高中数学人教A版必修二（同步练习）第四章4.2.2、 4.2.3直线、圆的位置关系

第四章 4．2 直线、圆的位置关系4．2．2 圆与圆的位置关系4．2．3 直线与圆的方程的应用课时分层训练1．已知0＜r＜＋1，则两圆x2＋y2＝r2与(x－1)2＋(y＋1)2＝2的位置关系是(  )A．外切         B．相交C．外离D．内含解析：选B 设圆(x－1)2＋(y＋1)2＝2的圆心为O′，则O′(1，－1)．圆x2＋y2＝r2的圆心O(0,0)，圆心距|OO′|＝＝.显然有|r－|＜＜＋r.所以两圆相交．2．圆C1：x2＋y2＝1与圆C2：x2＋(y－3)2＝1的内公切线有且仅有(  )A．1条B．2条C．3条D．4条解析：选B 因为两圆的圆心距为3，半径之和为2，故两圆外离，所以内公切线的条数为2条．3．若圆C1：x2＋y2＝1与圆C2：x2＋y2－6x－8y＋m＝0外切，则实数m等于(  )A．21B．19C．9D．－11解析：选C 圆C2的标准方程为(x－3)2＋(y－4)2＝25－m.又圆C1：x2＋y2＝1，∴|C1C2|＝5.又∵两圆外切，∴5＝1＋，解得m＝9.4．一辆卡车宽2.7米，要经过一个半径为4.5米的半圆形隧道(双车道，不得违章)，则这辆卡车的平顶车蓬蓬顶距离地面的高度不得超过(  )A．1.4米B．3.0米C．3.6米D．4.5米 解析：选C 可画出示意图，如图所示，通过勾股定理解得OD＝＝3.6(米)，故选C.5．过点P(2,3)向圆C：x2＋y2＝1作两条切线PA，PB，则弦AB所在的直线方程为(  )A．2x－3y－1＝0B．2x＋3y－1＝0C．3x＋2y－1＝0D．3x－2y－1＝0解析：选B 弦AB可以看作是以PC为直径的圆与圆x2＋y2＝1的交线，而以PC为直径的圆的方程为(x－1)2＋2＝.根据两圆的公共弦的求法，可得弦AB所在的直线方程为：(x－1)2＋2－－(x2＋y2－1)＝0，整理可得2x＋3y－1＝0，故选B.6．若圆x2＋y2＝4与圆x2＋y2＋2ay－6＝0(a＞0)的公共弦长为2，则实数a＝.解析：由已知，两个圆的方程作差可以得到相应弦的直线方程为y＝，利用圆心(0,0)到直线的距离d＝＝＝1，解得a＝1.答案：17．已知圆C1：x2＋y2－6x－7＝0与圆C2：x2＋y2－6y－27＝0相交于A，B两点，则线段AB的中垂线方程为．解析：AB的中垂线即为圆C1、圆C2的连心线C1C2，又C1(3,0)，C2(0,3)，C1C2的方程为x＋y－3＝0，即线段AB的中垂线方程为x＋y－3＝0.答案：x＋y－3＝08．点P在圆O：x2＋y2＝1上运动，点Q在圆C：(x－3)2＋y2＝1上运动，则|PQ|的最小值为．解析：如图所示． 设连心线OC与圆O交于点P′，与圆C交于点Q′，圆O的半径为r1，圆C的半径为r2，当点P在P′处，点Q在Q′处时|PQ|最小，最小值为|P′Q′|＝|OC|－r1－r2＝1.答案：19．已知圆C1：x2＋y2＋4x＋1＝0和圆C2：x2＋y2＋2x＋2y＋1＝0，求以圆C1与圆C2的公共弦为直径的圆的方程．解：由两圆的方程相减，得公共弦所在直线的方程为x－y＝0.∵圆C1：(x＋2)2＋y2＝3，圆C2：(x＋1)2＋(y＋1)2＝1，圆心C1(－2,0)，C2(－1，－1)，∴两圆连心线所在直线的方程为＝，即x＋y＋2＝0.由得所求圆的圆心为(－1，－1)．又圆心C1(－2,0)到公共弦所在直线x－y＝0的距离d＝＝，∴所求圆的半径r＝＝1，∴所求圆的方程为(x＋1)2＋(y＋1)2＝1.10．为了适应市场需要，某地准备建一个圆形生猪储备基地(如图)，它的附近有一条公路，从基地中心O处向东走1km是储备基地的边界上的点A，接着向东再走7km到达公路上的点B；从基地中心O向正北走8km到达公路的另一点C.现准备在储备基地的边界上选一点D，修建一条由D通往公路BC的专用线DE，求DE的最短距离．解：以O为坐标原点，过OB，OC的直线分别为x轴和y轴，建立平面直角坐标系，则圆O的方程为x2＋y2＝1.因为点B(8,0)，C(0,8)，所以直线BC的方程为 ＋＝1，即x＋y＝8.当点D选在与直线BC平行的直线(距BC较近的一条)与圆的切点处时，DE为最短距离．此时DE长的最小值为－1＝(4－1)km.1．过点(3,1)作圆(x－1)2＋y2＝1的两条切线，切点分别为A，B，则直线AB的方程为(  )A．