一元二次方程 一、精心选一选：1．下列方程中，是关于x的一元二次方程的是（ ）A．ax2+bx+c=0B．x2+2x=x2﹣1C．3（x+1）2=2（x+1）D．+﹣2=02．用配方法解方程：x2﹣4x+2=0，下列配方正确的是（ ）A．（x﹣2）2=2B．（x+2）2=2C．（x﹣2）2=﹣2D．（x﹣2）2=63．某种药品原价为36元/盒，经过连续两次降价后售价为25元/盒．设平均每次降价的百分率为x，根据题意所列方程正确的是（ ）A．36（1﹣x）2=36﹣25B．36（1﹣2x）=25C．36（1﹣x）2=25D．36（1﹣x2）=254．若关于x的一元二次方程x2+（k+3）x+k=0的一个根是﹣2，则另一个根是（ ）A．2B．1C．﹣1D．05．若b（b≠0）是方程x2+cx+b=0的根，则b+c的值为（ ）A．1B．﹣1C．2D．﹣26．关于x的方程（a﹣5）x2﹣4x﹣1=0有实数根，则a满足（ ）A．a≥1B．a＞1且a≠5C．a≥1且a≠5D．a≠57．已知关于x的方程x2﹣（2k﹣1）x+k2=0有两个不相等的实数根，那么k的最大整数值是（ ）A．﹣2B．﹣1C．0D．18．若方程x2+mx+1=0和方程x2﹣x﹣m=0有一个相同的实数根，则m的值为（ ）A．2B．0C．﹣1D．无法确定9．用13m的铁丝网围成一个长边靠墙面积为20m2的长方形，求这个长方形的长和宽，设平行于墙的一边为xm，可得方程（ ）A．x（13﹣x）=20B．C．D．10．如图，菱形ABCD的边长是5，两条对角线交于O点，且AO、BO的长分别是关于x的方程x2+（2m﹣1）x+m2+3=0的根，则m的值为（ ）
A．﹣3B．5C．5或﹣3D．﹣5或3 二、细心填一填：11．一元二次方程3x（x﹣2）=﹣4的一般形式是______，该方程根的情况是______．12．方程2﹣x2=0的解是______．13．配方x2﹣8x+______=（x﹣______）2．14．设a，b是方程x2+x﹣2013=0的两个不相等的实数根，则a2+2a+b的值为______．15．若一个三角形的三边长均满足方程x2﹣6x+8=0，则此三角形的周长为______．16．科学研究表明，当人的下肢长与身高之比为0.618时，看起来最美．某成年女士身高为153cm，下肢长为92cm，该女士穿的高跟鞋鞋跟的最佳高度约为______cm．（精确到0.1cm） 三、耐心答一答：17．用指定的方法解方程（1）（x+2）2﹣25=0（直接开平方法）（2）x2+4x﹣5=0（配方法）（3）（x+2）2﹣10（x+2）+25=0（因式分解法）（4）2x2﹣7x+3=0（公式法）18．当x取什么值时，代数式x（x﹣1）与（x﹣2）+1的值相等？19．已知关于x的一元二次方程5x2+kx﹣10=0一个根是﹣5，求k的值及方程的另一个根．20．在高尔夫球比赛中，某运动员打出的球在空中飞行高度h（m）与打出后飞行的时间t（s）之间的关系是h=7t﹣t2．（1）经过多少秒钟，球飞出的高度为10m；（2）经过多少秒钟，球又落到地面．21．阅读下面的例题：解方程：x2﹣|x|﹣2=0解：（1）当x≥0时，原方程化为x2﹣x﹣2=0，解得：x1=2，x2=﹣1（不合题意，舍去）．（2）当x＜0时，原方程化为x2+x﹣2=0，解得：x1=1（不合题意，舍去），x2=﹣2∴原方程的根是x1=2，x2=﹣2．请参照例题解方程x2﹣|x﹣3|﹣3=0，则此方程的根是______．
