高中数学人教A版必修二（同步练习）第一章1.2.3 空间几何体的直观图

第一章1．2空间几何体的三视图和直观图1．2．3空间几何体的直观图课时分层训练‖层级一‖……………………|学业水平达标|1．根据斜二测画法的规则画直观图时，把Ox，Oy，Oz轴画成对应的O′x′，O′y′，O′z′，则∠x′O′y′与∠x′O′z′的度数分别为()A．90°，90°B．45°，90°C．135°，90°D．45°或135°，90°解析：选D根据斜二测画法的规则，∠x′O′y′的度数应为45°或135°，∠x′O′z′指的是画立体图形时的横轴与纵轴的夹角，所以度数为90°.2．若把一个高为10cm的圆柱的底面画在x′O′y′平面上，则圆柱的高应画成()A．平行于z′轴且大小为10cmB．平行于z′轴且大小为5cmC．与z′轴成45°且大小为10cmD．与z′轴成45°且大小为5cm解析：选A平行于z轴(或在z轴上)的线段，在直观图中的方向和长度都与原来保持一致．3．利用斜二测画法画边长为1cm的正方形的直观图，可能是下面的()解析：选C正方形的直观图是平行四边形，且边长不相等，故选C项．4．如图所示的水平放置的三角形的直观图，D′是△A′B′C′中B′C′边的中点，且A′D′平行于y′轴，那么A′B′，A′D′，A′C′三条线段对应原图形中线段AB，AD，AC中()A．最长的是AB，最短的是ACB．最长的是AC，最短的是AB C．最长的是AB，最短的是ADD．最长的是AD，最短的是AC解析：选C因为A′D′∥y′轴，所以在△ABC中，AD⊥BC，又因为D′是B′C′的中点，所以D是BC中点，所以AB＝AC>AD.5．水平放置的△ABC，有一边在水平线上，用斜二测画法作出的直观图是正三角形A′B′C′，则△ABC是()A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．任意三角形解析：选C将△A′B′C′还原，由斜二测画法知，△ABC为钝角三角形．6．水平放置的正方形ABCO如图所示，在平面直角坐标系xOy中，点B的坐标为(4,4)，则由斜二测画法画出的该正方形的直观图中，顶点B′到x′轴的距离为________．解析：由斜二测画法画出的直观图如图所示，作B′E⊥x′轴于点E，在Rt△B′EC′中，B′C′＝2，∠B′C′E＝45°，2所以B′E＝B′C′sin45°＝2×＝2.2答案：27．如图，矩形O′A′B′C′是水平放置的一个平面图形的直观图，其中O′A′＝6，O′C′＝3，B′C′∥x′轴，则原平面图形的面积为________．解析：在直观图中，设B′C′与y′轴的交点为D′，则易得O′D′＝32，所以原平面图形为一边长为6，高为62的平行四边形，所以其面积为S＝6×62＝362.答案：3628．在直观图中，四边形O′A′B′C′为菱形且边长为2cm，则在坐标系xOy中原四边形OABC为________(填形 状)，面积为________cm2.解析：由题意，结合斜二测画法可知，四边形OABC为矩形，其中OA＝2cm，OC＝4cm，所以四边形OABC的面积S＝2×4＝8(cm2)．答案：矩形89．已知几何体的三视图如图所示，用斜二测画法画出它的直观图．解：(1)画轴．如图①，画x轴，y轴，z轴，使∠xOy＝45°，∠xOz＝90°.(2)画圆台的两底面．利用椭圆模板，画出底面⊙O，在z轴上截取OO′，使OO′等于三视图中相应的长度，过点O′作Ox的平行线O′x′，Oy的平行线O′y′，类似底面⊙O的作法作出上底面⊙O′.(3)画圆锥的顶点．在O′z上截取O′P，使O′P等于三视图中O′P的长度．(4)成图．连接PA′，PB′，A′A，B′B，整理得到三视图所表示的几何体的直观图，如图②.10．如图，正方形O′A′B′C′的边长为1cm，它是水平放置的一个平面图形的直观图．请画出原来的平面图形的形状，并求原图形的周长与面积．