高中数学人教A版必修二（同步练习）第四章 4.1.2 圆的一般方程

第四章 4．1 圆的方程4．1．2 圆的一般方程课时分层训练1．圆x2＋y2－4x＋6y＋3＝0的圆心坐标是(  )A．(2,3)        B．(－2,3)C．(2，－3)D．(－2，－3)解析：选C 将x2＋y2－4x＋6y＋3＝0配方，得(x－2)2＋(y＋3)2＝10，故圆心坐标为(2，－3)．故选C.2．将圆x2＋y2－2x－4y＋4＝0平分的直线是(  )A．x＋y－1＝0B．x＋y＋3＝0C．x－y＋1＝0D．x－y＋3＝0解析：选C 要使直线平分圆，只要直线经过圆的圆心即可，圆心坐标为(1,2)．A、B、C、D四个选项中，只有C选项中的直线经过圆心，故选C.3．方程x2＋y2＋2ax＋2by＋a2＋b2＝0表示的图形为(  )A．以(a，b)为圆心的圆B．以(－a，－b)为圆心的圆C．点(a，b)D．点(－a，－b)解析：选D 原方程可化为(x＋a)2＋(y＋b)2＝0，∴即∴表示点(－a，－b)．4．如果方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)所表示的曲线关于直线y＝x对称，则必有(  )A．D＝EB．D＝FC．E＝FD．D＝E＝F解析：选A 由D2＋E2－4F＞0知，方程表示的曲线是圆，其圆心在直线y＝x上，故D＝E.5．当a为任意实数时，直线(a－1)x－y＋a＋1＝0恒过定点C，则以C 为圆心，为半径的圆的方程为(  )A．x2＋y2－2x＋4y＝0B．x2＋y2＋2x＋4y＝0C．x2＋y2＋2x－4y＝0D．x2＋y2－2x－4y＝0解析：选C 直线(a－1)x－y＋a＋1＝0可化为(－x－y＋1)＋a(1＋x)＝0，由得C(－1,2)．∴圆的方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝5，即x2＋y2＋2x－4y＝0.6．设A为圆(x－1)2＋y2＝1上的动点，PA是圆的切线且|PA|＝1，则P点的轨迹方程是．解析：设P(x，y)是轨迹上任一点，圆(x－1)2＋y2＝1的圆心为B(1,0)，则|PA|2＋1＝|PB|2，∴(x－1)2＋y2＝2.答案：(x－1)2＋y2＝27．已知圆C：x2＋y2－2x＋2y－3＝0，AB为圆C的一条直径，点A(0,1)，则点B的坐标为．解析：由x2＋y2－2x＋2y－3＝0得，(x－1)2＋(y＋1)2＝5，所以圆心C(1，－1)．设B(x0，y0)，又A(0,1)，由中点坐标公式得解得所以点B的坐标为(2，－3)．答案：(2，－3)8．圆C：x2＋y2－2x－4y＋4＝0的圆心到直线3x＋4y＋4＝0的距离d＝.解析：圆C：x2＋y2－2x－4y＋4＝0的圆心坐标为，即(1,2)，故圆心到直线3x＋4y＋4＝0的距离d＝＝＝3.答案：39．当实数m的值为多少时，关于x，y的方程(2m2＋m－1)x2＋(m2－m＋2)y2＋m＋2＝0表示的图形是一个圆？ 解：要使方程(2m2＋m－1)x2＋(m2－m＋2)y2＋m＋2＝0表示的图形是一个圆，需满足2m2＋m－1＝m2－m＋2，得m2＋2m－3＝0，所以m＝－3或m＝1.①当m＝1时，方程为x2＋y2＝－，不合题意，舍去；②当m＝－3时，方程为14x2＋14y2＝1，即x2＋y2＝，表示以原点为圆心，以为半径的圆．综上，m＝－3时满足题意．10．点A(2,0)是圆x2＋y2＝4上的定点，点B(1,1)是圆内一点，P，Q为圆上的动点．(1)求线段AP的中点的轨迹方程；(2)若∠PBQ＝90°，求线段PQ的中点的轨迹方程．解：(1)设线段AP的中点为M(x，y)，由中点公式得点P坐标为P(2x－2,2y)．∵点P在圆x2＋y2＝4上，∴(2x－2)2＋(2y)2＝4，故线段AP的中点的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝1.(2)设线段PQ的中点为N(x，y)，在Rt△PBQ中，|PN|＝|BN|.设O为坐标原点，连接ON，则ON⊥PQ，∴|OP|2＝|ON|2＋|PN|2＝|ON|2＋|BN|2，∴x2＋y2＋(x－1)2＋(y－1)2＝4，故线段PQ的中点的轨迹方程为x2＋y2－x－y－1＝0.1．已知方程x2＋y2－2x＋2k＋3＝0表示圆，则实数k的取值范围是(  )A．(－∞，－1)B．(3，＋∞)C．(－∞，－1)∪(3，＋∞)D.解析：选A 方程可化为：(x－1)2＋y2＝－2k－2，只有－2k－2>0，即k