高中数学人教A版必修一（同步练习）第一章 1.2.2 函数的表示法 第一课时

第一章1.2 1.2.2第一课时 函数的表示法课时分层训练1．若g(x＋2)＝3x＋2，则g(3)＝(  )A．5         B．1C．11D．9解析：选A 令x＝1，得g(3)＝3×1＋2＝5.2．设f(x)＝2x＋3，g(x)＝f(x－2)，则g(x)等于(  )A．2x＋1B．2x－1C．2x－3D．2x＋7解析：选B 因为f(x)＝2x＋3，所以f(x－2)＝2(x－2)＋3＝2x－1，即g(x)＝2x－1，故选B.3．若f＝，则当x≠0,1时，f(x)等于(  )A.B．C.D．－1解析：选B 设＝t，则x＝，∴f(t)＝＝，∴f(x)＝.4．已知f(x)是一次函数，且满足3f(x＋1)＝2x＋17，则f(x)等于(  )A.x＋5B．x＋1C．2x－3D．2x＋1解析：选A 因为f(x)是一次函数，设f(x)＝ax＋b(a≠0)， 由3f(x＋1)＝2x＋17，得3[a(x＋1)＋b]＝2x＋17，整理得3ax＋3(a＋b)＝2x＋17，所以所以所以f(x)＝x＋5，故选A.5．一水池有2个进水口，1个出水口，进出水速度如图甲、乙所示．某天0点到6点，该水池的蓄水量如图丙所示．(至少打开一个水口)给出以下3个论断：①0点到3点只进水不出水；②3点到4点不进水只出水；③4点到6点不进水不出水．则正确论断的个数是(  )A．0B．1C．2D．3解析：选B 由题意可知在0点到3点这段时间，每小时进水量为2，即2个进水口同时进水且不出水，所以①正确；从丙图可知3点到4点水量减少了1，所以应该是有一个进水口进水，同时出水口也出水，故②错；当两个进水口同时进水，出水口也同时出水时，水量保持不变，故③错．6．已知函数f(x)＝x－，且此函数图象过点(5,4)，则实数m的值为________．解析：将点(5,4)代入f(x)＝x－，得m＝5. 答案：57．已知函数y＝f(x)的对应关系如表所示，函数y＝g(x)的图象是如图的曲线ABC，其中A(1,3)，B(2,1)，C(3,2)，则f[g(2)]的值为________．x123F(x)230解析：由函数g(x)的图象知，g(2)＝1，则f[g(2)]＝f(1)＝2.答案：28．已知a，b为常数，若f(x)＝x2＋4x＋3，f(ax＋b)＝x2＋10x＋24，则5a－b＝________.解析：由f(x)＝x2＋4x＋3，f(ax＋b)＝x2＋10x＋24，得(ax＋b)2＋4(ax＋b)＋3＝x2＋10x＋24，即a2x2＋(2ab＋4a)x＋b2＋4b＋3＝x2＋10x＋24，由系数相等得解得a＝－1，b＝－7或a＝1，b＝3，则5a－b＝2.答案：29．已知函数p＝f(m)的图象如图所示．求：(1)函数p＝f(m)的定义域；(2)函数p＝f(m)的值域；(3)p取何值时，只有唯一的m值与之对应．解：(1)观察函数p＝f(m)的图象，可以看出图象上所有点的横坐标的取值范围是－3≤m≤0或1≤m≤4，由图知定义域为[－3,0]∪[1,4]．(2)由图知值域为[－2,2]．(3)由图知：p∈(0,2]时，只有唯一的m值与之对应． 10．已知函数f(x)＝g(x)＋h(x)，g(x)关于x2成正比，h(x)关于成反比，且g(1)＝2，h(1)＝－3.求：(1)函数f(x)的解析式及其定义域；(2)f(4)的值．解：(1)设g(x)＝k1x2(k1∈R，且k1≠0)，h(x)＝(k2∈R，且k2≠0)，由于g(1)＝2，h(1)＝－3，所以k1＝2，k2＝－3.所以f(x)＝2x2－，定义域是(0，＋∞)．(2)由(1)，得f(4)＝2×42－＝.1．设f(x)＝2x＋a，g(x)＝(x2＋3)，且g[f(x)]＝x2－x＋1，则实数a的值为(  )A．