《第2章实数》 一、选择题1．25的平方根是（ ）A．5B．﹣5C．±D．±52．下列说法错误的是（ ）A．无理数的相反数还是无理数B．无限小数都是无理数C．整数、分数统称有理数D．实数与数轴上的点一一对应3．下列各组数中互为相反数的是（ ）A．﹣2与B．﹣2与C．2与（﹣）2D．|﹣|与4．在下列各数中无理数有（ ）﹣0.333…，，，﹣π，3π，3.1415，2.010101…（相邻两个1之间有1个0），76.0123456…（小数部分由相继的正整数组成）．A．3个B．4个C．5个D．6个5．下列说法错误的是（ ）A．1的平方根是1B．﹣1的立方根是﹣1C．是2的平方根D．是的平方根6．下列各式中已化为最简式的是（ ）A．B．C．D．7．下列结论正确的是（ ）A．B．C．D．8．一个长方形的长与宽分别是6、3，它的对角线的长可能是（ ）A．整数B．分数C．有理数D．无理数9．要使二次根式有意义，字母x必须满足的条件是（ ）A．x≥1B．x＞﹣1C．x≥﹣1D．x＞110．（）2的平方根是x，64的立方根是y，则x+y的值为（ ）A．3B．7C．3或7D．1或7第13页（共13页）
11．若与都有意义，则a的值是（ ）A．a＞0B．a≤0C．a=0D．a≠012．当的值为最小值时，a的取值为（ ）A．﹣1B．0C．D．1 二、填空题：13．36的平方根是______；的算术平方根是______．14．8的立方根是______；=______．15．的相反数是______，绝对值等于的数是______．16．比较大小：______2；若a＞2，则|2﹣a|=______．17．一个正数n的两个平方根为m+1和m﹣3，则m=______，n=______．18．的立方根与﹣27的立方根的差是______；已知+=0，则（a﹣b）2=______． 三、解答题19．化简：（1）+﹣；（2）（3）3﹣﹣；（4）+（1﹣）0；（5）（﹣）（+）+2（6）（+﹣ab）•（a≥0，b≥0）．20．求x的值：（1）2x2=8（2）（2x﹣1）3=﹣8．21．一个长方形的长与宽之比为5：3，它的对角线长为cm，求这个长方形的长与宽（结果保留2个有效数字）．第13页（共13页）
22．大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不能全部地写出来，于是小平用﹣1来表示的小数部分，你同意小平的表示方法吗？事实上小平的表示方法是有道理的，因为的整数部分是1，用这个数减去其整数部分，差就是小数部分．请解答：已知：5+的小数部分是a，5﹣的整数部分是b，求a+b的值． 第13页（共13页）
《第2章实数》参考答案与试题解析 一、选择题1．25的平方根是（ ）A．5B．﹣5C．±D．±5【考点】平方根．【分析】根据平方根的定义和性质即可得出答案．【解答】解：∵（±5）2=25，∴25的平方根是±5．故选：D．【点评】本题主要考查的是平方根的定义，掌握平方根的定义是解题的关键． 2．下列说法错误的是（ ）A．无理数的相反数还是无理数B．无限小数都是无理数C．整数、分数统称有理数D．实数与数轴上的点一一对应【考点】实数与数轴；实数．【分析】A、根据相反数和无理数的定义进行分析、判断；B、根据无理数的定义解答；C、由有理数的分类进行分析、判断；D、由实数与数轴的关系进行分析．【解答】解：A、无理数a与它的相反数﹣a只是符号不同，但都还是无理数，故本选项正确；B、无限不循环小数叫做无理数；故本选项错误；C、有理数包括整数和分数；故本选项正确；D、实数与数轴上的点是一一对应关系；故本选项正确；故选B．【点评】本题考查了实数与数轴、实数的有关知识点．注意，无理数的定义是指“无限不循环小数”而不是“无限小数”或者“小数”． 3．下列各组数中互为相反数的是（ ）第13页（共13页）
A．﹣2与B．﹣2与C．2与（﹣）2D．|﹣|与【考点】实数的性质．【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数，可得一个数的相反数．【解答】解：A、只有符号不同的两个数互为相反数，故A正确；B、是同一个数，故B错误；C、是同一个数，故C错误；D、是同一个数，故D错误；故选：A．【点评】本题考查了实数的性质，利用了只有符号不同的两个数互为相反数． 4．在下列各数中无理数有（ ）﹣0.333…，，，﹣π，3π，3.1415，2.010101…（相邻两个1之间有1个0），76.0123456…（小数部分由相继的正整数组成）．A．3个B．4个C．5个D．6个【考点】无理数．【分析】根据无理数的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有π的数，结合所给数据进行判断即可．【解答】解：=2，所给数据中，无理数有：，﹣π，3π，76.0123456…，共4个．故选B．【点评】本题考查了无理数的定义，属于基础题，解答本题的关键是掌握无理数的三种形式． 5．下列说法错误的是（ ）A．1的平方根是1B．﹣1的立方根是﹣1C．是2的平方根D．是的平方根【考点】平方根；立方根．【专题】计算题．【分析】利用平方根及立方根定义判断即可得到结果．【解答】解：A、1的平方根为±1，错误；B、﹣1的立方根是﹣1，正确；第13页（共13页）