22．已知关于x的方程x2﹣2（m+1）x+m2=0（1）当m取值范围是多少时，方程有两个实数根；（2）为m选取一个合适的整数，使方程有两个不相等的实数根，并求出这两个实数根．23．已知a、b、c分别是△ABC中∠A、∠B、∠C所对的边，且关于x的方程（c﹣b）x2+2（b﹣a）x+（a﹣b）=0有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状．24．在我校的周末广场文艺演出活动中，舞台上有一幅矩形地毯，它的四周镶有宽度相同的花边（如图）．地毯中央的矩形图案长8米、宽6米，整个地毯的面积是80平方米．求花边的宽．25．某电脑销售商试销某一品牌电脑（出厂为3000元/台）以4000元/台销售时，平均每月可销售100台，现为了扩大销售，销售商决定降价销售，在原来1月份平均销售量的基础上，经2月份的市场调查，3月份调整价格后，月销售额达到576000元．已知电脑价格每台下降100元，月销售量将上升10台．（1）求1月份到3月份销售额的月平均增长率；（2）求3月份时该电脑的销售价格．26．某商店以6元/千克的价格购进某种干果1140千克，并对其进行筛选分成甲级干果与乙级干果后同时开始销售．这批干果销售结束后，店主从销售统计中发现：甲级干果与乙级干果在销售过程中每天都有销量，且在同一天卖完；甲级干果从开始销售至销售的第x天的总销量y1（千克）与x的关系为y1=﹣x2+40x；乙级干果从开始销售至销售的第t天的总销量y2（千克）与t的关系为y2=at2+bt，且乙级干果的前三天的销售量的情况见下表：t123y2214469（1）求a、b的值；（2）若甲级干果与乙级干果分别以8元/千克和6元/千克的零售价出售，则卖完这批干果获得的毛利润是多少元？（3）问从第几天起乙级干果每天的销量比甲级干果每天的销量至少多6千克？（说明：毛利润=销售总金额﹣进货总金额．这批干果进货至卖完的过程中的损耗忽略不计）
《一元二次方程》参考答案与试题解析 一、精心选一选：1．下列方程中，是关于x的一元二次方程的是（ ）A．ax2+bx+c=0B．x2+2x=x2﹣1C．3（x+1）2=2（x+1）D．+﹣2=0【解答】解：A、a=0时，不是一元二次方程，错误；B、原式可化为2x+1=0，是一元一次方程，错误；C、原式可化为3x2+4x+1=0，符合一元二次方程的定义，正确；D、是分式方程，错误．故选C． 2．用配方法解方程：x2﹣4x+2=0，下列配方正确的是（ ）A．（x﹣2）2=2B．（x+2）2=2C．（x﹣2）2=﹣2D．（x﹣2）2=6【解答】解：把方程x2﹣4x+2=0的常数项移到等号的右边，得到x2﹣4x=﹣2，方程两边同时加上一次项系数一半的平方，得到x2﹣4x+4=﹣2+4，配方得（x﹣2）2=2．故选：A． 3．某种药品原价为36元/盒，经过连续两次降价后售价为25元/盒．设平均每次降价的百分率为x，根据题意所列方程正确的是（ ）A．36（1﹣x）2=36﹣25B．36（1﹣2x）=25C．36（1﹣x）2=25D．36（1﹣x2）=25【解答】解：第一次降价后的价格为36×（1﹣x），两次连续降价后售价在第一次降价后的价格的基础上降低x，为36×（1﹣x）×（1﹣x），则列出的方程是36×（1﹣x）2=25．故选：C． 4．若关于x的一元二次方程x2+（k+3）x+k=0的一个根是﹣2，则另一个根是（ ）
