数学北师大9上第5章视图与投影 知识精讲

新版北师大版九年级数学上册第五章视图与投影知识要点1.主要概念：（1）圆柱的主视图是矩形，左视图是矩形，俯视图是圆。（2）圆锥的主视图是三角形；左视图是三角形；俯视图是圆，还要画上圆心。（3）球的主视图是圆；左视图是圆；俯视图是圆。（4）投影：物体在光线的照射下，会在地面或墙上留下它的影子，这就是投影现象。（5）平行投影：太阳光线可以看成是平行光线，像这样的光线所形成的投影称为平行投影。（6）中心投影：由一点发出的光线形成的投影是中心投影。（7）视点：眼睛的位置称为视点。（8）视线：由视点出发的线称为视线。（9）盲区：视线看不到的地方称为盲区。2.主要原理：（1）画视图时，看得见的部分的轮廓通常画成实线，看不见部分的轮廓线通常画成虚线。（2）我们在画三视图时，主、左视图的高要相等；俯、左视图的宽要相等。（3）在同一时刻，不同物体的影子与它们的高度是成比例的。（4）在同一天中，由早晨到傍晚，物体的影子由正西、北偏西、正北、北偏东、正东的方向移动。（5）当投影光线与投影面垂直时，形成的投影就是物体的正投影。【典型例题】例1.如图，画出正三棱柱在这两种位置时的视图。解：图中正三棱柱在位置（一）时的三视图如下图所示。图中正三棱柱在位置（二）时的三视图如下图所示： 例2.如图所示，画出下列物体的三视图。答：两个物体的三视图如图（a）（b）例3.图1是底面为等腰直角三角形的三棱柱俯视图，画出它们主视图和左视图。解：如图2。 例4.某校墙边有甲、乙两根木杆。（1）某一时刻甲木杆在阳光下的影子如图（1）所示，你能画出此时乙木杆的影子吗？（2）当乙木杆移动到什么位置时，其影子刚好不落在墙上？（3）在你所画的图形中有相似的三角形吗？为什么？解答：（1）如图（2），作直线，过E作的平行线，交所在直线于，则就是乙木杆的影子；（2）平移由乙杆、乙杆的影子和太阳光线所构成的图形（即△BE），直到其影子的顶端抵达墙角为止；（3）△与△相似。例5.（山西省中考题）如图，小明想测量电线杆AB的高度，他发现电线杆的影子恰好落在土坡的坡面CD和地面BC上，量得CD=4米，BC=10米，CD与地面成30°角，且此时测得1米杆的影长为2米，则电线杆的高度约为_____________米（结果保留两位有效数字，）。解答：延长BC、AD，二线交于点E，过点D作DF⊥BE于点F，则BE为旗杆AB的影子。∵∠DCF=30°，CD=4m∴DF=，∴∵∠ABC=∠DFE=90°，∠E=∠E，∴△ABE∽△DFE，∴∵在同一时刻两物体的物高与影长成比例，∴设AB=x米，则BE=2x米∴∴（米）答：电线杆的高度约为8.7米。例6.如图所示，路灯下某公路护栏AB的影子为，某果树CD的影子为 ，请画出电线杆EF的影子。解答：如图所示，作直线，交于点O，连结OF并延长交AE于，即为EF的影子。例7.同一时刻，一棵树和一竿旗的影子如图所示，这是白天还是夜晚，请画出小明此刻的影子。解：是夜晚，分别过小树及其影子顶端，旗杆及其影子顶端作直线交点为O，过O点及小明头部顶点作直线，此直线与地面交于点B，设小明立足点为A，则AB是小明的影子。例8.与一盏路灯相对，有一玻璃幕墙，幕墙前面的地面上有一盆花和一棵树。晚上，幕墙反射路灯灯光形成了那盆花的影子，树影是路灯灯光形成的，如下图所示，你能确定此时路灯光源的位置吗？解：过盆花及其影子顶端作直线，作反射面法线，作∠2=∠1，得光线l1，过树及其影子顶端作直线l2，两线交点O，则O处为灯光位置。例9.小明、小刚在同一座楼的四层、六层。他们楼前有一商店，他们的同学小江在下面喊，小明说，小江在哪儿呢？小刚说我看到小江啦！请问此时小江在什么位置？