章末质量检测卷(二)

章末质量检测卷(二)(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．下列说法不正确的是(  )A．空间中，一组对边平行且相等的四边形一定是平行四边形B．同一平面的两条垂线一定共面C．过直线上一点可以作无数条直线与这条直线垂直，且这些直线都在同一平面内D．过一条直线有且只有一个平面与已知平面垂直解析：选D A中若一组对边平行就决定了共面．在同一平面内，一组对边平行且相等的四边形一定是平行四边形，正确；B中同一平面的两条垂线互相平行，因而共面；C中这些直线都在同一个平面内即直线的垂面；把书本的书脊垂直放在桌上就可知D不正确．2．下列说法正确的是(  )A．都与直线a相交的两条直线确定一个平面B．两条直线确定一个平面C．过一条直线的平面有无数多个D．两个相交平面的交线是一条线段解析：选C 当这两条直线异面时不能确定平面，A错误；两条直线异面，则不能确定平面，B错误；两个相交平面的交线是一条直线，D错误．3．如图在四面体中，若直线EF和GH相交，则它们的交点一定(  )A．在直线DB上B．在直线AB上C．在直线CB上D．都不对解析：选A ∵EF与GH相交，设EF∩GH＝M，∴M∈EF，M∈GH. 又∵EF⊂平面ABD，GH⊂平面BCD，∴M∈平面ABD，M∈平面BCD，又∵平面ABD∩平面BCD＝BD，∴M∈BD，故选A.4．如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，若E是A1C1的中点，则直线CE垂直于(  )A．AC         B．BDC．A1DD．A1D1解析：选B CE⊂平面ACC1A1，而BD⊥AC，BD⊥AA1，∴BD⊥平面ACC1A1，∴BD⊥CE.5.如图，在正四面体D－ABC中，P∈平面DBA，则在平面DAB内过点P与直线BC成60°角的直线共有(  )A．0条B．1条C．2条D．3条解析：选C 过点P分别作BD，AB的平行线，这两条线都符合题意．6．给定下列四个命题：①若两个平面有无数个公共点，则这两个平面重合；②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；③垂直于同一直线的两条直线相互平行；④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直．其中为真命题的是(  )A．①和②B．②和③C．③和④D．②和④解析：选D ①错，两个平面相交时，也有无数个公共点．③错，比如a⊥α，b⊂α，c⊂α，显然有a⊥b，a⊥c，但b与c也可能相交．故②④正确．7．正方体AC1中，E，F分别是DD1，BD的中点，则直线AD1与EF所成角的余弦值是(  ) A.B.C.D.解析：选C 连接BD1，则BD1∥EF，∠BD1A是直线AD1与EF所成的角．∵AB⊥AD1，∴cos∠BD1A＝＝.8．在四面体ABCD中，已知棱AC的长为，其余各棱长都为1，则二面角A－CD－B的余弦值为(  )A.B.C.D.解析：选C 取AC的中点E，取CD的中点F，则EF＝，BE＝，BF＝，∴△BEF为直角三角形，cosθ＝＝.9．设α，β，γ为两两不重合的平面，l，m，n为两两不重合的直线，给出下列三个说法：①若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β；②若α∥β，l⊂α，则l∥β；③若α∩β＝l，β∩γ＝m，γ∩α＝n，l∥γ，则m∥n.其中正确的说法个数是(  )A．3B．2C．1D．0解析：选B 垂直于同一平面的两个平面不一定平行，故①错误；由面面平行的性质知②正确；借助于三棱柱可知③正确．10．如图，等边三角形ABC的边长为4，M，N分别为AB，AC的中点，沿MN将△AMN折起，使得平面AMN与平面MNCB所成的二面角为30°，则四棱锥A－MNCB的体积为(  ) A.B.C.D．3解析：选A 如图，作出二面角A－MN－B的平面角∠AED，AO为△AED底边ED上的高，也是四棱锥A－MNCB的高．由题意，得AO＝.V＝××3＝.11．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°，将△ABD沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，构成四面体ABCD，则在四面体ABCD中，下列结论正确的是(  )A．