高中数学人教A版必修二（同步练习）第二章2.1.3 、2.1.4 空间点、直线、平面之间的位置关系

第二章 2．1 空间点、直线、平面之间的位置关系2．1．3 空间中直线与平面之间的位置关系2．1．4 平面与平面之间的位置关系课时分层训练1．正方体的六个面中互相平行的平面有(  )A．2对B．3对C．4对D．5对解析：选B 作出正方体观察可知，3对互相平行的平面．2．三棱台的一条侧棱所在直线与其对面所在的平面之间的关系是(  )A．相交B．平行C．直线在平面内D．平行或直线在平面内解析：选A 延长各侧棱恢复成棱锥的形状可知，三棱台的一条侧棱所在直线与其对面所在的平面相交．3．若a∥α，b∥α，则直线a，b的位置关系是(  )A．平行或异面B．平行或相交C．相交或异面D．平行、相交或异面解析：选D 若a∥α，b∥α，则直线a，b的位置关系可能是平行、相交或异面．4．若直线a，b是异面直线，且a∥α，则直线b与平面α的位置关系是(  )A．b⊂αB．b∥αC．b与α相交D．以上都有可能解析：选D 首先明确空间中线、面位置关系有且只有三种：平行、相交、直线在平面内．本题中直线b与平面α可能平行，可能相交，也可能在平面内，故选D.5．若M∈平面α，M∈平面β，则α与β的位置关系是(  )A．平行B．相交C．异面D．不确定 解析：选B ∵M∈平面α，M∈平面β，∴α与β相交于过点M的一条直线．6．已知a，b是两条直线，α，β是两个平面，则下列说法中正确的序号为________．①若a∥b，b⊂α，则直线a就平行于平面α内的无数条直线；②若α∥β，a⊂α，b⊂β，则a与b是异面直线；③若α∥β，a⊂α，则a∥β；④若α∩β＝b，a⊂α，则a与β一定相交．解析：①中a∥b，b⊂α，所以不管a在平面内或平面外，都有结论成立，故①正确；②中直线a与b没有交点，所以a与b可能异面也可能平行，故②错误；③中直线a与平面β没有公共点，所以a∥β，故③正确；④中直线a与平面β有可能平行，故④错误．答案：①③7．若直线m不平行于平面α，且m⊄α，则m与α的位置关系是________．答案：相交8．空间中三个平面将空间分成________部分．解析：①当三个平面两两平行时，将整个空间分成4部分；②当三个平面中有两个互相平行，且同时与第三个平面相交或三个平面两两相交有1条交线时，分成6部分；③当三个平面两两相交且交线为3条互相平行的直线时，分成7部分；④当三个平面两两相交于共点的三条直线时，分成8部分．答案：4或6或7或89．如图，已知平面α和β相交于直线l，点A∈α，点B∈α，点C∈β，且A∉l，B∉l，直线AB与l不平行，那么，平面ABC与平面β的交线与l有什么关系？证明你的结论．解：平面ABC与平面β的交线与l相交．证明如下：∵AB与l不平行，AB⊂α，l⊂α，∴AB与l是相交直线．设AB∩l＝P，则点P∈AB，点P∈l. 又∵AB⊂平面ABC，l⊂β，∴P∈平面ABC且P∈平面β，即点P是平面ABC与平面β的一个公共点．而C也是平面ABC与平面β的一个公共点，又∵P，C不重合，∴直线PC就是平面ABC与平面β的交线，即平面ABC∩平面β＝直线PC.而直线PC∩l＝P，∴平面ABC与平面β的交线与l相交．10．三个平面α，β，γ.如果α∥β，γ∩α＝a，γ∩β＝b，且直线c⊂β，c∥b.(1)判断c与α的位置关系，并说明理由；(2)判断c与a的位置关系，并说明理由．解：(1)c∥α.因为α∥β，所以α与β没有公共点，又c⊂β，所以c与α无公共点，则c∥α.(2)c∥a.因为α∥β，所以α与β没有公共点．又γ∩α＝a，γ∩β＝b，则a⊂α，b⊂β，且a，b⊂γ，所以a，b没有公共点．因为a，b都在平面γ内，所以a∥b，又c∥b，所以c∥a.1．若直线a，b是异面直线，a⊂β，则b与平面β的位置关系是(  )A．平行B．相交C．b⊂βD．平行或相交解析：选D ∵a，b异面，且a⊂β，∴b⊄β，∴b与β平行或相交．2．与同一个平面α都相交的两条直线的位置关系是(  )A．平行B．相交C．异面D．以上都有可能解析：选D 如图所示：故相交、平行、异面都有可能．3．已知a，b，c为三条不重合的直线，α，β为两个不重合的平面． ①a∥c，b∥c⇒a∥b;②a∥c，c∥α⇒a∥α；③a∥β，a∥α⇒α∥β；④a⊂/α，b⊂α，a∥b⇒a∥α.其中正确命题的个数是(  )A．2    B．3    C．4    D．5解析：选A 由公理4，知①正确；对于②，可能a∥α，也可能a⊂α；对于③，α与β可能平行，也可能相交；对于④，∵a⊄α，∴a∥α或a与α相交．∵b⊂α，a∥b，故a∥α.4．以下命题(其中a，b表示直线，α表示平面)：①若a∥b，b⊂α，则a∥α；②若a∥α，b∥α，则a∥b；③若a∥b，b∥α，则a∥α；④若a∥α，b⊂α，则a∥b.其中正确命题的个数是(  )A．0    B．1    C．2    D．3解析：选A 如图，在长方体ABCD－A′B′C′D′中，CD∥AB，AB⊂平面ABCD，但CD⊂平面ABCD，故①错误；A′B′∥平面ABCD，B′C′∥平面ABCD，但A′B′与B′C′相交，故②错误；AB∥A′B′，A′B′∥平面ABCD，但AB⊂平面ABCD，故③错误；A′B′∥平面ABCD，BC⊂平面ABCD，但A′B′与BC异面，故④错误．5．空间三个平面如果每两个都相交，那么它们的交线有________条．解析：以打开的书面或长方体为模型，观察可得结论．答案：1或36．若一条直线与两个平行平面中的一个平面平行，则这条直线与另一平面的位置关系是________．解析：首先明确空间中线、面有且只有三种位置关系：平行、相交、直线在平面内．本题中相交显然不成立，平行或直线在平面内都有可能．答案：平行或直线在平面内7．给出下列几个说法： ①过一点有且只有一条直线与已知直线平行；②过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；③过平面外一点有且只有一条直线与该平面平行；④过平面外一点有且只有一个平面与该平面平行．其中正确的有________个．解析：①当点在已知直线上时，不存在过该点的直线与已知直线平行，故①错误；②由于垂直包括相交垂直和异面垂直，因而过一点与已知直线垂直的直线有无数条，故②错误；③过棱柱的上底面内的一点任意作一条直线都与棱柱的下底面平行，所以过平面外一点与已知平面平行的直线有无数条，故③错误；④过平面外一点与已知平面平行的平面有且只有一个，故④正确．答案：18．如图，在正方体ABCD－A′B′C′D′中，P是A′D的中点，Q是B′D′的中点，判断直线PQ与平面AA′B′B的位置关系，并利用定义证明．解：直线PQ与平面AA′B′B平行．连接AD′，AB′，在△AB′D′中，∵PQ是△AB′D′的中位线，平面AB′D′∩平面AA′B′B＝AB′，∴PQ在平面AA′B′B外，且与直线AB′平行，∴PQ与平面AA′B′B没有公共点，∴PQ与平面AA′B′B平行．