解：将六楼处设为点A，四楼处设为点，商店顶部一点设为点B，过A、B，、B分别作直线交地面于C、D两点，如图所示。小江在CD区域内。 真题演练一、选择题1.如图（1）所示，所对应的物体还是图（2）所示中的（）图（1）图（2）2.如图（3）所示的空心几何体的俯视图是图（4）中的（）图（3）图（4）3.物体在太阳光的照射下，不同的时刻会发生的现象是（）A.影子的大小不变，方向在变B.影子的大小在变，方向不变C.影子的大小、方向都在变D.影子的大小、方向都不变4.强强和亮亮在路灯下走，本来很高的强强的影长却比矮的亮亮的影子短，因为（）A.强强离路灯近B.亮亮离路灯近C.强强和亮亮分别在路灯的两旁D.路灯比强强高5.货车司机的驾驶室一般都设计得较高，而且尽量靠前，这是为了（）A.接触到更好的阳光B.看得更远C.减小因车头挡住视线产生的盲区D.空气更新鲜6.下列投影中，不属于中心投影的是（） A.晚上路灯下小孩的影子B.汽车灯光照射下行人的影子C.阳光下沙滩上人的影子D.舞台上一束灯光下演员的影子7.小明拿了一张正方形卡片，使卡片面与墙面平行，这时发现墙面上形成了卡片的影子，则下列关于其影子的叙述正确的是（）A.墙上形成的影子的形状和大小一定与卡片相同B.墙上形成的影子有可能比卡片小C.墙上形成的影子比卡片大或小都有可能D.墙上形成的影子有可能比卡片大8.一个几何体的主视图和左视图都是相同的长方形，府视图为圆，则这个几何体为（）A、圆柱B、圆锥C、圆台D、球9.从早上太阳升起的某一时刻开始到晚上，旭日广场的旗杆在地面上的影子的变化规律是（）A、先变长，后变短B、先变短，后变长C、方向改变，长短不变D、以上都不正确10.在相同的时刻，物高与影长成比例.如果高为1.5米人测竿的影长为2.5米，那么影长为30米的旗杆的高是（）A、20米B、16米C、18米D、15米11.下列说法正确的是（）A、物体在阳光下的投影只与物体的高度有关B、小明的个子比小亮高，我们可以肯定，不论什么情况，小明的影子一定比小亮的影子长.C、物体在阳光照射下，不同时刻，影长可能发生变化，方向也可能发生变化.D、物体在阳光照射下，影子的长度和方向都是固定不变的.12.关于盲区的说法正确的有（）（1）我们把视线看不到的地方称为盲区（2）我们上山与下山时视野盲区是相同的（3）我们坐车向前行驶，有时会发现一些高大的建筑物会被比它矮的建筑物挡住（4）人们常说“站得高，看得远”，说明在高处视野盲区要小，视野范围大A、1个B、2个C、3个D、4个13.如图1是空心圆柱体在指定方向上的视图，正确的是（）图114.如图2所示，这是圆桌正上方的灯泡（看作一个点）发出的光线照射桌面后，在地面上形成阴影（圆形）的示意图.已知桌面的直径为1.2m，桌面距离地面1m，若灯泡距离地面3m，则地面上阴影部分的面积为（）图2A、0.36m2B、0.81m2C、2m2D、3.24m215.如图3 是小明一天上学、放学时看到的一根电线杆的影子的府视图，按时间先后顺序进行排列正确的是（）A、（1）（2）（3）（4）B、（4）（3）（1）（2）C、（4）（3）（2）（1）D、（2）（3）（4）（1）16.“皮影戏”作为我国一种民间艺术，对它的叙述错误的是（）A.它是用兽皮或纸板做成的人物剪影，来表演故事的戏曲B.表演时，要用灯光把剪影照在银幕上C.灯光下，做不同的手势可以形成不同的手影D.表演时，也可用阳光把剪影照在银幕上17.给出下列结论正确的有（）①物体在阳光照射下，影子的方向是相同的②物体在任何光线照射下影子的方向都是相同的③物体在路灯照射下，影子的方向与路灯的位置有关④物体在光线照射下，影子的长短仅与物体的长短有关.A.1个B.2个C.3个D.4个二、填空题18.