1B．－1C．1或－1D．1或－2解析：选B 因为g(x)＝(x2＋3)，所以g[f(x)]＝[(2x＋a)2＋3]＝(4x2＋4ax＋a2＋3)＝x2－x＋1，求得a＝－1.故选B.2．小明在如图1所示的跑道上匀速跑步，他从点A出发，沿箭头方向经过点B跑到点C，共用时30s，他的教练选择了一个固定的位置观察小明跑步的过程，设小明跑步的时间为t(s)，他与教练间的距离为y(m)，表示y与t的函数关系的图象大致如图2所示，则这个固定位置可能是图1中的(  )A．点MB．点N C．点PD．点Q解析：选D 由图知固定位置到点A距离大于到点C距离，所以舍去N，M点，不选A，B；若是P点，则从最高点到C点依次递减，与图1矛盾，因此取Q，即选D.3．已知正方形的周长为x，它的外接圆的半径为y，则y关于x的函数解析式为(  )A．y＝x(x>0)B．y＝x(x>0)C．y＝x(x>0)D．y＝x(x>0)解析：选C 正方形外接圆的直径是它的对角线，因为正方形的边长为，由勾股定理得(2y)2＝2＋2，所以y2＝，即y＝x(x>0)．4．定义两种运算：a⊕b＝，a⊗b＝，则函数f(x)＝的解析式为(  )A．f(x)＝，x∈[－2,0)∪(0,2]B．f(x)＝，x∈(－∞，－2]∪[2，＋∞)C．f(x)＝－，x∈(－∞，－2]∪[2，＋∞)D．f(x)＝－，x∈[－2,0)∪(0,2]解析：选D ∵f(x)＝＝＝.由得－2≤x≤2，且x≠0.∴f(x)＝－，x∈[－2,0)∪(0,2]．5．已知f＝1＋x2，则f(x)＝________. 解析：令＝t(t≠0)，则x＝－1.所以f＝f(t)＝1＋2＝－＋2.故f(x)＝－＋2(x≠0)．答案：－＋2(x≠0)6．如图，函数f(x)的图象是折线段ABC，其中点A，B，C的坐标分别为(0,4)，(2,0)，(6,4)，则f{f[f(2)]}＝________.解析：由题意可知f(2)＝0，f(0)＝4，f(4)＝2.因此，有f{f[f(2)]}＝f[f(0)]＝f(4)＝2.答案：27．定义在R上的函数f(x)对任意的实数x，y满足f(x＋y)＝f(x)＋f(y)＋2xy，f(1)＝2，则f(3)＝________.解析：令x＝y＝1，则f(1＋1)＝f(1)＋f(1)＋2.∵f(1)＝2，∴f(2)＝6.令x＝2，y＝1，则f(2＋1)＝f(2)＋f(1)＋2×2，∴f(3)＝6＋2＋4＝12.答案：128．设二次函数f(x)满足f(x－2)＝f(－x－2)，且图象与y轴交点的纵坐标为1，被x轴截得的线段长为2，求f(x)的解析式．解：解法一：设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．由f(x－2)＝f(－x－2)得4a－b＝0；①又因为|x1－x2|＝＝2，所以b2－4ac＝8a2；② 又由已知得c＝1.③由①②③解得b＝2，a＝，c＝1，所以f(x)＝x2＋2x＋1.解法二：因为f(x－2)＝f(－x－2)，故y＝f(x)的图象有对称轴x＝－2，可设y＝a(x＋2)2＋k(a≠0)，当x＝0时，y＝4a＋k＝1.y＝0时，a(x＋2)2＋k＝0，即ax2＋4ax＋4a＋k＝0.得ax2＋4ax＋1＝0，x1＋x2＝－4，x1·x2＝，|x1－x2|＝＝＝2.a＝，k＝－1.所以f(x)＝(x＋2)2－1.即f(x)＝x2＋2x＋1.解法三：因为y＝f(x)的图象有对称轴x＝－2，又|x1－x2|＝2，所以y＝f(x)的图象与x轴的交点为(－2－，0)，(－2＋，0)．故可设f(x)＝a(x＋2＋)(x＋2－)．因为f(0)＝1，所以a＝.所以f(x)＝[(x＋2)2－2]＝x2＋2x＋1.