C、是2的平方根，正确；D、﹣是的平方根，正确；故选A【点评】此题考查了平方根，熟练掌握平方根的定义是解本题的关键． 6．下列各式中已化为最简式的是（ ）A．B．C．D．【考点】最简二次根式．【分析】先根据二次根式的性质化简，再根据最简二次根式的定义判断即可．【解答】解：A、=，不是最简二次根式；B、=2，不是最简二次根式；C、是最简二次根式；D、=11，不是最简二次根式．故选C．【点评】本题考查最简二次根式的定义．根据最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数不含能开得尽方的因数或因式． 7．下列结论正确的是（ ）A．B．C．D．【考点】算术平方根．【分析】根据平方，算术平方根分别进行计算，即可解答．【解答】解：A．因为，故本选项正确；B．因为=3，故本选项错误；C．因为，故本选项错误；D．因为，故本选项错误；第13页（共13页）
故选A．【点评】本题考查算术平方根，解决本题的关键是注意平方的计算以及符号问题． 8．一个长方形的长与宽分别是6、3，它的对角线的长可能是（ ）A．整数B．分数C．有理数D．无理数【考点】勾股定理．【专题】计算题．【分析】长方形的长、宽和对角线，构成一个直角三角形，可用勾股定理，求得对角线的长，再进行选择即可．【解答】解：∵==3，∴对角线长是无理数．故选D．【点评】本题考查了长方形性质及勾股定理的应用，考查了利用勾股定理解直角三角形的能力以及实数的分类． 9．要使二次根式有意义，字母x必须满足的条件是（ ）A．x≥1B．x＞﹣1C．x≥﹣1D．x＞1【考点】二次根式有意义的条件．【分析】根据二次根式有意义的条件：被开方数是非负数作答．【解答】解：根据二次根式的意义，被开方数x+1≥0，解得x≥﹣1．故选：C．【点评】函数自变量的范围一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负． 10．（）2的平方根是x，64的立方根是y，则x+y的值为（ ）A．3B．7C．3或7D．1或7【考点】立方根；平方根．【分析】分别求出x、y的值，再代入求出即可．第13页（共13页）
【解答】解：∵（﹣）2=9，∴（）2的平方根是±3，即x=±3，∵64的立方根是y，∴y=4，当x=3时，x+y=7，当x=﹣3时，x+y=1．故选D．【点评】本题考查了平方根和立方根的应用，关键是求出xy的值． 11．若与都有意义，则a的值是（ ）A．a＞0B．a≤0C．a=0D．a≠0【考点】二次根式有意义的条件．【分析】根据二次根式的性质，被开方数大于等于0可知：若与都有意义，则，由此可求a的值．【解答】解：若与都有意义，则，故a=0．故选C．【点评】主要考查了二次根式的意义和性质．概念：式子（a≥0）叫二次根式．性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义． 12．当的值为最小值时，a的取值为（ ）A．﹣1B．0C．D．1【考点】算术平方根．【分析】由于≥0，由此得到4a+1=0取最小值，这样即可得出a的值．【解答】解：取最小值，即4a+1=0．得a=，故选C．【点评】本题考查的是知识点有：算术平方根恒大于等于0，且只有最小值，为0；没有最大值．第13页（共13页）
二、填空题：13．36的平方根是 ±6 ；的算术平方根是 2 ．【考点】算术平方根；平方根．【分析】根据平方根和算术平方根的定义求出即可．【解答】解：36的平方根是±=±6，∵=4，∴的算术平方根是2，故答案为：±6，2．【点评】本题考查了对平方根和算术平方根的应用，主要考查学生的理解能力和计算能力． 14．8的立方根是 2 ；= ﹣3 ．【考点】立方根．【分析】根据立方根的定义解答即可．【解答】解：∵23=8，∴8的立方根是2；=﹣3．故答案为：2；﹣3．【点评】本题考查了立方根的定义，熟记概念是解题的关键． 15．的相反数是 ﹣ ，绝对值等于的数是 ．【考点】实数的性质．【分析】由题意根据相反数的定义及绝对值的性质进行求解．【解答】解：的相反数是：﹣，设x为绝对值等于，∴|x|=，∴x=±，故答案为：﹣，．【点评】此题主要考查相反数的定义及绝对值的性质，比较简单．第13页（共13页）
