高中数学人教A版必修四（同步练习）第2章 2.2.2向量的减法运算及其几何意义

第二章 2.2 平面向量的线性运算2.2.2 向量减法运算及其几何意义课时分层训练1．(2019·涪城区校级期中)设＝a，＝b，点P与R关于点A对称，点R与Q关于点B对称，则向量＝(  )A．2(a－b)   B．2(b－a)C．(a－b)D．(b－a)解析：选B ∵点P与R关于点A对称，点R与Q关于点B对称，∴＝－＝(＋)－(＋)＝2－2＝2(b－a)．故选B.2．如图，已知＝a，＝b，＝c，＝d，且四边形ABCD为平行四边形，则(  )A．a＋b＋c＋d＝0B．a－b＋c－d＝0C．a＋b－c＋d＝0D．a－b－c＋d＝0解析：选B 由题意得，＋＝0，∴－＋－＝0，即a－b＋c－d＝0，故选B. 3．已知△ABC为等腰直角三角形，且A＝90°，给出下列结论：①|－|＝|＋|；②|－|＝|－|；③|－|＝|－|；④|－|2＝|－|2＋|－|2.其中正确的个数为(  )A．1B．2C．3D．4解析：选D 如图，以AB，AC为邻边作▱ABDC，则它是正方形，根据向量加减法的几何意义可知题中四个结论都正确．故选D.4．在四边形ABCD中，若＝－，且|－|＝|＋|，则四边形ABCD为(  )A．平行四边形B．菱形C．矩形D．正方形解析：选C 因为＝－，所以＝，所以四边形ABCD为平行四边形．因为|＋|＝|－|，所以||＝||，即▱ABCD的对角线相等，所以四边形ABCD为矩形．故选C．5．(2019·河南三门峡灵宝三中质检)下列四个式子中可以化简为的是(  )①＋－；②－；③＋；④－.A．①④B．①②C．②③D．③④ 解析：选A 因为＋－＝－＝＋＝，所以①正确，排除C、D；因为－＝，所以④正确，排除B.故选A．6．如图，在四边形ABCD中，设＝a，＝b，＝c，则可用a，b，c表示为________．解析：＝－＝＋－＝a－b＋c.答案：a－b＋c7.如图所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，AC与BD交于O点，则－－＋＋＝________.解析：－－＋＋＝(－)－(－)＋＝－＋＝.答案：8．若向量a，b满足：|a|＝2，|a＋b|＝3，|a－b|＝3，则|b|＝________.解析：由|a＋b|＝3，|a－b|＝3，可得|a|2＋|b|2＝9，又|a|＝2，解得|b|＝.答案：9．设O是△ABC内一点，且＝a，＝b，＝c，若以OA，OB为邻边作平行四边形，第四个顶点为D，再以OC，OD为邻边作平行四边形，其第四个顶点为H.试用a，b，c表示，，.解：由题意可知四边形OADB为平行四边形， ＝＋＝a＋b，∴＝－＝c－(a＋b)＝c－a－b.又∵四边形ODHC为平行四边形，∴＝＋＝c＋a＋b，＝－＝a＋b＋c－b＝a＋c.10.如图所示，已知正方形ABCD的边长等于1，＝a，＝b，＝c，试求：(1)|a＋b＋c|；(2)|a－b＋c|.解：(1)由已知得，a＋b＝＋＝，又＝c，延长AC到E，使||＝||.则a＋b＋c＝，且||＝2.∴|a＋b＋c|＝2.(2)作＝，连接CF，则＋＝，而＝－＝a－＝a－b， ∴a－b＋c＝＋＝，且||＝2.∴|a－b＋c|＝2.1．(2019·山东淄博六中期中)对于菱形ABCD，给出下列各式：①＝；②||＝||；③|－|＝|＋|；④|＋|＝|－|.其中正确的个数为(  )A．1B．2C．3D．4解析：选C 在菱形ABCD中，向量与的方向是不同的，但它们的模是相等的，所以②正确，①错误；因为|－|＝|＋|＝2||，|＋|＝2||，且||＝||，所以|－|＝|＋|，所以③正确；因为|＋|＝|＋|＝||，|－|＝|＋|＝||，所以④正确．综上所述，正确的个数为3，故选C．2．设点M是线段BC的中点，点A在直线BC外，||2＝16，|＋|＝|－|，则||＝(  )A．8B．4C．2D．1解析：选C 以，为邻边作▱ACDB，则||＝|＋|，||＝|－|.因为|＋|＝|－|，所以||＝||，所以四边形ACDB为矩形，故AC⊥AB，所以AM为Rt△BAC斜边BC上的中线，因此||＝||＝2.故选C．3．若O是△ABC内的一点，且＋＋＝0，则O是△ABC的(  )A．重心B．垂心 C．内心D．外心解析：选A ∵＋＋＝0，＋是以，为邻边的平行四边形的对角线且过AB的中点，设AB的中点为D，则＋＝2，∴2＋＝0.∴||＝||.又∵D为AB的中心，C，O，D三点共线，∴O为△ABC的重心．4．已知△ABC的三个顶点A，B，C及平面内一点P满足＋＝，则下列结论正确的是(  )A．点P在△ABC的内部B．点P在△ABC的边AB上C．点P在AB边所在直线上D．点P在△ABC的外部解析：选D 由＋＝，可得＝－＝，∴四边形PBCA为平行四边形，∴点P在△ABC的外部．故选D.5．如图，已知ABCDEF是一正六边形，O是它的中心，其中＝b，＝c，则等于________．解析：＝＝－＝b－c.答案：b－c6．对于向量a，b，当且仅当________时，有|a－b|＝||a|－|b||.解析：当a，b不同向时，根据向量减法的几何意义，知一定有|a－b|>||a|－|b||，所以只有两向量共线且同向时，才有|a－b|＝||a|－|b||. 答案：a与b同向7．已知||＝6，||＝9，则|－|的取值范围是________．解析：∵|||－|||≤|－|≤||＋||，且||＝9，||＝6，∴3≤|－|≤15，∴|－|的取值范围为[3,15]．答案：[3,15]8．(2018·江苏模考)已知△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，M是斜边AB的中点，＝a，＝b，求证：(1)|a－b|＝|a|；(2)|a＋(a－b)|＝|b|.证明：(1)如图，在等腰直角三角形ABC中，由M是斜边AB的中点，得||＝||，||＝||.在△ACM中，＝－＝a－b.于是由||＝||，得|a－b|＝|a|.(2)＝＝a－b，在△MCB中，＝－＝a－b＋a＝a＋(a－b)，从而由||＝||，得|a＋(a－b)|＝|b|.