2x＋y－3＝0B．2x－y－3＝0C．4x－y－3＝0D．4x＋y－3＝0解析：选A 利用圆的几何性质，将题目转化为求两圆相交的公共弦所在直线的方程．设点P(3,1)，圆心C(1,0)，又切点分别为A，B，则P，A，C，B四点共圆，且PC为圆的直径，∴四边形PACB的外接圆圆心的坐标为，半径长为 ＝，∴此圆的方程为(x－2)2＋2＝ ①.又圆C：(x－1)2＋y2＝1 ②，①－②得2x＋y－3＝0，此即为直线AB的方程．2．若圆x2＋y2＝r2与圆x2＋y2＋2x－4y＋4＝0有公共点，则r满足的条件是(  )A．r＜＋1B．r＞＋1C．|r－|＜1D．|r－|≤1解析：选D 由x2＋y2＋2x－4y＋4＝0，得(x＋1)2＋(y－2)2＝1，圆心距＝.∵两圆有公共点，∴|r－1|≤≤r＋1，∴－1≤r≤＋1，即－1≤r－≤1，∴|r－|≤1.3．圆(x＋2)2＋y2＝5关于直线x－y＋1＝0对称的圆的方程为(  )A．(x－2)2＋y2＝5B．x2＋(y－2)2＝5C．(x－1)2＋(y－1)2＝5D．(x＋1)2＋(y＋1)2＝5解析：选D 由圆(x＋2)2＋y2＝5，可知其圆心为(－2,0)，半径为.设点(－2,0)关于直线x－y＋1＝0对称的点为(x，y)，则解得∴所求圆的圆心为(－1，－1)．又所求圆的半径为，∴圆(x＋2)2＋y2＝5关于直线x－y ＋1＝0对称的圆的方程为(x＋1)2＋(y＋1)2＝5.4．点P在圆C1：x2＋y2－8x－4y＋11＝0上，点Q在圆C2：x2＋y2＋4x＋2y＋1＝0上，则|PQ|的最小值是(  )A．5B．1C．3－5D．3＋5解析：选C 圆C1：x2＋y2－8x－4y＋11＝0，即(x－4)2＋(y－2)2＝9，圆心为C1(4,2)，半径长r1＝3；圆C2：x2＋y2＋4x＋2y＋1＝0，即(x＋2)2＋(y＋1)2＝4，圆心为C2(－2，－1)，半径长r2＝2，两圆相离，|PQ|的最小值为|C1C2|－(r1＋r2)＝3－5.5．若圆O：x2＋y2＝5与圆O1：(x－m)2＋y2＝20(m∈R)相交于A，B两点，且两圆在点A处的切线互相垂直，则线段AB的长为．解析：连接OO1，记AB与OO1的交点为C，如图所示，在Rt△OO1A中，|OA|＝，|O1A|＝2，∴|OO1|＝5，∴|AC|＝＝2，∴|AB|＝4.答案：46．过两圆x2＋y2－2y－4＝0与x2＋y2－4x＋2y＝0的交点，且圆心在直线l：2x＋4y－1＝0上的圆的方程是．解析：设圆的方程为x2＋y2－4x＋2y＋λ(x2＋y2－2y－4)＝0，则(1＋λ)x2－4x＋(1＋λ)y2＋(2－2λ)y－4λ＝0，把圆心代入l：2x＋4y－1＝0的方程，可得λ＝，所以所求圆的方程为x2＋y2－3x＋y－1＝0.答案：x2＋y2－3x＋y－1＝07．台风中心从A地以每小时20km的速度向东北方向移动，离台风中心 30km内的地区为危险地区，城市B在A地正东40km处，B城市处于危险区内的时间为．解析：如图所示，以A为原点，正东和正北方向为x轴、y轴正方向，则B(40,0)．台风中心在直线y＝x上移动．则问题转化成以点B为圆心，30km为半径的圆与直线y＝x相交的弦长就是B处在危险区内台风中心走过的距离．则圆B的方程为(x－40)2＋y2＝302，直线y＝x被圆B截得弦长为CD＝2·＝20(km)．故B城市处于危险区的时间为t＝＝1(h)．答案：1h8．已知圆O1的方程为x2＋(y＋1)2＝4，圆O2的圆心为O2(2,1)．(1)若圆O1与圆O2外切，求圆O2的方程；(2)若圆O1与圆O2交于A，B两点，且|AB|＝2，求圆O2的方程．解：(1)设圆O1、圆O2的半径分别为r1，r2，∵两圆外切，∴|O1O2|＝r1＋r2，∴r2＝|O1O2|－r1＝－2＝2(－1)，∴圆O2的方程是(x－2)2＋(y－1)2＝12－8.(2)由题意，设圆O2的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝r，圆O1，O2的方程相减，即得两圆公共弦AB所在直线的方程，为4x＋4y＋r－8＝0.∴圆心O1(0，－1)到直线AB的距离为＝＝，解得r＝4或20.∴圆O2的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝4或(x－2)2＋(y－1)2＝20.