明明和亮亮为了踢好足球，练习追逐跑，于是他们两人决定玩踩影子的游戏，即踩到对方影子为获胜，你认为在阳光下练习还是在路灯下练习更有意义？_____________。19.现有甲、乙两个长方体盒子，甲的规格为：15cm×40cm×60cm，乙的规格为：20cm×30cm×30cm。（1）乙盒子____________（填“能”或“不能”）放在甲盒子中；（2）在阳光下乙盒子的影子____________（填“能”或“不能”）藏在甲盒子的影子中。20.明明和爸爸玩将手影投在墙上的游戏，爸爸的手大，手影做出了一只大狗，明明的手小，但手影却做出了一只更大的狗，明明的手比爸爸手_____________（填“靠近”或“远离”）墙。21.阳光下，在同一时刻，物体越高，它的影子越_____________。在灯光下，物体的影长不仅与物体的_____________有关，还与物体到光源的_____________有关。22.三种视图都相同的几何体有_____________。23.根据下列物体的三视图，如图，可知几何体是_____________124.主视图、左视图、府视图都相同的几何体为（写出两个）.25、太阳光线形成的投影称为，手电筒、路灯、台灯的光线形成的投影称为. 26、我们把大型会场、体育看台、电影院建为阶梯形状，是为了.27、为了测量一根电线杆的高度，取一根2米长的竹竿竖直放在阳光下，2米长的竹竿的影长为1米，并且在同一时刻测得电线杆的影长为7.3米，则电线杆的高为米.28、如果一个几何体的主视图、左视图都是等腰三角形，俯视图为圆，那么我们可以确定这个几何体是.29、将一个三角板放在太阳光下，它所形成的投影是，也可能是.30、身高相同的小明和小华站在灯光下的不同位置，如果小明离灯较远，那么小明的投影比小华的投影.31、展览厅内要用相同的正方体木块搭成一个三视图如图4的展台，则此展台共需这样的正方体______块。图432、一张桌子摆放若干碟子，从三个方向上看，三种视图如下图所示，则这张桌子上共有个碟子。俯视图主视图左视图33、身高相同的小明和小丽站在灯光下的不同位置，已知小明的投影比小丽的投影长，我们可以判定小明离灯光较_________.三、解答题34.如图，某汽车司机在平坦的公路上行驶，前面出现两个建筑物，在A处司机能看到甲建筑物的一部分（把汽车看成一个点），这时视线与公路夹角α=30°，乙建筑物的高度为15米，若汽车刚好看不到甲建筑物时，司机的视线与公路的夹角为45°，请问他行驶了多少千米？35如图所示，添线补全下列物体的三种视图： 36.如图所示，分别是两根木杆及其影子的情形。（1）哪个图形反映了阳光下的情形？哪个图反映了路灯下的情形？（2）请你画出图中表示小树影长的线段。37某个有阳光的上午，战士们队列整齐地在操场上做操，战士甲和战士乙在同一列，战士甲恰好能踩到战士乙的影子，但战士甲的影子却不能被他后面的战士踩到，你知道战士甲和战士乙谁高吗？为什么？38如图，某小区宿舍楼甲楼坐落在正南正北方向，楼高16m，现在要在甲楼后面盖一座乙楼，冬天太阳最低时的正午时刻，若两楼相距20m，则甲楼的影子将落在乙楼上6m，若使甲楼的影子刚好不影响乙楼的采光，那么两楼的距离应是多少米？39、某糖果厂为儿童设计一种新型的装糖果的不倒翁（如图5所示）请你为包装厂设计出它的主视图、左视图和府视图.图540、画出图6中三棱柱的主视图、左视图、俯视图.图6 41、画出图7中空心圆柱的主视图、左视图、俯视图.图742、如图8所示，屋顶上有一只小猫，院子里有一只小老鼠，若小猫看见了小老鼠，则小老鼠就会有危险，试画出小老鼠在墙的左端的安全区.