数学北师大9上第1章 特殊平行四边形检测题

第一章特殊平行四边形检测题（本检测题满分：120分，时间：120分钟）一、选择题（每小题3分，共30分）1.(2015•江苏连云港中考)已知四边形ABCD，下列说法正确的是()A.当AD＝BC，AB∥DC时，四边形ABCD是平行四边形B.当AD＝BC，AB＝DC时，四边形ABCD是平行四边形C.当AC＝BD，AC平分BD时，四边形ABCD是矩形D.当AC＝BD，AC⊥BD时，四边形ABCD是正方形2.（2015·贵州安顺中考）如图，点O是矩形ABCD的中心，E是AB上的点，折叠后，点B恰好与点O重合，若BC=3，则折痕CE的长为（）第2题图A.2B.C.D.63.从菱形的钝角顶点向对角的两条边作垂线，垂足恰好是该边的中点，则菱形的内角中钝角的度数是（）A.150°B.135°C.120°D.100°4.已知一矩形的两边长分别为10cm和15cm，其中一个内角的平分线分长边为两部分，这两部分的长为（）A.6cm和9cmB.5cm和10cmC.4cm和11cmD.7cm和8cm5.如图，在矩形中，分别为边的中点.若，，则图中阴影部分的面积为（）A.3B.4C.6D.8第6题图第5题图6.如图，在菱形中，，∠，则对角线等于（）A.20B.15C.10D.57.若正方形的对角线长为2cm，则这个正方形的面积为（）A.4B.2C.D.8.矩形、菱形、正方形都具有的性质是（  ）A.每一条对角线平分一组对角B.对角线相等C.对角线互相平分D.对角线互相垂直9.如图，将一个长为，宽为的矩形纸片先按照从左向右对折，再按照从下向上的方向对折，沿所得矩形两邻边中点的连线（虚线）剪下（如图（1）），再打开，得到如图（2）所示的小菱形的面积为（）A.B.C.D. 第10题图第9题图（1）（2）10.如图是一张矩形纸片，，若将纸片沿折叠，使落在上，点的对应点为点，若，则（  ）A.B.C.D.一、填空题（每小题3分，共24分）11.已知菱形的边长为6，一个内角为60°，则菱形的较短对角线的长是_________.12.如图，在菱形ABCD中，∠B＝60°，点E，F分别从点B，D同时以同样的速度沿边BC，DC向点C运动.给出以下四个结论：①;②∠∠;③当点E，F分别为边BC，DC的中点时，△AEF是等边三角形；④当点E，F分别为边BC，DC的中点时，△AEF的面积最大.上述正确结论的序号有.13.如图，四边形ABCD是正方形，延长AB到点E，使，则∠BCE的度数是.14.如图，矩形的两条对角线交于点，过点作的垂线，分别交，于点，，连接，已知△的周长为24cm，则矩形的周长是cm.15.（2015·贵州安顺中考）如图，正方形ABCD的边长为4，E为BC上的一点，BE=1，F为AB上的一点，AF=2，P为AC上一个动点，则PF+PE的最小值为.第15题图16.已知菱形的周长为，一条对角线长为，则这个菱形的面积为_________.17.如图，矩形的对角线，，则图中五个小矩形的周长之和为_______. CDAB 第17题图第18题图18.（2015·上海中考）已知E是正方形ABCD的对角线AC上一点，AE＝AD，过点E作AC的垂线，交边CD于点F，那么∠FAD＝________度．三、解答题（共66分）19.（8分）如图，在△ABC中，AB=AC，AD是△ABC外角的平分线，已知∠BAC=∠ACD.（1）求证：△ABC≌△CDA；（2）若∠B=60°，求证：四边形ABCD是菱形.20.（8分）如图，在□ABCD中，E为BC边上的一点，连接AE、BD且AE=AB.（1）求证：∠ABE=∠EAD；（2）若∠AEB=2∠ADB，求证：四边形ABCD是菱形.21.（8分）（2015·贵州安顺中考）如图，已知点D在△ABC的BC边上，DE∥AC交AB于E，DF∥AB交AC于F.（1）求证:AE=DF.（2）若AD平分∠BAC，试判断四边形AEDF的形状，并说明理由.第21题图22.