A．2B．1C．﹣1D．0【解答】解：设方程的另一个根是x，依题意得，解之得x=1，即方程的另一个根是1．故选B． 5．若b（b≠0）是方程x2+cx+b=0的根，则b+c的值为（ ）A．1B．﹣1C．2D．﹣2【解答】解：把x=b代入方程x2+cx+b=0得到：b2+bc+b=0即b（b+c+1）=0，又∵b≠0，∴b+c=﹣1，故本题选B． 6．关于x的方程（a﹣5）x2﹣4x﹣1=0有实数根，则a满足（ ）A．a≥1B．a＞1且a≠5C．a≥1且a≠5D．a≠5【解答】解：分类讨论：①当a﹣5=0即a=5时，方程变为﹣4x﹣1=0，此时方程一定有实数根；②当a﹣5≠0即a≠5时，∵关于x的方程（a﹣5）x2﹣4x﹣1=0有实数根∴16+4（a﹣5）≥0，∴a≥1．∴a的取值范围为a≥1．故选：A． 7．已知关于x的方程x2﹣（2k﹣1）x+k2=0有两个不相等的实数根，那么k的最大整数值是（ ）A．﹣2B．﹣1C．0D．1【解答】解：∵a=1，b=﹣（2k﹣1），c=k2，方程有两个不相等的实数根∴△=b2﹣4ac=（2k﹣1）2﹣4k2=1﹣4k＞0
∴k＜∴k的最大整数为0．故选C． 8．若方程x2+mx+1=0和方程x2﹣x﹣m=0有一个相同的实数根，则m的值为（ ）A．2B．0C．﹣1D．无法确定【解答】解：由方程x2+mx+1=0得x2=﹣mx﹣1，由方程x2﹣x﹣m=0得x2=x+m．则有﹣mx﹣1=x+m，即x=﹣1．把x=﹣1代入方程x2+mx+1=0，得方程1﹣m+1=0，从而解得m=2．故选A． 9．用13m的铁丝网围成一个长边靠墙面积为20m2的长方形，求这个长方形的长和宽，设平行于墙的一边为xm，可得方程（ ）A．x（13﹣x）=20B．C．D．【解答】解：平行于墙的一边为xm，那么垂直于墙的有2个边，等于（铁丝长﹣x）÷2，∴．故选B． 10．如图，菱形ABCD的边长是5，两条对角线交于O点，且AO、BO的长分别是关于x的方程x2+（2m﹣1）x+m2+3=0的根，则m的值为（ ）A．﹣3B．5C．5或﹣3D．﹣5或3【解答】解：由勾股定理可得：AO2+BO2=25，又有根与系数的关系可得：AO+BO=﹣2m+1，AO•BO=m2+3∴AO2+BO2=（AO+BO）2﹣2AO•BO=（﹣2m+1）2﹣2（m2+3）=25，
整理得：m2﹣2m﹣15=0，解得：m=﹣3或5．又∵△＞0，∴（2m﹣1）2﹣4（m2+3）＞0，解得m＜﹣，∴m=﹣3，故本题选A． 二、细心填一填：11．一元二次方程3x（x﹣2）=﹣4的一般形式是 3x2﹣6x+4=0 ，该方程根的情况是 无实数根 ．【解答】解：3x（x﹣2）=﹣4，3x2﹣6x+4=0，∵△=（﹣6）2﹣4×3×4=﹣12＜0，∴无实数根．故答案为：3x2﹣6x+4=0；无实数根． 12．方程2﹣x2=0的解是 ．【解答】解：移项，得x2=2开方，得x=±． 13．配方x2﹣8x+ 16 =（x﹣ 4 ）2．【解答】解：∵所给代数式的二次项系数为1，一次项系数为﹣8，等号右边正好是一个完全平方式，∴常数项为（﹣8÷2）2=16，∴x2﹣8x+16=（x﹣4）2．故答案为16；4． 14．设a，b是方程x2+x﹣2013=0的两个不相等的实数根，则a2+2a+b的值为 2012 ．【解答】解：∵a，b是方程x2+x﹣2013=0的两个不相等的实数根，∴a2+a﹣2013=0，
∴a2+a=2013，又∵a+b=﹣=﹣1，∴a2+2a+b=（a2+a）+（a+b）=2013﹣1=2012．故答案为：2012． 15．若一个三角形的三边长均满足方程x2﹣6x+8=0，则此三角形的周长为 6，10，12 ．【解答】解：解方程x2﹣6x+8=0得x1=4，x2=2；当4为腰，2为底时，4﹣2＜4＜4+2，能构成等腰三角形，周长为4+2+4=10；当2为腰，4为底时4﹣2=2＜4+2不能构成三角形，当等腰三角形的三边分别都为4，或者都为2时，构成等边三角形，周长分别为6，12，故△ABC的周长是6或10或12． 16．科学研究表明，当人的下肢长与身高之比为0.618时，看起来最美．某成年女士身高为153cm，下肢长为92cm，该女士穿的高跟鞋鞋跟的最佳高度约为 6.7 cm．