平面ABD⊥平面ABCB．平面ADC⊥平面BDCC．平面ABC⊥平面BDCD．平面ADC⊥平面ABC解析：选D 易知：△BCD中，∠DBC＝45°，∴∠BDC＝90°.又平面ABD⊥平面BCD，而CD⊥BD，∴CD⊥平面ABD，∴AB⊥CD，而AB⊥AD，∴AB⊥平面ACD，∴平面ABC⊥平面ACD.12．已知：平面α⊥平面β，α∩β＝l，在l上取线段AB＝4，AC，BD分别在平面α和平面β内，且AC⊥AB，DB⊥AB，AC＝3，BD＝12，则CD的长度为(  )A．13B.C．12D．15解析：选A 如图，连接AD. ∵α⊥β，∴AC⊥β，DB⊥α.在Rt△ABD中，AD＝＝＝.在Rt△CAD中，CD＝＝＝13.二、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)13．如图所示，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面各边都相等，M是PC上的一动点，当点M满足________时，平面MBD⊥平面PCD(只要填写一个你认为正确的即可)．答案：BM⊥PC(其他合理即可)14．已知在长方体ABCD－A1B1C1D1中，MN在平面BCC1B1内，MN⊥BC于点M，则MN与AB的位置关系是________．解析：由平面BCC1B1⊥平面ABCD，知MN⊥平面ABCD.∴MN⊥AB.答案：垂直15．如图所示，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱AA1⊥平面ABC.若AB＝AC＝AA1＝1，BC＝，则异面直线A1C与B1C1所成的角为________． 解析：因为几何体是棱柱，BC∥B1C1，则直线A1C与BC所成的角就是异面直线A1C与B1C1所成的角，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱AA1⊥平面ABC，AB＝AC＝AA1＝1，BC＝，BA1＝＝，则CA1＝＝，所以△BCA1是正三角形，故异面直线所成角为60°.答案：60°16．将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角A－BD－C，有如下三个结论．①AC⊥BD；②△ACD是等边三角形；③AB与平面BCD成60°的角；说法正确的命题序号是________．解析：如图所示，①取BD中点E，连接AE，CE，则BD⊥AE，BD⊥CE，而AE∩CE＝E，∴BD⊥平面AEC，AC⊂平面AEC，故AC⊥BD，故①正确．②设正方形的边长为a，则AE＝CE＝a.由①知∠AEC＝90°是直二面角A－BD－C的平面角，且∠AEC＝90°，∴AC＝a，∴△ACD是等边三角形，故②正确．③由题意及①知，AE⊥平面BCD，故∠ABE是AB与平面BCD所成的角，而∠ABE＝45°，所以③不正确．答案：①②三、解答题(本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AB＝BC＝1，PA⊥平面ABCD，CD⊥PC.(1)证明：CD⊥平面PAC； (2)若E为AD的中点，求证：CE∥平面PAB.证明：(1)∵PA⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，∴PA⊥CD.又CD⊥PC，PA∩PC＝P，∴CD⊥平面PAC.(2)∵AD∥BC，AB⊥BC，AB＝BC＝1，∴∠BAC＝45°，∠CAD＝45°，AC＝.∵CD⊥平面PAC，∴CD⊥CA，∴AD＝2.又E为AD的中点，∴AE＝BC＝1，∴四边形ABCE是正方形，∴CE∥AB.又AB⊂平面PAB，CE⊄平面PAB，∴CE∥平面PAB.18．(本小题满分12分)如图，直三棱柱ABC－A1B1C1中，D，E分别是AB，BB1的中点．(1)证明：BC1∥平面A1CD；(2)设AA1＝AC＝CB＝2，AB＝2，求三棱锥C－A1DE的体积．解：(1)证明：连接AC1交A1C于点F，则F为AC1中点．又D是AB中点，连接DF，则BC1∥DF.因为DF⊂平面A1CD，BC1⊄平面A1CD，所以BC1∥平面A1CD.