（8分）如图，正方形ABCD的边长为3，E，F分别是AB，BC边上的点，且∠EDF=45°.将△DAE绕点D逆时针旋转90°，得到△DCM.（1）求证：EF=FM； （2）当AE=1时，求EF的长.23.（8分）如图，在矩形中，相交于点，平分，交于点.若，求∠的度数.24.（8分）如图所示，在矩形ABCD中，E，F分别是边AB，CD上的点，AE＝CF，连接EF，BF，EF与对角线AC交于点O，且BE＝BF，∠BEF＝2∠BAC.（1）求证：OE＝OF；（2）若BC＝，求AB的长.25.(8分)已知：如图，在四边形中，∥，平分∠，，为的中点.试说明：互相垂直平分.第26题图26.(10分)如图，在△中，∠，的垂直平分线交于点，交于点，点在上，且.(1)求证：四边形是平行四边形.(2)当∠满足什么条件时，四边形是菱形？并说明理由. 第一章特殊平行四边形检测题参考答案一、选择题1.B解析：一组对边平行，另一组对边相等的四边形可能是等腰梯形，故A项错误；两组对边分别相等的四边形一定是平行四边形，故B项正确；对角线相等且一条对角线平分另一条对角线的四边形不一定是矩形，故C项错误；对角线相等且互相垂直的四边形不一定是正方形，故D项错误.2.A解析：根据图形折叠的性质可得：∠BCE=∠ACE=∠ACB，∠B=∠COE=90°，BC=CO=AC，所以∠BAC=30°，所以∠BCE=∠ACE=∠ACB=30°.因为BC=3，所以CE=2.3.C解析：如图，连接AC.在菱形ABCD中，AD=DC,AE⊥CD，AF⊥BC，因为，所以AE是CD的中垂线，所以，所以△ADC是等边三角形，所以∠60°，从而∠120°.4.B解析:如图，在矩形ABCD中，10cm，15cm，是∠的平分线，则∠∠C.由AE∥BC得∠∠AEB，所以∠∠AEB，即，所以10cm，ED=AD-AE=15-10=5(cm)，故选B.5.B解析：因为矩形ABCD的面积为，所以阴影部分的面积为，故选B．ABCD第7题答图6.D解析：在菱形中，由∠= ，得∠.又∵， ∴△是等边三角形，∴.7.B解析：如图，在正方形中，，则，即，所以，所以正方形的面积为2，故选B.8.C9.A解析：由题意知AC⊥BD,且4，5，所以.10.A解析：由折叠知，四边形为正方形，∴.二、填空题11.6解析:较短的对角线将菱形分成两个全等的等边三角形，所以较短对角线的长为6.12.①②③解析：因为四边形ABCD为菱形，所以ABCD，∠B=∠D，BE=DF，所以△≌△，所以AEAF，①正确.由CB=CD，BE=DF,得CE=CF，所以∠CEF=∠CFE，②正确.当E，F分别为BC，CD的中点时，BE=DF=BC=DC.连接AC，BD，知△为等边三角形，所以⊥.因为AC⊥BD,所以∠ACE=60°，∠CEF=30°，⊥，所以∠AEF=.由①知AEAF，故△为等边三角形，③正确.设菱形的边长为1，当点E，F分别为边BC，DC的中点时，的面积为，而当点E，F分别与点B，D重合时，=，故④错.13.22.5°解析:由四边形是正方形，得∠∠又，所以.5°，所以∠.14.48解析:由矩形可知，又⊥，所以垂直平分，所以.已知△的周长为24cm，即所以矩形ABCD的周长为 15.解析：如图，作E关于直线AC的对称点E′，则BE=DE′，连接E′F，则E′F即为所求，过F作FG⊥CD于G，在Rt△E′FG中，GE′=CD-DE′-CG=CD-BE-BF=4-1-2=1，GF=4，所以E′F=＝＝.第15题答图16.96解析：因为菱形的周长是40，所以边长是10．如图，，．根据菱形的性质，有⊥，，所以，．所以．17.28解析：由勾股定理,得.又，，所以所以五个小矩形的周长之和为18.22.5解析：由四边形ABCD是正方形，可知∠BAD=∠D=90°，∠CAD=∠BAD=45°.由FE⊥AC，可知∠AEF=90°.在Rt△ABC与Rt△ADC中，AE=AD，AF=AF，∴Rt△AEF≌Rt△ADF（HL），∴∠FAD=∠FAE=∠CAD=×45°=22.5°.三、解答题19.