（精确到0.1cm）【解答】答：设高跟鞋鞋跟的高度为x，根据题意列方程得：（92+x）÷（153+x）≈0.618，解得x≈6.69，精确到0.1cm为，6.7cm． 三、耐心答一答：17．用指定的方法解方程（1）（x+2）2﹣25=0（直接开平方法）（2）x2+4x﹣5=0（配方法）（3）（x+2）2﹣10（x+2）+25=0（因式分解法）（4）2x2﹣7x+3=0（公式法）【解答】解：（1）（x+2）2﹣25=0（直接开平方法）x+2=±5∴x1=3，x2=﹣7．（2）x2+4x﹣5=0（配方法）（x+2）2=9
x+2=±3∴x1=﹣5，x2=1；（3）（x+2）2﹣10（x+2）+25=0（因式分解法）（x+2﹣5）（x+2﹣5）=0∴x1=x2=3；（4）2x2﹣7x+3=0（公式法）x=x1=3，x2=． 18．当x取什么值时，代数式x（x﹣1）与（x﹣2）+1的值相等？【解答】解：根据题意得：x（x﹣1）=（x﹣2）+1，3x（x﹣1）=2（x﹣2）+6，3x2﹣3x=2x﹣4+6，3x2﹣3x﹣2x+4﹣6=0，3x2﹣5x﹣2=0，（3x+1）（x﹣2）=0，3x+1=0或x﹣2=0，x1=﹣，x2=2． 19．已知关于x的一元二次方程5x2+kx﹣10=0一个根是﹣5，求k的值及方程的另一个根．【解答】解：根据二次方程根与系数的关系，可得x1•x2=﹣2，x1+x2=﹣，而已知其中一根为﹣5，有（﹣5）•x2=﹣2，可得x2=，又有x1+x2=﹣，解可得k=23；答：k=23，另一根为．
20．在高尔夫球比赛中，某运动员打出的球在空中飞行高度h（m）与打出后飞行的时间t（s）之间的关系是h=7t﹣t2．（1）经过多少秒钟，球飞出的高度为10m；（2）经过多少秒钟，球又落到地面．【解答】解：（1）把h=10代入函数解析式h=7t﹣t2得，7t﹣t2=10，解得t1=2，t2=5，答：经过2秒或5秒，球飞出的高度为10m；（2）把h=0代入函数解析式h=7t﹣t2得，7t﹣t2=0，解得t1=0（为球开始飞出时间），t2=7（球又落到地面经过的时间），答：经过7秒钟，球又落到地面． 21．阅读下面的例题：解方程：x2﹣|x|﹣2=0解：（1）当x≥0时，原方程化为x2﹣x﹣2=0，解得：x1=2，x2=﹣1（不合题意，舍去）．（2）当x＜0时，原方程化为x2+x﹣2=0，解得：x1=1（不合题意，舍去），x2=﹣2∴原方程的根是x1=2，x2=﹣2．请参照例题解方程x2﹣|x﹣3|﹣3=0，则此方程的根是 x1=﹣3，x2=2 ．【解答】解：（1）当x≥3时，原方程化为x2﹣（x﹣3）﹣3=0，即x2﹣x=0解得x1=0（不合题意，舍去），x2=1（不合题意，舍去）；（2）当x＜3时，原方程化为x2+x﹣3﹣3=0即x2+x﹣6=0，解得x1=﹣3，x2=2．所以原方程的根是x1=﹣3，x2=2． 22．已知关于x的方程x2﹣2（m+1）x+m2=0（1）当m取值范围是多少时，方程有两个实数根；（2）为m选取一个合适的整数，使方程有两个不相等的实数根，并求出这两个实数根．
【解答】解：（1）由题意知：△=b2﹣4ac=[﹣2（m+1）]2﹣4m2=[﹣2（m+1）+2m][﹣2（m+1）﹣2m]=﹣2（﹣4m﹣2）=8m+4≥0，解得m≥．∴当m≥时，方程有两个实数根．（2）选取m=0．（答案不唯一，注意开放性）方程为x2﹣2x=0，解得x1=0，x2=2． 23．已知a、b、c分别是△ABC中∠A、∠B、∠C所对的边，且关于x的方程（c﹣b）x2+2（b﹣a）x+（a﹣b）=0有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状．