高中数学人教A版必修一（同步练习）第一章 1.3.1 单调性与最大（小）值 第二课时

第一章1.3 1.3.1第二课时 函数的最大值、最小值课时分层训练1．函数y＝－|x|在R上(  )A．有最大值0，无最小值B．无最大值，有最小值0C．既无最大值，又无最小值D．以上都不对解析：选A 因为函数y＝－|x|的图象如图所示，所以函数y＝－|x|在R上有最大值0，无最小值．2．函数y＝x－在[1,2]上的最大值为(  )A．0         B．C．2D．3解析：选B 函数y＝x在[1,2]上是增函数，函数y＝－在[1,2]上是增函数，所以函数y＝x－在[1,2]上是增函数．当x＝2时，ymax＝2－＝.3．函数y＝的最大值是(  ) A．3B．4C．5D．6解析：选C 当x＜1时，函数y＝x＋3单调递增，且有y＜4，无最大值；当x≥1时，函数y＝－x＋6单调递减，则在x＝1处取得最大值为5.所以，函数在整个定义域内的最大值为5.4．若函数y＝ax＋1在[1,2]上的最大值与最小值的差为2，则实数a的值是(  )A．2B．－2C．2或－2D．0解析：选C 当a>0时，由题意得2a＋1－(a＋1)＝2，即a＝2；当a＜0时，a＋1－(2a＋1)＝2，所以a＝－2.综上a＝±2.5．已知函数f(x)＝－x2＋4x＋a，x∈[0,1]，若f(x)有最小值－2，则f(x)的最大值为(  )A．－1B．0C．1D．2解析：选C 因为f(x)＝－(x2－4x＋4)＋a＋4＝－(x－2)2＋4＋a，所以函数f(x)图象的对称轴为x＝2.所以f(x)在[0,1]上单调递增．又因为f(x)min＝－2，所以f(0)＝－2，即a＝－2.所以f(x)max＝f(1)＝－1＋4－2＝1.6．函数f(x)＝x＋在[3,4]上的值域为________．解析：∵函数f(x)＝x＋在[3,4]上单调递增，∴f(x)min＝f(3)＝3＋＝4，f(x)max＝f(4)＝4＋.答案：[4,4＋]7．定义在R上的函数f(x)对任意两个不等实数a，b，总有>0成立，且f(－3)＝m，f(－1)＝n，则f(x)在[－3，－1]上的最大值是________．解析：由>0知f(x)在R上为增函数，∴f(x)在[－3，－1]上的最大值为f(－1)＝n. 答案：n8．函数f()＝x－1的最小值是________．解析：设＝t，t≥0，所以f(t)＝t2－1，t≥0.所以f(x)＝x2－1，x≥0，因为f(x)＝x2－1在[0，＋∞)上为增函数，所以f(x)的最小值为－1.即f()＝x－1的最小值是－1.答案：－19．已知函数y＝x2－2x＋3在区间[0，m]上有最大值3，最小值2，求实数m的取值范围．解：y＝x2－2x＋3＝(x－1)2＋2，由(x－1)2＋2＝3，得x＝0或x＝2.作出函数图象如图所示，由图象知，m的取值范围是1≤m≤2.10．某商场经营一批进价是每件30元的商品，在市场试销中发现，该商品销售单价x(不低于进价，单位：元)与日销售量y(单位：件)之间有如下关系：x4550y2712(1)确定x与y的一个一次函数关系式y＝f(x)(注明函数定义域)；(2)若日销售利润为P元，根据(1)中的关系式写出P关于x的函数关系式，并指出当销售单价为多少元时，才能获得最大的日销售利润？解：(1)因为f(x)是一次函数，设f(x)＝ax＋b(a≠0)，由表格得方程组解得所以y＝f(x)＝－3x＋162.又y≥0，所以30≤x≤54，故所求函数关系式为y＝－3x＋162，x∈[30,54]，x∈N.(2)由题意得，P＝(x－30)y＝(x－30)(162－3x)＝－3x2＋252x－4860，x∈[30,54]，x∈N. 配方得，P＝－3(x－42)2＋432，当x＝42时，最大的日销售利润P＝432，即当销售单价为42元时，获得最大的日销售利润．1．函数y＝的值域是(  )A．RB．[0，＋∞)C．[－1，＋∞)D．(－1，＋∞)解析：选C 画出y＝的图象．由图象知，值域为[－1，＋∞)．2．某公司在甲、乙两地同时销售一种品牌车，利润(单价：万元)分别为L1＝－x2＋21x和L2＝2x，其中销售量单位：辆．若该公司在两地共销售15辆，则能获得的最大利润为(  )A．90万元B．60万元C．120万元D．120.25万元解析：选C 设该公司在甲地销售x辆(0≤x≤15，x∈N)，则在乙地销售(15－x)辆，公司获得利润为L＝－x2＋21x＋2(15－x)＝－x2＋19x＋30.故当x＝9或10时，L取得最大值120万元．3．函数y＝2－的值域是(  )A．[－2,2]B．[1,2]C．[0,2]D．[－，]解析：选C 要求函数y＝2－的值域，只需求t＝(x∈[0,4])的值域即可．设二次函数f(x)＝－x2＋4x＝－(x－2)2＋4(x∈[0,4])，所以f(x)的值域是[0,4]．因为t＝，所以t的值域是[0,2]，－t的值域是[－2,0]．故函数y＝2－的值域是[0,2]．故选C. 4．函数f(x)＝x2－4x＋5在区间[0，m]上的最大值为5，最小值为1，则m的取值范围是(  )A．[2，＋∞)B．[2,4]C．(－∞，2]D．[0,2]解析：选B f(x)＝x2－4x＋5＝(x－2)2＋1，x∈[0，m]．由最小值为1知m≥2.又最大值为5，f(0)＝5，f(4)＝5.所以2≤m≤4.故选B.5．若函数f(x)＝x2－6x＋m在区间[2，＋∞)上的最小值是－3，则实数m的值为________．解析：函数f(x)＝x2－6x＋m的对称轴是x＝3，开口向上，所以函数f(x)在[2,3]上单调递减，在(3，＋∞)上单调递增，故函数在x＝3处取得最小值，由f(3)＝32－6×3＋m＝－3，解得m＝6.故实数m的值为6.答案：66．用min{a，b}表示a，b两个数中的最小值．设f(x)＝min{x＋2,10－x}(x≥0)，则f(x)的最大值为________．解析：在同一平面直角坐标系内画出函数y＝x＋2和y＝10－x的图象，如图所示．根据min{x＋2,10－x}(x≥0)的含义可知，f(x)＝所以函数f(x)的图象应为图中的实线部分．解方程x＋2＝10－x得x＝4，此时y＝6，故两图象的交点为(4,6)．观察图象知，f(x)的最大值为图象最高点的纵坐标，即f(x)的最大值为6.答案：6 7．在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x为________m.解析：设矩形花园的宽为ym，则＝，即y＝40－x，矩形花园的面积S＝x(40－x)＝－x2＋40x＝－(x－20)2＋400，当x＝20时，面积最大．答案：208．已知函数f(x)＝x2－2x＋2，x∈[t，t＋1]，t∈R的最小值为g(t)，试写出g(t)的函数表达式．解：f(x)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1，x∈[t，t＋1]，t∈R，对称轴为x＝1.当t＋1