第四章一次函数4.1函数
1.掌握函数的概念以及表示方法.(重点)2.会求函数的值,并确定自变量的取值范围.(难点)学习目标
早穿皮袄午穿纱,围着火炉吃西瓜,说明__________随______的变化而变化.高处不胜寒,说明____________随____________的变化而变化.天气温度时间高山气温海拔高度导入新课
万物皆变,大到天体、小到分子都处在不停的运动变化之中,如何从数学的角度来刻画这些运动变化并寻找规律呢?
想一想,如果你坐在摩天轮上,随着时间的变化,你离开地面的高度是如何变化的?情景一讲授新课函数的概念及表示方法知识点1
O1234567891011123h(米)t(分)
O123456789101112310h(米)t(分)
O12345678910111231037h(米)t(分)
O1234567891011123103745h(米)t(分)
O1234567891011123103745h(米)t(分)
O1234567891011123103745h(米)t(分)
O1234567891011123103745h(米)t(分)
下图反映了摩天轮上的一点的高度h(m)与旋转时间t(min)之间的关系.t/分012345…h/米…(1)根据左图填表:(2)对于给定的时间t,相应的高度h确定吗?11374537310
瓶子或罐头盒等圆柱形的物体,常常如下图那样堆放.随着层数的增加,物体的总数是如何变化的?填写下表:12345……1361015对于给定任一层数n,相应的物体总数y确定吗?有几个y值和它对应?层数n物体总数y唯一一个y值情景二
一定质量的气体在体积不变时,假若温度降低到-273℃,则气体的压强为零.因此,物理学把-273℃作为热力学温度的零度.热力学温度T(K)与摄氏温度t(℃)之间有如下数量关系:T=t+273,T≥0.(1)当t分别等于-43,-27,0,18时,相应的热力学温度T是多少?(2)给定任一个大于-273℃的摄氏温度t值,相应的热力学温度T确定吗?有几个T值和它对应?230K、246K、273K、291K唯一一个T值解:当t=-43时,T=-43+273=230(K)情景三
上面的三个问题中,有什么共同特点?①时间t、相应的高度h;②层数n、物体总数y;③摄氏温度t、热力学温度T.共同特点:都有两个变量,给定其中某一个变量的值,相应地就确定了另一个变量的值.
归纳总结一般地,如果在一个变化过程中有两个变量x和y,并且对于变量x的每一个值,变量y都有唯一的值与它对应,那么我们称y是x的函数,其中x是自变量.函数注意:函数不是数,它是指某一变化过程中两个变量之间的关系.
表示函数的一般方法列表法图象法关系式法(解析式法、表达式法)情景一情景二情景三
讨论:1.y与x的图象如图所示,问y是x的函数吗?xyo12-2
2.下列各图中,x是自变量,则y是x的函数吗?为什么?y是x的函数y不是x的函数
典例精析例1下列关于变量x,y的关系式:y=2x+3;y=x2+3;y=2|x|;④;⑤y2-3x=10,其中表示y是x的函数关系的是.判断一个变量是否是另一个变量的函数,关键是看当一个变量确定时,另一个变量有唯一确定的值与它对应.方法一个x值有两个y值与它对应
问题:上述的三个问题中,要使函数有意义,自变量能取哪些值?自变量t的取值范围:__________t≥0情景一自变量的取值范围知识点2
12345……1361015层数n物体总数y情景二罐头盒等圆柱形的物体常常如下图那样堆放.随着层数的增加,物体的总数是如何变化的?自变量n的取值范围:_________.n取正整数
一定质量的气体在体积不变时,假若温度降低到-273℃,则气体的压强为零.因此,物理学把-273℃作为热力学温度的零度.热力学温度T(K)与摄氏温度t(℃)之间有如下数量关系:T=t+273,T≥0.情景三自变量t的取值范围:___________.t≥-273
例2汽车的油箱中有汽油50L,如果不再加油,那么油箱中的油量y(单位:L)随行驶里程x(单位:km)的增加而减少,平均耗油量为0.1L/km.(1)写出表示y与x的函数关系的式子.解:(1)函数关系式为:y=50-0.1x0.1x表示的意义是什么?叫作函数的关系式
(2)指出自变量x的取值范围;(2)由x≥0及50-0.1x≥0得0≤x≤500.∴自变量的取值范围是0≤x≤500.确定自变量的取值范围时,不仅要考虑使函数解析式有意义,而且还要注意各变量所代表的实际意义.归纳汽车行驶里程,油箱中的油量均不能为负数!
(3)汽车行驶200km时,油箱中还有多少油?当x=200时,函数y的值为y=50-0.1×200=30.因此,当汽车行驶200km时,油箱中还有油30L
做一做:下列函数中自变量x的取值范围是什么?.0.-1.-2-2x取全体实数x取全体实数使函数解析式有意义的自变量的全体.
T(K)与t(℃)的函数关系:T=t+273(T≥0),当t=1时,T=1+273=274(K).那么,274就是当t=1时的函数值.情景三函数值知识点3
函数值对于自变量在可取值范围内的一个确定的值a,函数有唯一确定的对应值,这个对应值称为当自变量等于a时的函数值.即:如果y是x的函数,当x=a时,y=b,那么b叫作当x=a时的函数值.注意:函数不是数,它是指某一变化过程中两个变量之间的关系.而函数值是一个数,它是自变量确定时对应的因变量的值.归纳总结
例3已知函数(1)求当x=2,3,-3时,函数的值;(2)求当x取什么值时,函数的值为0.解:(1)当x=2时,y=;当x=3时,y=;当x=-3时,y=7;(2)令解得x=即当x=时,y=0.把自变量x的值带入关系式中,即可求出函数的值.
1.设路程为s,时间为t,速度为v,当v=60时,路程和时间的关系式为,这个关系式中,是常量,是变量,是的函数.60s=60tt和sst2.油箱中有油30kg,油从管道中匀速流出,1h流完,则油箱中剩余油量Q(kg)与流出时间t(min)之间的函数关系式是,自变量t的取值范围是.随堂练习
3.下列各表达式不是表示y是x的函数的是()A.B.C.D.C4.小明的爸爸早晨出去散步,从家走了20min到达距离家800m的公园,他在公园休息了10min,然后用30min原路返回家中,那么小明的爸爸离家的距离s(单位:m)与离家的时间t(单位:min)之间的函数关系图象大致是()D
5.求下列函数中自变量x的取值范围:.1.0.-1x取全体实数
6.我市白天乘坐出租车收费标准如下:乘坐里程不超过3公里,一律收费8元;超过3公里时,超过3公里的部分,每公里加收1.8元;设乘坐出租车的里程为x(公里)(x为整数),相对应的收费为y(元).(1)请分别写出当0<x≤3和x>3时,表示y与x的关系式,并直接写出当x=2和x=6时对应的y值;解:(1)当0<x≤3时,y=8;当x>3时,y=8+1.8(x-3)=1.8x+2.6.当x=2时,y=8;x=6时,y=1.8×6+2.6=13.4.
(2)当0<x≤3和x>3时,y都是x的函数吗?为什么?当0<x≤3和x>3时,y都是x的函数,因为对于x的每一个确定的值,y都有唯一确定的值与其对应.
函数定义:自变量、因变量、常量函数的关系式:三种表示方法函数值自变量的取值范围课堂小结
时间是个常量,但对勤奋者来说是个变量,用“分”来计算时间的人比用“小时”来计算时间的人时间多59倍.——前苏联史学家雷巴柯夫