高中数学人教A版必修一（同步练习）第三章 3.2.1 几类不同增长的函数模型

第三章3.2 3.2.1 几类不同增长的函数模型课时分层训练1．如果某工厂12月份的产量是1月份产量的7倍，那么该工厂这一年中的月平均增长率是(  )A.         B．C.－1D．－1解析：选D 设月平均增长率为x,1月份的产量为a，则有a(1＋x)11＝7a，则1＋x＝，故x＝－1.2．某林区的森林蓄积量每年比上一年平均增长10.4%，要增长到原来的x倍，需经过y年，则函数y＝f(x)的图象大致是(  )解析：选D 设该林区的森林原有蓄积量为a，由题意知ax＝a(1＋0.104)y，即y＝log1.104x(x≥1)，所以y＝f(x)的图象大致为D中图象．3．某厂日产手套总成本y(元)与手套日产量x(双)的关系式为y＝5x＋4000，而手套出厂价格为每双10元，则该厂为了不亏本，日产手套至少为(  )A．200双B．400双C．600双D．800双解析：选D 要使该厂不亏本，只需10x－y≥0，即10x－(5x＋4000)≥0，解得x≥800.4．若x∈(0,1)，则下列结论正确的是(  )A．2x>x>lgxB．2x>lgx>xC．x>2x>lgxD．lgx>x>2x 解析：选A 结合y＝2x，y＝x及y＝lgx的图象易知，当x∈(0,1)时，2x>x>lgx.5．四人赛跑，假设他们跑过的路程fi(x)(i∈{1,2,3,4})和时间x(x>1)的函数关系分别是f1(x)＝x2，f2(x)＝4x，f3(x)＝log2x，f4(x)＝2x，如果他们一直跑下去，最终跑在最前面的人具有的函数关系是(  )A．f1(x)＝x2B．f2(x)＝4xC．f3(x)＝log2xD．f4(x)＝2x解析：选D 显然四个函数中，指数函数是增长最快的，故最终跑在最前面的人具有的函数关系是f4(x)＝2x，故选D.6．若a>1，n>0，则当x足够大时，ax，xn，logax的大小关系是______________．解析：由三种函数的增长特点可知，当x足够大时，总有logax1)C．y＝ax2＋b(a>0)D．y＝logax＋b(a>1)解析：选C 通过所给数据可知y随x增大，其增长速度越来越快，而选项A，D中的函数增长速度越来越慢，而选项B中的函数增长速度保持不变，故选C.3．如图所示的是某池塘中的浮萍蔓延的面积y(m2)与时间t(月)的关系：y＝at，有以下叙述：①这个指数函数的底数是2；②第5个月时，浮萍的面积就会超过30m2；③浮萍从4m2蔓延到12m2需要经过1.5个月； ④浮萍每个月增加的面积都相等．其中正确的是(  )A．①③B．①②C．②③④D．①②④解析：选B 由题意知图象单调递增，底数大于1，又过点(2,4)，故①对；令t＝5，得y＝25＝32>30，故②对；若浮萍从4m2蔓延到12m2需要经过的时间是1.5个月，则有12＝23.5，因为23.5＝8≠12，故③错；由指数函数模型的图象上升特征，可知④错．4．生活经验告诉我们，当水注入容器(设单位时间内进水量相同)时，水的高度随着时间的变化而变化，在下图中请选择与容器相匹配的图象，A对应________；B对应________；C对应________；D对应________．解析：A容器下粗上细，水高度的变化先慢后快，故与(4)对应；B容器为球形，水高度变化先越来越慢，后越来越快，应与(1)对应；C，D容器都是柱形的，水高度的变化速度都应是直线型，但C容器细，D容器粗，故水高度的变化为C容器快，与(3)对应，D容器慢，与(2)对应．答案：(4) (1) (3) (2)5．某品牌汽车的月产量y(万辆)与月份x(3＜x≤12且x∈N)满足函数关系式y＝a·x－3＋b，现已知该品牌汽车今年4月，5月的产量分别是1万辆和1.5万辆，则该品牌汽车7月的产量为________万辆．解析：依题意有解得a＝－2，b＝2，∴y＝－2·x－3＋2，当x＝7时，y＝－2×4＋2＝1.875.答案：1.875 6．如图所示，灌溉渠的横截面是等腰梯形，底宽2m，边坡的倾角为45°，水深hm，则横截面中有水面积Am2与水深hm的函数关系为________________．解析：关键是求梯形上底．由已知得梯形上底为2＋2h，所以A＝[2＋(2＋2h)]h＝h2＋2h(h>0)．答案：A＝h2＋2h(h>0)7．甲、乙、丙、丁四个物体同时从某一点出发向同一个方向运动，其路程fi(x)(i＝1,2,3,4)关于时间x(x≥0)的函数关系式分别为f1(x)＝2x－1，f2(x)＝x2，f3(x)＝x，f4(x)＝log2(x＋1)，有以下结论：①当x＞1时，甲走在最前面；②当x＞1时，乙走在最前面；③当0＜x＜1时，丁走在最前面，当x＞1时，丁走在最后面；④丙不可能走在最前面，也不可能走在最后面；⑤如果它们一直运动下去，最终走在最前面的是甲．其中，正确结论的序号为________(把正确结论的序号都填上，多填或少填均不正确)．解析：作出fi(x)(i＝1,2,3,4)的图象，由图象知，③④⑤正确．答案：③④⑤8．某企业常年生产一种出口产品，由于技术革新后，该产品的产量平稳增长．记2012年为第1年，且前4年中，第x年与年产量f(x)(万件)之间的关系如下表所示：x1234 f(x)4.005.587.008.44若f(x)近似符合以下三种函数模型之一：f(x)＝ax＋b，f(x)＝2x＋a，f(x)＝logx＋a.(1)找出你认为最适合的函数模型，并说明理由，然后求出相应的解析式(所求a或b的值保留1位小数)；(2)因遭受某国对该产品进行反倾销的影响，2019年的年产量比预计减少30%，试根据所建立的函数模型，确定2019年的年产量．解：(1)符合条件的是f(x)＝ax＋b，若模型为f(x)＝2x＋a，则由f(1)＝21＋a＝4，得a＝2，即f(x)＝2x＋2，此时f(2)＝6，f(3)＝10，f(4)＝18，与已知相差太大，不符合．若模型为f(x)＝logx＋a，则f(x)是减函数，与已知不符合．由已知得解得所以f(x)＝1.5x＋2.5，x∈N*.(2)2019年预计年产量为f(8)＝1.5×8＋2.5＝14.5，2019年实际年产量为14.5×(1－30%)＝10.15(万件)．