(2)因为ABC－A1B1C1是直三棱柱，所以AA1⊥CD.由已知AC＝CB，D为AB的中点，所以CD⊥AB.又AA1∩AB＝A，于是CD⊥平面ABB1A1.由AA1＝AC＝CB＝2，AB＝2得 ∠ACB＝90°，CD＝，A1D＝，DE＝，A1E＝3，故A1D2＋DE2＝A1E2，即DE⊥A1D.所以V三棱锥C－A1DE＝××××＝1.19．(本小题满分12分)如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，E，F分别为A1C1和BC的中点．(1)求证：EF∥平面AA1B1B；(2)若AA1＝3，AB＝2，求EF与平面ABC所成的角．解：(1)证明：如图，取A1B1的中点D，连接DE，BD.因为E是A1C1的中点，所以DE綊B1C1.又因为BC綊B1C1，BF＝BC，所以DE綊BF.所以四边形BDEF为平行四边形．所以BD∥EF.又因为BD⊂平面AA1B1B，EF⊄平面AA1B1B，所以EF∥平面AA1B1B.(2)如图，取AC的中点H，连接HF，EH.因为EH∥AA1，AA1⊥平面ABC，所以EH⊥平面ABC.所以∠EFH就是EF与平面ABC所成的角．在Rt△EHF中，FH＝，EH＝AA1＝3，tan∠EFH＝＝，所以∠EFH＝60°. 故EF与平面ABC所成的角为60°.20．(本小题满分12分)如图，在四棱锥P－ABCD中，侧面PAD是正三角形，且与底面ABCD垂直，底面ABCD是边长为2的菱形，∠BAD＝60°，N是PB的中点，E为AD的中点，过A，D，N的平面交PC于点M.求证：(1)EN∥平面PDC；(2)BC⊥平面PEB；(3)平面PBC⊥平面ADMN.证明：(1)∵AD∥BC，BC⊂平面PBC，AD⊄平面PBC，∴AD∥平面PBC.又平面ADMN∩平面PBC＝MN，∴AD∥MN.又∵AD∥BC，∴MN∥BC.又∵N为PB的中点，∴M为PC的中点，∴MN＝BC.∵E为AD的中点，DE＝AD＝BC＝MN，∴DE綊MN，∴四边形DENM为平行四边形，∴EN∥DM.又∵EN⊄平面PDC，DM⊂平面PDC，∴EN∥平面PDC.(2)∵四边形ABCD是边长为2的菱形，且∠BAD＝60°，E为AD中点，∴BE⊥AD.又∵PE⊥AD，PE∩BE＝E，∴AD⊥平面PEB.∵AD∥BC，∴BC⊥平面PEB.(3)由(2)知AD⊥PB.又∵PA＝AB，且N为PB的中点，∴AN⊥PB.∵AD∩AN＝A，∴PB⊥平面ADMN. 又∵PB⊂平面PBC，∴平面PBC⊥平面ADMN.21．(本小题满分12分)如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，E，F是线段AB上的两点，且DE⊥AB，CF⊥AB，AB＝12，AD＝5，BC＝4，DE＝4.现将△ADE，△CFB分别沿DE，CF折起，使A，B两点重合于点G，得到多面体CDEFG.(1)求证：平面DEG⊥平面CFG；(2)求多面体CDEFG的体积．解：(1)证明：由已知可得AE＝3，BF＝4，则折叠完后EG＝3，GF＝4，又因为EF＝5，所以可得EG⊥GF.又因为CF⊥底面EGF，可得CF⊥EG，即EG⊥平面CFG，所以平面DEG⊥平面CFG.(2)过点G作GO垂直于EF，GO即为四棱锥G－EFCD的高，所以所求体积为S长方形DEFC·GO＝×4×5×＝16.22．(本小题满分12分)如图所示，正方体的棱长为1，B′C∩BC′＝O，求：(1)AO与A′C′所成角的大小；(2)AO与平面ABCD所成角的正切值；(3)平面AOB与平面AOC所成角的大小．解：(1)∵A′C′∥AC，∴AO与A′C′所成的角就是∠OAC.易得OC⊥OB，∵AB⊥平面BC′，∴OC⊥AB.又AB∩BO＝B，∴OC⊥平面ABO. 又OA⊂平面ABO，∴OC⊥OA.在Rt△AOC中，OC＝，AC＝，sin∠OAC＝＝，∴∠OAC＝30°.即AO与A′C′所成角为30°.(2)如图所示，作OE⊥BC于E，连接AE.∵平面BC′⊥平面ABCD，∴OE⊥平面ABCD，∠OAE为OA与平面ABCD所成的角．在Rt△OAE中，OE＝，AE＝＝，∴tan∠OAE＝＝.(3)∵OC⊥OA，OC⊥OB，OA∩OB＝O.∴OC⊥平面AOB.又∵OC⊂平面AOC，∴平面AOB⊥平面AOC.即平面AOB与平面AOC所成角为90°.