证明：（1）∵AB=AC，∴∠B=∠ACB，∴∠FAC=∠B+∠ACB=2∠BCA.∵AD平分∠FAC，∴∠FAC=2∠CAD，∴∠CAD=∠ACB.在△ABC和△CDA中，∠BAC＝∠DCA，AC＝AC，∠DAC＝∠ACB，∴△ABC≌△CDA.（2）∵∠FAC=2∠ACB，∠FAC=2∠DAC，∴∠DAC=∠ACB，∴AD∥BC.∵∠BAC=∠ACD，∴AB∥CD，∴四边形ABCD是平行四边形.∵∠B=60°，AB=AC，∴△ABC是等边三角形，∴AB=BC，∴平行四边形ABCD是菱形.20.证明：（1）在□ABCD中，AD∥BC，∴∠AEB=∠EAD.∵AE=AB，∴∠ABE=∠AEB，∴∠ABE=∠EAD. （2）∵AD∥BC，∴∠ADB=∠DBE.∵∠ABE=∠AEB，∠AEB=2∠ADB，∴∠ABE=2∠ADB，∴∠ABD=∠ABE-∠DBE=2∠ADB-∠ADB=∠ADB，∴AB=AD.又∵四边形ABCD是平行四边形，∴四边形ABCD是菱形.21.解：（1）证明：因为DE∥AC，DF∥AB，所以四边形AEDF是平行四边形,所以AE=DF.（2）解：若AD平分∠BAC，则四边形AEDF是菱形，理由如下：因为DE∥AC，DF∥AB，所以四边形AEDF是平行四边形，且∠BAD=∠FDA.又AD平分∠BAC，所以∠BAD=∠DAF，所以∠DAF=∠FDA，所以AF=DF，所以平行四边形AEDF为菱形.22.（1）证明：∵△DAE逆时针旋转90°得到△DCM，∴∠FCM=∠FCD+∠DCM=180°，∴F，C，M三点共线，DE=DM，∠EDM=90°，∴∠EDF+∠FDM=90°.∵∠EDF=45°，∴∠FDM=∠EDF=45°.在△DEF和△DMF中，DE=DM，∠EDF=∠MDF，DF=DF，∴△DEF≌△DMF（SAS），∴EF=MF.（2）解：设EF=MF=x，∵AE=CM=1，且BC=3，∴BM=BC+CM=3+1=4，∴BF=BM－MF=BM－EF=4－x.∵EB=AB－AE=3－1=2，在Rt△EBF中，由勾股定理得EB2+BF2=EF2，即22+（4－x）2=x2，解得：x=，即EF=.23.解：因为平分，所以.又知，所以因为，所以△为等边三角形，所以因为，所以△为等腰直角三角形，所以．所以，，所以=75°.24.（1）证明:∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD.∴∠OAE=∠OCF.又∵OA=OC,∠AOE=∠COF，∴△AEO≌△CFO（ASA）.∴OE=OF.（2）解:连接BO.∵BE=BF，∴△BEF是等腰三角形.又∵OE=OF,∴BO⊥EF,且∠EBO=∠FBO.∴∠BOF=90°. ∵四边形ABCD是矩形，∴∠BCF=90°.又∵∠BEF=2∠BAC,∠BEF=∠BAC+∠EOA,∴∠BAC=∠EOA.∴AE=OE.∵AE=CF,OE=OF,∴OF=CF.又∵BF=BF,∴Rt△BOF≌Rt△BCF（HL）.∴∠OBF=∠CBF.∴∠CBF=∠FBO=∠OBE.∵∠ABC=90°,∴∠OBE=30°.∴∠BEO=60°.∴∠BAC=30°.在Rt△BAC中，∵BC=2,∴AC=2BC=4.AB=点拨:证明线段相等的常用方法有以下几种：①等腰三角形中的等角对等边；②全等三角形中的对应边相等；③线段垂直平分线的性质；④角平分线的性质；⑤勾股定理；⑥借助第三条线段进行等量代换．25.解：如图，连接∵AB⊥AC，∴∠BAC=90°.因为在Rt△中，是的中点，所以是Rt△的斜边BC上的中线，所以，所以．因为平分，所以，所以所以∥.又AD∥BC，所以四边形是平行四边形．又，所以平行四边形是菱形，所以互相垂直平分．26.（1）证明：由题意知∠∠，∴∥，∴∠∠.∵，∴∠∠AEF=∠EAC=∠ECA.又∵，∴△≌△，∴，∴四边形是平行四边形．（2）解：当∠时，四边形是菱形．理由如下： ∵∠，∠，∴.∵垂直平分，∴.又∵，∴，∴，∴平行四边形是菱形．