数学华东师大8上第13章 等腰三角形 同步练习

等腰三角形基础训练1．若一个等腰三角形的两边长分别为2和5，则它的周长为(A)A.12      B.9C.12或9    D.9或72．如果三角形满足一个角是另一个角的3倍，那么我们称这个三角形为“智慧三角形”．下列各组数据中，能作为一个智慧三角形三边长的一组是(D)A.1，2，3 B.1，1，C.1，1， D.1，2，3．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，则顶角度数为(D)A.60°   B.120°C.60°或150°   D.60°或120°4．下面给出的几种三角形：①有两个角为60°的三角形；②三个外角都相等的三角形；③一边上的高也是这边上的中线的等腰三角形；④有一个角为60°的等腰三角形．其中一定是等边三角形的有(B)A.4个   B.3个C.2个   D.1个(第5题图)5．如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，过点O作EF∥BC交AB于点E，交AC于点F，过点O作OD⊥AC于D，下列四个结论：①EF＝BE＋CF；②∠BOC＝90°＋∠A；③点O到△ABC各边的距离相等；④设OD＝m，AE＋AF＝n，则S△AEF＝mn.其中正确的结论是( A )A.①②③         B.①②④C.②③④     D.①③④(第6题图)6．如图，在△ABC中，D，E分别是AC，AB上的点，BD与CE交于点O.给出下列三个条件：①∠EBO＝∠DCO；②∠BEO＝∠CDO；③BE＝CD.上述三个条件中，哪两个条件组合可判定△ABC是等腰三角形(用序号写出一种情形)：①③或②③．7．在△ABC中，AB＝2，BC＝1，∠ABC＝45°，以AB为一边作等腰直角三角形ABD，使∠ABD＝90°，连结CD，则线段CD的长为__或__． (第8题图)8．如图，在△ABC中，AB＝AC，D为CA延长线上一点，DE⊥BC，交线段AB于点F.请找出一组相等的线段(AB＝AC除外)并加以证明．解：AD＝AF.证明如下：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C.∵DE⊥BC，∴∠B＋∠BFE＝∠C＋∠D＝90°，∴∠BFE＝∠D.∵∠BFE＝∠DFA，∴∠DFA＝∠D，∴AF＝AD.拓展提高(第9题图)9．如图，△ABC是等边三角形，点P是∠ABC的平分线BD上一点，PE⊥AB于点E，线段BP的垂直平分线交BC于点F，垂足为Q.若BF＝2，则PE的长为(B)A.2  B.C.2  D.310．已知等腰△ABC中，AD⊥BC于点D，且AD＝BC，则△ABC底角的度数为(D)A.45°  B.75°C.60°  D.45°或75°11．在平面直角坐标系中，点A(，)，B(3，3)，动点C在x轴上，若以A，B，C三点为顶点的三角形是等腰三角形，则点C的个数为(B)A.2       B.3C.4        D.512．如图，等腰△ABC纸片(AB＝AC)可按图中所示方法折成一个四边形，点A与点B重合，点C与点D重合，则在原等腰△ABC中，∠B＝72度．(第12题图)(第13题图)13．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC与∠DCB的平分线相交于点H，过H作AD 的平分线交AB于E，交CD于F.若BE＝3，CF＝2，则EF＝__5__．14．如图，已知∠AOB＝α，在射线OA，OB上分别取点OA＝OB1，连结AB1，在B1A，B1B上分别取点A1，B2，使B1B2＝B1A1，连结A1B2，…，按此规律下去，记∠A1B1B2＝θ1，∠A2B2B3＝θ2，…，∠AnBnBn＋1＝θn，则：(1)θ1＝；(2)θn＝．,(第14题图))15．在如图所示的钢架中，焊上等长的13根钢条来加固钢架．若AP1＝P1P2＝P2P3＝…＝P13P14＝P14A，则∠A的度数是__12°__．,(第15题图))16．如图，∠BOC＝9°，点A在OB上，且OA＝1，按下列要求画图：以点A为圆心，1为半径向右画弧交OC于点A1，得第1条线段AA1；再以点A1为圆心，1为半径向右画弧交OB于点A2，得第2条线段A1A2；再以点A2为圆心，1为半径向右画弧交OC于点A3，得第3条线段A2A3；……这样画下去，直到得第n条线段，之后就不能再画出符合要求的线段了，则n＝__9__．,(第16题图))17．如图，已知点A(3，0)，B(0，4)，C为x轴上一点．(1)画出等腰三角形ABC.(2)求出C点的坐标．,(第17题图))解：(1)如解图．,(第17题图解))(2)①当A是顶点时，C1(－2，0)，C2(8，0)，②当B是顶点时，C3(－3，0)③当C是顶点时，C4. (第18题图)18．如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，BE⊥AC，垂足为E，M为AB边的中点，连结ME，MD，ED.(1)求证：△MED为等腰三角形．(2)求证：∠EMD＝2∠DAC.解：(1)证明：∵M为AB边的中点，AD⊥BC，BE⊥AC，∴ME＝AB，MD＝AB，∴ME＝MD，∴△MED为等腰三角形．(2)∵ME＝AB＝MA，∴∠MAE＝∠MEA，∴∠BME＝2∠MAE.同理，MD＝AB＝MA，∴∠MAD＝∠MDA，∴∠BMD＝2∠MAD，∴∠EMD＝∠BME－∠BMD＝2∠MAE－2∠MAD＝2∠DAC.(第19题图)19．如图，已知点D为等腰直角△ABC内一点，∠CAD＝∠CBD＝15°，E为AD延长线上的一点，且CE＝CA.(1)求证：DE平分∠BDC.(2)若点M在DE上，且DC＝DM，求证：ME＝BD.解：(1)证明：∵△ABC为等腰Rt△，∴AC＝BC，∠CAB＝∠CBA＝45°.∵∠CAD＝∠CBD＝15°，∴∠BAD＝∠ABD＝45°－15°＝30°，∴BD＝AD.又∵CA＝CB，∴△BDC≌△ADC(SAS)．∴∠DCA＝∠DCB.又∵∠ACB＝90°，∴∠DCA＝∠DCB＝45°.∵∠BDE＝∠ABD＋∠BAD＝30°＋30°＝60°，∠EDC＝∠DAC＋∠DCA＝15°＋45°＝60°，∴∠BDM＝∠EDC.∴DE平分∠BDC.(第19题图解)(2)如解图，连结MC.∵DC＝DM，且∠MDC＝60°，∴△MDC是等边三角形， ∴CM＝CD.又∵∠EMC＝180°－∠DMC＝180°－60°＝120°，∠ADC＝180°－∠MDC＝180°－60°＝120°，∴∠EMC＝∠ADC.又∵CE＝CA，∴∠DAC＝∠CEM＝15°.∴△ADC≌△EMC(AAS)．∴ME＝AD＝BD.