第三章 3.2 3.2.1 古典概型3.2.2 (整数值)随机数(randomnumbers)的产生课时分层训练1．下列试验是古典概型的是( )A．在适宜的条件下，种下一粒种子，观察它是否发芽B．口袋里有2个白球和2个黑球，这4个球除颜色外完全相同，从中任取一球C．向一个圆面内随机投一点D．射击运动员向一靶心进行射击，试验结果为命中10环，命中9环，…，命中0环解析：选B 对于A，发芽与不发芽概率不一定相同；对于B，摸到白球与黑球的概率相同，均为；对于C，基本事件有无限个；对于D，由于受射击运动员水平的影响，命中10环，命中9环，…，命中0环的概率不一定相等．2．(2019·昆明高一检测)已知集合A＝{2,3,4,5,6,7}，B＝{2,3,6,9}，在集合A∪B中任取一个元素，则它是集合A∩B中的元素的概率是( )A. B．C.D．解析：选C A∪B＝{2,3,4,5,6,7,9}，A∩B＝{2,3,6}，所以由古典概型的概率公式得，所求的概率是.3．(2019·铜陵期末)从甲、乙等5名学生中随机选出2名，则甲被选中的概率为( )
A.B．C.D．解析：选B 设这5名学生分别是甲、乙、丙、丁、戊，从中随机选出2名的方法有(甲，乙)，(甲，丙)，(甲，丁)，(甲，戊)，(乙，丙)，(乙，丁)，(乙，戊)，(丙，丁)，(丙，戊)，(丁，戊)，共有10种，其中甲被选中有4种，所以所求概率为＝.4．(2019·张家界期末)某天放学以后，教室里还剩下2位男同学和2位女同学．若他们依次走出教室，则第2位走出的是男同学的概率是( )A.B．C.D．解析：选A 2位男同学和2位女同学走出教室的所有可能顺序有(女，女，男，男)，(女，男，女，男)，(女，男，男，女)，(男，男，女，女)，(男，女，男，女)，(男，女，女，男)，共6种，所以第2位走出的是男同学的概率是P＝＝，故选A.5．(2019·全国卷Ⅲ)两位男同学和两位女同学随机排成一列，则两位女同学相邻的概率是( )A.B．C.D．解析：选D 两位男同学和两位女同学排成一列，因为男生和女生人数相等，两位女生相邻与不相邻的排法种数相同，所以两位女生相邻与不相邻的概率均是.故选D.
6．已知抛掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上的概率为0.5.现采用随机模拟试验的方法估计抛掷这枚硬币三次恰有两次正面朝上的概率：先由计算器产生随机数0或1，用0表示正面朝上，用1表示反面朝上；再以每三个随机数作为一组，代表这三次抛掷的结果．经随机模拟试验产生了如下20组随机数：101 111 010 101 010100 100 011 111 110000 011 010 001 111011 100 000 101 101据此估计，抛掷这枚硬币三次恰有两次正面朝上的概率为________．解析：抛掷这枚硬币三次恰有两次正面朝上的有010,010,100,100,010,001,100，共7组，则抛掷这枚硬币三次恰有两次正面朝上的概率为＝0.35.答案：0.357．(2019·宜昌期末)从集合A＝{2,3，－4}中随机选取一个数记为k，从集合B＝{－2，－3,4}中随机选取一个数记为b，则直线y＝kx＋b不经过第二象限的概率为________．解析：依题意k和b的所有可能的取法有(2，－2)，(2，－3)，(2,4)，(3，－2)，(3，－3)，(3,4)，(－4，－2)，(－4，－3)，(－4,4)，共9种，当直线y＝kx＋b不经过第二象限时，应有k≥0，b≤0，满足条件的取法有(2，－2)，(2，－3)，(3，－2)，(3，－3)，共4种，所以所求概率为.答案：8．一个三位自然数百位、十位、个位上的数字依次为a，b，c，当且仅当有两个数字的和等于第三个数字时称为“有缘数”(如213,134等)，若a，b，c∈{1,2,3,4}，且a，b，c互不相同，则这个三位数为“有缘数”的概率是________．解析：由1,2,3组成的三位自然数为123,132,213,231,312,321，共6个；同理，由1,2,4组成的三位自然数为6个，由1,3,4组成的三位自然数为6个，由2,3,4组成的三位自然数为6个，共有24个．由1,2,3或1,3,4组成的三位自然数为“有缘数”，共12个．所以三位数为“有缘数”的概率为＝.