图8拓广探索（共20分）43、如图9为住宅区内的两幢楼，它们的高AB=CD=30m，两楼间的距离AC=30m，现需了解甲楼对乙楼的采光的影响情况，（1）当太阳光与水平线的夹角为30°角时，求甲楼的影子在乙楼上有多高（精确到0.1m，1.73）；（2）若要甲楼的影子刚好不落在乙楼的墙上，此时太阳与水平线的夹角为多少度？图9图1044、阳光通过窗口照到教室内，竖直窗框在地面上留下2.1m长的影子[如图（10）所示]，已知窗框的影子DE到窗下墙脚的距离CE=3.9m，窗口底边离地面的距离BC=1.2m，试求窗口的高度（即AB的值）45、一位同学想利用有关知识测旗杆的高度，他在某一时刻测得高为0.5m的小木棒的影长为0.3m，但当他马上测量旗杆的影长时，因旗杆靠近一幢建筑物，影子不全落在地面上，有一部分影子在墙上，他先测得留在墙上的影子CD=1.0m，又测地面部分的影长BC=3.0m，你能根据上述数据帮他测出旗杆的高度吗？图11 46、学习投影后，小明、小颖利用灯光下自己的影子长度来测量一路灯的高度，并探究影子长度的变化规律．如图7，在同一时间，身高为的小明的影子长是，而小颖刚好在路灯灯泡的正下方点，并测得．（1）请在图中画出形成影子的光线，交确定路灯灯泡所在的位置；（2）求路灯灯泡的垂直高度；（3）如果小明沿线段向小颖（点）走去，当小明走到中点处时，求其影子的长；当小明继续走剩下路程的到处时，求其影子的长；当小明继续走剩下路程的到处，…按此规律继续走下去，当小明走剩下路程的到处时，其影子的长为m（直接用的代数式表示）． 【试题答案】一、1.A2.A3.D4.A5.C6.C7.D8、A；9、B；10、C；11、C；12、C；13、C；14、B；15、B；16、D；17、B；二、18.阳光下19（1）不能（2）能20.远离21.长，高度，距离22球23五棱柱24、正方体或圆；25、平行投影，中心投影；26、减小盲区；27、14.6；28、圆锥；29、三角形，一条线段；30、长31、10；32、12；133、远；三、34.解：过甲、乙建筑物顶端B、C两点作直线交地面于D，则汽车行至D点时刚好看不到甲建筑物，且∠BDE=45°。在Rt△ACF中，∠A=30°，CF=15∴在Rt△CFD中，∵∠BDE=45°，∴∠FCD=45°∴FD=CF=15∴DA=AF－DF=。答：他行驶了米。3536（1）上图为路灯下的情形下图为阳光下的情形（2）上图先找到灯泡的位置再画树影下图找出太阳光的方向，作平行线得到树影37乙比甲高38.由已知条件可求影长与物高的比为2，所以要使乙楼恰好采光不受影响，两楼的距离应为32m。39、40、41、42、略 43、（1）如图2，延长OB交DC于E，作EF⊥AB，交AB于F，在Rt△BEF中，∵EF=AC=30m，∠FEB=30°，∴BE=2BF.设BF=x,则BE=2x.根据勾股定理知BE2=BF2＋EF2∴（2x）2=x2+302图2∴(负值舍去)，∴（m）因此，EC=30－17.3=12.7（m）。（2）当甲幢楼的影子刚好落在点C处时，△ABC为等腰三角形，因此，当太阳光与水平线夹角为45°时，甲楼的影子刚好不落在乙楼的墙上。44、解：由于阳光是平行光线，即AE∥BD，所以∠AEC=∠BDC.又因为∠C是公共角，所以△AEC∽△BDC，从而有.又AC=AB+BC，DC=EC－ED，EC=3.9，ED=2.1，BC=1.2，于是有，解得AB=1.4(m)。答：窗口的高度为1.4m。45、能。旗杆的高度为6.0m。分析：本题可以通过小明的身高和他的影子找出光源（即灯泡）的位置，由于路灯光线的投影是中心投影，然后利用相似三角形对应边成比例进行计算即可46、解：（1）连接CA并延长交HE于G（如图3）（2）由题意得：，，，（m）．图3（3），，