解：如图，建立直角坐标系xOy，在x轴上取OA＝O′A′＝1cm；在y轴上取OB＝2O′B′＝22cm； 在过点B的x轴的平行线上取BC＝B′C′＝1cm.连接O，A，B，C各点，即得到了原图形．由作法可知，OABC为平行四边形，OC＝OB2＋BC2＝8＋1＝3cm，∴平行四边形OABC的周长为(3＋1)×2＝8cm，面积为S＝1×22＝22cm2.‖层级二‖………………|应试能力达标|1．已知一个建筑物上部为四棱锥，下部为长方体，且四棱锥的底面与长方体的上底面尺寸一样，长方体的长、宽、高分别为20m,5m,10m，四棱锥的高为8m．如果按1∶500的比例画出它的直观图，那么在直观图中，长方体的长、宽、高和棱锥的高应分别为()A．4cm,1cm,2cm,1.6cmB．4cm,0.5cm,2cm,0.8cmC．4cm,0.5cm,2cm,1.6cmD．4cm,0.5cm,1cm,0.8cm解析：选C由比例尺可知，长方体的长、宽、高和棱锥的高应分别为4cm,1cm,2cm和1.6cm，再结合直观图，图形的尺寸应为4cm,0.5cm,2cm,1.6cm.2．用斜二测画法画出的某平面图形的直观图如图所示，AB边平行于y轴，BC，AD平行于x轴．已知四边形ABCD的面积为22cm2，则原平面图形A′B′C′D′的面积为()A．4cm2B．42cm2C．8cm2D．82cm2解析：选C依题意，可知∠BAD＝45°，则原平面图形A′B′C′D′为直角梯形，上、下底边分别为B′C′，A′D′，且长度分别与BC，AD相等，高为A′B′，且长度为梯形ABCD的高的22倍，所以原平面图形的面积为8cm2.3．一个水平放置的平面图形的直观图是一个底角为45°，腰和上底长均为1的等腰梯形，则该平面图形的面积等于() 122A.＋B．1＋222C．1＋2D．2＋2解析：选D平面图形是上底长为1，下底长为1＋2，高为2的直角梯形．计算得面积为S＝2＋2.4．水平放置的△ABC的斜二测直观图如图所示，已知B′C′＝4，A′C′＝3，B′C′∥y′轴，则△ABC中AB边上的中线的长度为()73A.B.7325C．5D.2解析：选A由斜二测画法规则知AC⊥BC，即△ABC为直角三角形，其中73AC＝3，BC＝8，所以AB＝73，AB边上的中线长度为.故选A.25．水平放置的△ABC的斜二测直观图如图所示，已知A′C′＝3，B′C′＝2，则AB边上的中线的实际长度为________．解析：将直观图△A′B′C′复原，其平面图形为Rt△ABC，且AC＝3，5BC＝4，故斜边AB＝5，所以AB边上的中线长为.25答案：26．有一个长为5cm，宽为4cm的矩形，则其直观图的面积为________cm2.解析：该矩形的面积为S＝5×4＝20(cm2)，由平面图形的面积与直观图的面22积间的关系，可得直观图的面积为S′＝S＝52(cm)．4答案：527.如图所示，△A′O′B′表示水平放置的△AOB的直观图，点B′在x′轴上，A′O′与x′轴垂直，且A′O′＝2，则△AOB的边OB上的高为________． 解析：设△AOB的边OB上的高为h，由直观图中边O′B′与原图形中边11OB的长度相等，及S原图＝22S直观图，得OB×h＝22××A′O′×O′B′，22则h＝42.故△AOB的边OB上的高为42.答案：428.如图所示，△ABC中，AC＝12cm，边AC上的高BD＝12cm，求其水平放置的直观图的面积．解：解法一：画x′轴，y′轴，两轴交于O′，使∠x′O′y′1＝45°，作△ABC的直观图如图所示，则A′C′＝AC＝12cm，B′D′＝BD2＝6cm，2故△A′B′C′的高为B′D′＝32cm，所以212S△A′B′C′＝×12×32＝182(cm)，2即水平放置的直观图的面积为182cm2.112解法二：△ABC的面积为AC·BD＝×12×12＝72(cm)，由平面图形的面222积与直观图的面积间的关系，可得△ABC的水平放置的直观图的面积是×724＝182(cm2)．