径OC于点D，∠CBA＝30°，OC＝3cm，则弦AB的长为.3－5－77．如图3－5－9，在⊙O中，已知∠OAB＝22.5°，则∠C的度数为。3－5－9[来源:学。科。网]8．如图3－5－10，已知点E是⊙O上的点，B，C分别是劣弧的三等分点，∠BOC＝46°，则∠AED的度数为____．
图3－5－10图3－5－119．如图3－5－13，▱ABCD的顶点A，B，D在⊙O上，顶点C在⊙O的直径BE上，∠ADC＝54°，连接AE，则∠AEB的度数为。3－5－1310．如图3－5－15，点A，B，C，D都在⊙O上，的度数为84°，CA是∠OCD的平分线，则∠ABD＋∠CAO＝____．图3－5－1511．如图3－5－11所示，已知⊙O中半径OA⊥OB，弦AC⊥BD于点E，你能发现AD和BC有怎样的位置关系吗？为什么？12．如图3－5－16，在⊙O中，直径AB⊥CD于点E，连结CO并延长交AD于点F，且CF⊥AD.求∠D的度数．图3－5－16
图3－5－1713．如图3－5－17，点A，B，D，E在⊙O上，弦AE，BD的延长线相交于点C.若AB是⊙O的直径，D是BC的中点．(1)试判断AB，AC之间的大小关系，并给出证明；(2)在上述题设条件下，△ABC还需满足什么条件，点E才一定是AC的中点？(直接写出结论)14．如图3－5－14，⊙O的半径OD⊥弦AB于点C，连结AO并延长交⊙O于点E，连结EC.若AB＝8，CD＝2,求EC的长。3－5－1415．阅读下面的情境对话，然后解答问题．图3－5－18(1)根据“奇异三角形”的定义，请你判断小丽提出的命题：“等边三角形一定是奇异三角形”是真命题还是假命题？(2)在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝c，AC＝b，BC＝a，且b＞a，若Rt△ABC是奇异三角形，求a∶b∶c的值；[来源:学+科+网](3)如图3－5－19，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点(不与点A，B重合)，D是半圆的中点，C，D在直径AB的两侧，若在⊙O内存在点E，使得AE＝AD，CB＝CE.
①求证：△ACE是奇异三角形；②当△ACE是直角三角形时，求∠AOC的度数．图3－5－19
3.5__圆周角__第1课时 圆周角定理1．D2．D3．A4．A5．D【解析】当点C在优弧上时，∠ACB＝∠AOB＝×100°＝50°；当点C在劣弧上时，∠ACB＝(360°－∠AOB)＝×(360°－100°)＝130°.故选D.6．9cm[来源:Z*xx*k.Com]7．112.5°8．__69°__．9．36°10．__48°__．【解析】在△COD中，∵OC＝OD，∴∠OCD＝∠ODC.又∠COD＋∠OCD＋∠ODC＝180°，∠COD＝84°，∴∠OCD＝48°.∵CA是∠OCD的平分线，∴∠OCA＝∠ACD＝24°.在△AOC中，∵OA＝OC，∴∠CAO＝∠OCA.∵∠ABD＝∠AOD，∠DCA＝∠AOD，∴∠ABD＝∠CAO，∴∠ABD＋∠CAO＝48°.11．解：AD和BC的位置关系是AD∥BC.理由如下∶∵OA⊥OB，∴∠AOB＝90°，∴∠D＝∠C＝45°.∵AC⊥BD于点E，∴∠BEC＝90°.又∵∠C＝45°，∴∠EBC＝45°，∴∠D＝∠EBC，∴AD∥BC.12．解：连结BD.∵AB是⊙O的直径，∴BD⊥AD.又∵CF⊥AD，∴BD∥CF，∴∠BDC＝∠C.又∵∠BDC＝∠BOC，∴∠C＝∠BOC.∵AB⊥CD，即∠OEC＝90°，∴∠C＋∠BOC＝90°，∴∠C＝30°，∴∠ADC＝90°－∠C＝60°.
图3－5－1613．解：(1)AB＝AC.证明：连结AD，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝∠ADC＝90°.又∵AD为公共边，BD＝DC，∴Rt△ABD≌Rt△ACD.∴AB＝AC.(2)△ABC为正三角形或AB＝BC或AC＝BC或∠A＝∠B或∠A＝∠C等．14．【解析】∵⊙O的半径OD⊥弦AB于点C，AB＝8，∴AC＝AB＝4，设⊙O的半径为r，则OC＝r－2，在Rt△AOC中，∵AC＝4，OC＝r－2，∴OA2＝AC2＋OC2，即r2＝42＋(r－2)2，解得r＝5，∴AE＝2r＝10，连接BE，∵AE是⊙O的直径，∴∠ABE＝90°，在Rt△ABE中，∵AE＝10，AB＝8，∴BE＝＝＝6，在Rt△BCE中，∵BE＝6，BC＝4，∴CE＝＝＝2.15．解：(1)真命题．(2)在Rt△ABC中，有a2＋b2＝c2，∵c＞b＞a＞0，∴2c2＞a2＋b2，2a2＜c2＋b2，
∴若Rt△ABC是奇异三角形，一定有2b2＝c2＋a2，∴2b2＝a2＋(a2＋b2)，∴b2＝2a2，即b＝a.∵c2＝b2＋a2＝3a2，∴c＝a，∴a∶b∶c＝1∶∶.(3)①∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝∠ADB＝90°.在Rt△ABC中，AC2＋CB2＝AB2，在Rt△ADB中，AD2＋BD2＝AB2.∵点D是半圆的中点，∴＝，∴AD＝BD，∴AB2＝AD2＋BD2＝2AD2.∴AC2＋CB2＝2AD2.又∵CB＝CE，AE＝AD，∴AC2＋CE2＝2AE2，∴△ACE是奇异三角形．②由①可得AC2＋CE2＝2AE2，当△ACE是直角三角形时，由(2)可得AC∶AE∶CE＝1∶∶或AC∶AE∶CE＝∶∶1.(Ⅰ)当AC∶AE∶CE＝1∶∶时，AC∶CE＝1∶，即AC∶CB＝1∶.∵∠ACB＝90°，∴由勾股定理得AB＝2AC，∴∠ABC＝30°，∴∠AOC＝2∠ABC＝60°.(Ⅱ)当AC∶AE∶CE＝∶∶1时，AC∶CE＝∶1，即AC∶CB＝∶1.∵∠ACB＝90°，∴由勾股定理得AB＝2CB，∴∠BAC＝30°，∴∠ABC＝60°，∴∠AOC＝2∠ABC＝120°，∴∠AOC的度数为60°或120°.
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