答案：9．海关对同时从A，B，C三个不同地区进口的某种商品进行抽样检测，从各地区进口此种商品的数量(单位：件)如下表所示．工作人员用分层抽样的方法从这些商品中共抽取6件样品进行检测.地区ABC数量50150100(1)求这6件样品中来自A，B，C各地区商品的数量；(2)若在这6件样品中随机抽取2件送往甲机构进行进一步检测，求这2件商品来自相同地区的概率．解：(1)因为样本容量与总体中的个体数的比是＝，所以样本中包含三个地区的个体数量分别是：50×＝1,150×＝3,100×＝2.所以A，B，C三个地区的商品被选取的件数分别为1,3,2.(2)设6件来自A，B，C三个地区的样品分别为：A；B1，B2，B3；C1，C2.则从6件样品中抽取的这2件商品构成的所有基本事件为：{A，B1}，{A，B2}，{A，B3}，{A，C1}，{A，C2}，{B1，B2}，{B1，B3}，{B1，C1}，{B1，C2}，{B2，B3}，{B2，C1}，{B2，C2}，{B3，C1}，{B3，C2}，{C1，C2}，共15个．每个样品被抽到的机会均等，因此这些基本事件的出现是等可能的．记事件D：“抽取的这2件商品来自相同地区”，则事件D包含的基本事件有：{B1，B2}，{B1，B3}，{B2，B3}，{C1，C2}，共4个．所以P(D)＝，即这2件商品来自相同地区的概率为.10．一个盒子里装有三张卡片，分别标记有数字1,2,3,这三张卡片除标记的数字外，其他完全相同．现随机有放回地抽取3次，每次抽取一张，将抽取的卡片上的数字依次记为a，b，c.
(1)求“抽取的卡片上的数字满足a＋b＝c”的概率；(2)求“抽取的卡片上的数字a，b，c不完全相同”的概率．解：(1)由题意，(a，b，c)所有可能的结果为(1,1,1)，(1,1,2)，(1,1,3)，(1,2,1)，(1,2,2)，(1,2,3)，(1,3,1)，(1,3,2)，(1,3,3)，(2,1,1)，(2,1,2)，(2,1,3)，(2,2,1)，(2,2,2)，(2,2,3)，(2,3,1)，(2,3,2)，(2,3,3)，(3,1,1)，(3,1,2)，(3,1,3)，(3,2,1)，(3,2,2)，(3,2,3)，(3,3,1)，(3,3,2)，(3,3,3)，共27种．设“抽取的卡片上的数字满足a＋b＝c”为事件A，则事件A包括(1,1,2)，(1,2,3)，(2,1,3)，共3种，所以P(A)＝＝.因此“抽取的卡片上的数字满足a＋b＝c”的概率为.(2)设“抽取的卡片上的数字a，b，c不完全相同”为事件B，则事件包括(1,1,1)，(2,2,2)，(3,3,3)，共3种，所以P(B)＝1－P()＝1－＝，因此“抽取的卡片上的数字a，b，c不完全相同”的概率为.1．(2019·武汉质检)甲、乙两人一起去游览公园，他们约定各自独立地从1号到6号景点中任选4个进行游览，每个景点参观1小时，则最后一小时他们在同一个景点的概率是( )A. B．C.D．解析：选D 甲、乙最后一小时所在的景点共有36种情况，甲、乙最后一小时在同一个景点共有6种情况．由古典概型的概率公式，知最后一小时他们在同一个景点的概率是＝.2．一个三位自然数，百位、十位、个位上的数字依次为a，b，c，当且仅当a＞b，b＜c时称为“凹数”(如213,312等)，若a，b，c∈{1,2,3,4}，且a，b，c互不相同，则这个三位数为“凹数”的概率是( )
A.B．C.D．解析：选C 组成各个数位上的数字不重复的三位自然数的基本事件共有24种，而满足三位数是“凹数”的有214,213,312,314,324,412,413,423，共8种，所以这个三位数为“凹数”的概率为＝.故选C.3．现采用随机模拟的方法估计某运动员射击4次，至少击中3次的概率．先由计算器给出0到9之间取整数值的随机数，指定0,1表示没有击中目标，2,3,4,5,6,7,8,9表示击中目标，以4个随机数为一组，代表射击4次的结果，经随机模拟产生了20组随机数：7527 0293 7140 9857 03474373 8636 6947 1417 46980371 6233 2616 8045 60113661 9597 7424 7610 4281根据以上数据估计该射击运动员射击4次至少击中3次的概率为( )A．0.852B．0.8192C．0.8D．0.75解析：选D 因为射击4次至多击中2次对应的随机数组为7140,1417,0371,6011,7610，共5组，所以射击4次至少击中3次的概率为1－＝0.75，故选D.4．(2019·烟台期末)把一枚骰子投掷两次，观察出现的点数，记第一次出现的点数为a，第二次出现的点数为b，则方程组只有一组解的概率为( )A.B．C.D．解析：选B 点(a，b)的取值集合共有36个元素．方程组只有一组解等价于直线ax＋by＝3与x＋2y＝2相交，即≠，即b≠2a，而满足b＝2a
