模块综合质量检测卷

模块综合质量检测卷(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．关于空间直角坐标系O－xyz中的一点P(1,2,3)有下列说法：①OP的中点坐标为；②点P关于x轴对称的点的坐标为(－1，－2，－3)；③点P关于坐标原点对称的点的坐标为(1,2，－3)；④点P关于xOy平面对称的点的坐标为(1,2，－3)．其中正确说法的个数是(  )A．2        B．3C．4D．1解析：选A ①显然正确；点P关于x轴对称的点的坐标为(1，－2，－3)，故②错；点P关于坐标原点对称的点的坐标为(－1，－2，－3)，故③错；④显然正确．2．直线ax－y＋2a＝0与圆x2＋y2＝9的位置关系是(  )A．相离B．相切C．相交D．不确定解析：选C 将直线ax－y＋2a＝0化为点斜式得y＝a(x＋2)，知该直线过定点(－2,0)．又(－2)2＋020)上一动点，PA，PB是圆C：x2＋y2－2y＝0的两条切线，A，B是切点，若四边形PACB的最小面积是2，则实数k的值为(  )A．3B.C．2D．2 解析：选D 圆C：x2＋y2－2y＝0的圆心为(0,1)，半径长r＝1，由圆的性质知S四边形PACB＝2S△PBC，∵四边形PACB的最小面积是2，∴S△PBC的最小值为1＝rd(d是切线长)，∴d最小值＝2，|PC|最小值＝＝.∵圆心到直线的距离就是|PC|的最小值，∴|PC|最小值＝＝，∵k＞0，∴k＝2，故选D.二、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)13．已知点A(2,5，－6)，点P在y轴上，|PA|＝7，则点P的坐标为．解析：设点P(0，y,0)，则|PA|＝＝7，解得y＝2或y＝8.故点P的坐标为(0,8,0)或(0,2,0)．答案：(0,8,0)或(0,2,0)14．已知直线l1：y＝x＋a和l2：y＝x＋b将单位圆C：x2＋y2＝1分成长度相等的四段弧，则a2＋b2＝.解析：依题意，不妨设直线y＝x＋a与单位圆相交于A，B两点，则∠AOB＝90°.如图，此时a＝1，b＝－1，满足题意，所以a2＋b2＝2.答案：215．过点(3,1)作圆(x－2)2＋(y－2)2＝4的弦，其中最短弦的长为．解析：设A(3,1)，易知圆心C(2,2)，半径r＝2，当弦过点A(3,1)且与CA垂直时为最短弦．|CA|＝＝.∴半弦长＝＝＝.∴最短弦长为2.答案：216．已知△ABC中，A∈α，BC∥α，BC＝6，∠BAC＝90°，AB，AC与平面α分别成30°，45°的角，则BC到平面α的距离为． 解析：如图，分别过点B，C作BF⊥α于点F，CE⊥α于点E.连接AF，AE.设BC到平面α的距离为h.∵∠BAF＝30°，∠CAE＝45°，∴BA＝2h，AC＝h.在Rt△ABC中，BC2＝BA2＋AC2，即(2h)2＋(h)2＝36，解得h＝.答案：三、解答题(本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知两条直线l1：3x＋4y－2＝0与l2：2x＋y＋2＝0的交点P，求：(1)过点P且过原点的直线方程；(2)过点P且垂直于直线l3：x－2y－1＝0的直线l的方程．解：由解得∴点P的坐标是(－2,2)，(1)所求直线方程为y＝－x.(2)∵所求直线l与l3垂直，∴设直线l的方程为2x＋y＋C＝0.把点P的坐标代入得2×(－2)＋2＋C＝0，得C＝2.∴所求直线l的方程为2x＋y＋2＝0.18.(本小题满分12分)如图，AF，DE分别是⊙O，⊙O1的直径，AD与两圆所在的平面均垂直，|AD|＝8，BC是⊙O的直径，|AB|＝|AC|＝6，OE∥AD，试建立适当的空间直角坐标系，写出点A，B，C，D，E，F的坐标．解：因为AD与两圆所在的平面均垂直，OE∥AD，所以OE⊥平面ABC.又AF⊂平面ABC，BC⊂平面ABC，所以OE⊥AF，OE⊥BC.