16．比较大小： ＞ 2；若a＞2，则|2﹣a|= a﹣2 ．【考点】实数大小比较；实数的性质．【专题】推理填空题．【分析】首先应用放缩法，利用，判断出＞2；然后根据a＞2，判断出2﹣a的正负，即可求出|2﹣a|的值是多少．【解答】解：∵，∴＞=2；∵a＞2，∴2﹣a＜0，∴|2﹣a|=a﹣2．故答案为：＞、a﹣2．【点评】（1）此题主要考查了实数大小比较的方法，要熟练掌握，注意放缩法的应用．（2）此题还考查了绝对值的含义和求法，要熟练掌握，注意判断出2﹣a的正负． 17．一个正数n的两个平方根为m+1和m﹣3，则m= 1 ，n= 4 ．【考点】平方根．【专题】计算题．【分析】根据正数的平方根有2个，且互为相反数列出关于m的方程，求出方程的解即可得到m的值，进而求出n的值．【解答】解：根据题意得：m+1+m﹣3=0，解得：m=1，即两个平方根为2和﹣2，则n=4．故答案为：1；4【点评】此题考查了平方根，熟练掌握平方根的定义是解本题的关键． 18．的立方根与﹣27的立方根的差是 5 ；已知+=0，则（a﹣b）2= 25 ．【考点】实数的运算；非负数的性质：算术平方根．【分析】首先把化简，然后再计算出8和﹣27的立方根，再求差即可；第13页（共13页）
根据算术平方根具有非负性可得a﹣2=0，b+3=0，计算出a、b的值，进而可得答案．【解答】解：=8，8的立方根是2，﹣27的立方根是﹣3，2﹣（﹣3）=5．故答案为：5；∵+=0，∴a﹣2=0，b+3=0，解得：a=2，b=﹣3，（a﹣b）2=25．故答案为：25．【点评】此题主要考查了实数的运算，关键是掌握平方根、立方根、算术平方根的定义． 三、解答题19．化简：（1）+﹣；（2）（3）3﹣﹣；（4）+（1﹣）0；（5）（﹣）（+）+2（6）（+﹣ab）•（a≥0，b≥0）．【考点】二次根式的混合运算；零指数幂．【分析】（1）先把各二次根式化为最简二次根式，然后合并即可；（2）先把根号内的数利用平方差公式变形，然后根据二次根式的乘法法则运算；（3）先把各二次根式化为最简二次根式，然后合并即可；（4）先根据零指数幂的意义运算，再把各二次根式化为最简二次根式，然后合并后进行二次根式的除法运算；（5）利用平方差公式计算；第13页（共13页）
（6）先把各二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘法运算．【解答】解：（1）原式=2+4﹣=5；（2）原式==×=13×11=143；（3）原式=6﹣3﹣=；（4）原式=+1=5+1=6；（5）原式=5﹣7+2=0；（6）原式=（a+b﹣ab）=a2b+ab2﹣ab．【点评】本题考查了二次根式的计算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．也考查了零指数幂． 20．求x的值：（1）2x2=8（2）（2x﹣1）3=﹣8．【考点】立方根；平方根．【分析】（1）利用解方程的步骤求解，注意解的最后一步利用平方根来求解；（2）利用立方根的定义可得出x的一元一次方程，再求解即可．【解答】解：（1）系数化为1可得：x2=4，两边开方得：x=±2；（2）由立方根的定义可得：2x﹣1=﹣2，解得x=﹣．【点评】本题主要考查平方根和立方根的定义及求法，正确掌握平方根和立方根的定义是解题的关键． 21．一个长方形的长与宽之比为5：3，它的对角线长为cm，求这个长方形的长与宽（结果保留2个有效数字）．【考点】一元二次方程的应用；实数的运算；勾股定理．【专题】几何图形问题．【分析】一个长方形的长与宽之比为5：3，设长为5xcm，则宽为3xcm，根据对角线长，用勾股定理即可列出方程，求出长方形的长和宽，再进行估算．【解答】解：设长为5xcm，则宽为3xcm，用勾股定理得（5x）2+（3x）2=（）2，第13页（共13页）
∴25x2+9x2=68，∴34x2=68，∴x2=2，即x=或x=﹣（舍去），∴长为5×≈7.1（cm），宽为3×≈4.2（cm），答：长方形的长为7.1cm，宽为4.2cm．【点评】这类根据长形的对角线与直角边构成直角三角形，利用勾股定理化为求一元二次方程的解的问题，求解舍去不符合条件的解即可． 22．大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不能全部地写出来，于是小平用﹣1来表示的小数部分，你同意小平的表示方法吗？事实上小平的表示方法是有道理的，因为的整数部分是1，用这个数减去其整数部分，差就是小数部分．请解答：已知：5+的小数部分是a，5﹣的整数部分是b，求a+b的值．【考点】估算无理数的大小．【分析】根据题目中的方法，估计的大小，求出a、b的值，再把a，b的值相加即可得出答案．【解答】解：∵4＜5＜9，∴2＜＜3，∴7＜5+＜8，∴a=﹣2．又∵﹣2＞﹣＞﹣3，∴5﹣2＞5﹣＞5﹣3，∴2＜5﹣＜3，∴b=2，∴a+b=﹣2+2=．【点评】此题考查了估算无理数的大小，常见的方法是夹逼法，解题关键是估算无理数的整数部分和小数部分． 第13页（共13页）
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