【解答】解：∵x的方程（c﹣b）x2+2（b﹣a）x+（a﹣b）=0有两个相等的实数根，∴△=b2﹣4ac=0，且c﹣b≠0，即c≠b．∴4（b﹣a）2﹣4（c﹣b）（a﹣b）=0，则4（b﹣a）（b﹣a+c﹣b）=0，∴（b﹣a）（c﹣a）=0，∴b﹣a=0或c﹣a=0，∴b=a，或c=a．∴此三角形为等腰三角形． 24．在我校的周末广场文艺演出活动中，舞台上有一幅矩形地毯，它的四周镶有宽度相同的花边（如图）．地毯中央的矩形图案长8米、宽6米，整个地毯的面积是80平方米．求花边的宽．【解答】解：设花边的宽为x米，根据题意得（2x+8）（2x+6）=80，解得x1=1，x2=﹣8，
x2=﹣8不合题意，舍去．答：花边的宽为1米． 25．某电脑销售商试销某一品牌电脑（出厂为3000元/台）以4000元/台销售时，平均每月可销售100台，现为了扩大销售，销售商决定降价销售，在原来1月份平均销售量的基础上，经2月份的市场调查，3月份调整价格后，月销售额达到576000元．已知电脑价格每台下降100元，月销售量将上升10台．（1）求1月份到3月份销售额的月平均增长率；（2）求3月份时该电脑的销售价格．【解答】解：（1）设1月份到3月份销售额的月平均增长率为x，由题意得：400000（1+x）2=576000，1+x=±1.2，x1=0.2，x2=﹣2.2（舍去）∴1月份到3月份销售额的月平均增长率为20%；（2）设3月份电脑的销售价格在每台4000元的基础上下降y元，由题意得：（4000﹣y）（100+0.1y）=576000，y2﹣3000y+1760000=0，（y﹣800）（y﹣2200）=0，∴y=800或y=2200，当y=2200时，3月份该电脑的销售价格为4000﹣2200=1800＜3000不合题意舍去．∴y=800，3月份该电脑的销售价格为4000﹣800=3200元．∴3月份时该电脑的销售价格为3200元． 26．某商店以6元/千克的价格购进某种干果1140千克，并对其进行筛选分成甲级干果与乙级干果后同时开始销售．这批干果销售结束后，店主从销售统计中发现：甲级干果与乙级干果在销售过程中每天都有销量，且在同一天卖完；甲级干果从开始销售至销售的第x天的总销量y1（千克）与x的关系为y1=﹣x2+40x；乙级干果从开始销售至销售的第t天的总销量y2（千克）与t的关系为y2=at2+bt，且乙级干果的前三天的销售量的情况见下表：t123y2214469（1）求a、b的值；
（2）若甲级干果与乙级干果分别以8元/千克和6元/千克的零售价出售，则卖完这批干果获得的毛利润是多少元？（3）问从第几天起乙级干果每天的销量比甲级干果每天的销量至少多6千克？（说明：毛利润=销售总金额﹣进货总金额．这批干果进货至卖完的过程中的损耗忽略不计）【解答】解：（1）根据表中的数据可得．答：a、b的值分别是1、20；（2）甲级干果和乙级干果n天售完这批货．﹣n2+40n+n2+20n=1140n=19，当n=19时，y1=399，y2=741，毛利润=399×8+741×6﹣1140×6=798（元），答：卖完这批干果获得的毛利润是798元．（3）设从第m天起乙级干果每天的销量比甲级干果每天的销量至少多6千克，则甲、乙级干果的销售量为m天的销售量减去m﹣1天的销售量，即甲级水果第m天所卖出的干果数量：（﹣m2+40m）﹣[﹣（m﹣1）2+40（m﹣1）]=﹣2m+41．乙级水果第m天所卖出的干果数量：（m2+20m）﹣[（m﹣1）2+20（m﹣1）]=2m+19，（2m+19）﹣（﹣2m+41）≥6，解得：m≥7，答：第7天起乙级干果每天的销量比甲级干果每天的销量至少多6千克．
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