又BC是圆O的直径，所以|OB|＝|OC|.又|AB|＝|AC|＝6，所以OA⊥BC，|BC|＝6，所以|OA|＝|OB|＝|OC|＝|OF|＝3. 如图所示，以O为坐标原点，分别以OB，OF，OE所在的直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，则A(0，－3，0)，B(3，0,0)，C(－3，0,0)，D(0，－3，8)，E(0,0,8)，F(0,3，0)．19．(本小题满分12分)某几何体的三视图如图所示，P是正方形ABCD对角线的交点，G是PB的中点．(1)根据三视图，画出该几何体的直观图；(2)在直观图中，①证明：PD∥平面AGC.②证明：平面PBD⊥平面AGC.解：(1)该几何体的直观图如图所示．(2)证明：如图，①连接AC，BD交于点O，连接OG，因为G为PB的中点，O为BD的中点，所以OG∥PD.又OG⊂平面AGC，PD⊄平面AGC，所以PD∥平面AGC.②连接PO，由三视图，PO⊥平面ABCD，所以AO⊥PO.又AO⊥BO，BO∩PO＝O，所以AO⊥平面PBD.因为AO⊂平面AGC， 所以平面PBD⊥平面AGC.20．(本小题满分12分)已知圆C：x2＋y2－8y＋12＝0，直线l经过点D(－2,0)，且斜率为k.(1)求以线段CD为直径的圆E的方程；(2)若直线l与圆C相离，求k的取值范围．解：(1)将圆C的方程x2＋y2－8y＋12＝0化为标准方程x2＋(y－4)2＝4，则此圆的圆心为C(0,4)，半径为2.所以CD的中点E(－1,2)，|CD|＝＝2，∴r＝，故所求圆E的方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝5.(2)直线l的方程为y－0＝k(x＋2)，即kx－y＋2k＝0.若直线l与圆C相离，则有圆心C到直线l的距离＞2，解得k＜.故k的取值范围为.21．(本小题满分12分)已知四棱锥P－ABCD如图所示，AB∥CD，BC⊥CD，AB＝BC＝2，CD＝PD＝1，△PAB为等边三角形．(1)证明：PD⊥平面PAB；(2)求二面角P－CB－A的余弦值．解：(1)证明：如图，连接BD.易知在梯形ABCD中，AD＝，而PD＝1，AP＝2，所以PD2＋AP2＝AD2，则PD⊥PA，同理PD⊥PB，又PA∩PB＝P，故PD⊥平面PAB. (2)如图，取AB的中点M，连接PM，DM，作PN⊥DM，垂足为N，再作NH⊥BC，垂足为H，连接PH.由(1)，得AB⊥平面DPM，则平面ABCD⊥平面DPM，所以PN⊥平面ABCD，所以PN⊥BC，PN⊥NH.又NH⊥BC，PN∩NH＝N，所以BC⊥平面NPH，即∠NHP是二面角P－CB－A的平面角．∴在Rt△HNP中，PN＝，NH＝1，则PH＝，cos∠NHP＝＝，即二面角P－CB－A的余弦值为.22．(本小题满分12分)已知P是直线l：3x＋4y＋8＝0上的动点，PA，PB是圆C：x2＋y2－2x－2y＋1＝0的两条切线，A，B是切点．(1)求四边形PACB面积的最小值；(2)直线上是否存在点P，使得∠APB＝60°？若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．解：(1)如图，连接PC，由P点在直线3x＋4y＋8＝0上，可设P点坐标为.因为圆C的标准方程为(x－1)2＋(y－1)2＝1，所以S四边形PACB＝2S△PAC＝2××|AP|×|AC|＝|AP|.因为|AP|2＝|PC|2－|CA|2＝|PC|2－1，所以当|PC|2最小时，|AP|最小．或|PC|最小时，即点C到直线l：3x＋4y＋8＝0的距离d＝＝3最小．∴|AP|＝9－1＝8，∴|AP|min＝2.即四边形PACB面积的最小值为2.(2)假设直线上存在点P满足题意． 因为∠APB＝60°，|AC|＝1，所以|PC|＝2.设P(x，y)，则整理可得25x2＋40x＋96＝0，所以Δ＝402－4×25×96