的有(1,2)，(2,4)，(3,6)，共3个，故方程组只有一组解的概率为＝.5．一个袋子中有号码分别为1,2,3,4,5的五个大小相同的小球，现从袋中任取一个球，取出后不放回，然后再从袋中任取一个球，则第一次取出的号码为奇数，第二次取出的号码为偶数的概率为________．解析：试验的所有事件为(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,1)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,1)，(3,2)，(3,4)，(3,5)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,5)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，共20个．其中“第一次取出的号码为奇数，第二次取出的号码为偶数”包含的基本事件个数为6，则所求概率为P＝＝.答案：6．投掷一枚质地均匀的骰子两次，若第一次向上的点数小于第二次向上的点数，我们称其为前效实验；若第二次向上的点数小于第一次向上的点数，我们称其为后效实验；若两次向上的点数相等，我们称其为等效实验，那么一个人投掷该骰子两次后出现等效实验的概率是________．解析：投掷一枚质地均匀的骰子两次的所有基本事件共有36种，其中两次向上的点数相等的基本事件有(1,1)，(2,2)，(3,3)，(4,4)，(5,5)，(6,6)，共6种，所以一个人投掷该骰子两次后出现等效实验的概率P＝＝.答案：7．(2019·六安高一检测)用数字1,2组成一个四位数，则数字1,2都出现的概率为________．解析：用数字1,2组成一个四位数，共有16种不同的结果，数字1,2都出现的四位数有1112,1121,1211，2111，1122，1212,1221,2121,2112,2211,2221，2212，2122,1222，共14种．根据古典概型的概率计算公式，得数字1,2都出现的概率P＝＝.答案：
8．在人群流量较大的街道，有一中年人吆喝“送钱”，只见他手拿一黑色小布袋，袋中有3个黄球、3个白球(其体积、质地完全相同)，旁边立着一块小黑板，上面写道：摸球方法：一次从袋中随机摸出3个球，若摸得同一颜色的3个球，摊主送给摸球者5元钱；若摸得非同一颜色的3个球，摸球者付给摊主1元钱．(1)一次摸出的3个球均为白球的概率是多少？(2)一次摸出的3个球为2个黄球和1个白球的概率是多少？(3)假定一天中有100人次摸奖，试从概率的角度估算一下这个摊主一个月(按30天计)的收入．解：(1)把3个黄球分别记为A，B，C,3个白球分别记为1,2,3.从6个球中随机摸出3个球的所有基本事件为ABC，AB1，AB2，AB3，AC1，AC2，AC3，A12，A13，A23，BC1，BC2，BC3，B12，B13，B23，C12，C13，C23,123，共20个．记“一次摸出的3个球均为白球”为事件E，则事件E包含的基本事件只有1个，故P(E)＝＝0.05.(2)记“一次摸出的3个球为2个黄球和1个白球”为事件F，则事件F包含的基本事件有9个，故P(F)＝＝0.45.(3)记“一次摸出的3个球为同一颜色”为事件G，则P(G)＝＝0.1.假定一天中有100人次摸奖，由摸出的3个球为同一颜色的概率可估计事件G发生10次，不发生90次．故该摊主一天的收入为90×1－10×5＝40(元)，一个月的收入为40×30＝1200(元)．
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