高中数学人教A版必修四（同步练习）第1章1.5 函数y=Asin(ωx+φ)的图象 第2课时

第一章 1.5 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象第二课时 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象与性质课时分层训练1．函数y＝sin的图象的一条对称轴是(  )A．x＝－      B．x＝C．x＝－D．x＝解析：选C ∵x－＝kπ＋，k∈Z，∴x＝kπ＋，k∈Z，令k＝－1，得x＝－.故选C．2．下列函数中，图象的一部分如图所示的是(  )A．y＝sinB．y＝sinC．y＝cosD．y＝cos解析：选D 由题图知T＝4×＝π，∴ω＝＝2. 又x＝时，y＝1，经验证，可得D项解析式符合题目要求．3．(2018·天津卷)将函数y＝sin的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数(  )A．在区间上单调递增B．在区间上单调递减C．在区间上单调递增D．在区间上单调递减解析：选A 将函数y＝sin的图象向右平移个单位长度后的解析式为y＝sin＝sin2x，则函数y＝sin2x的一个单调递增区间为，一个单调递减区间为.由此可判断选项A正确．4．将函数y＝sinx的图象向左平移个单位长度，得到函数y＝f(x)的图象，则下列说法正确的是(  )A．y＝f(x)是奇函数B．y＝f(x)的周期为πC．y＝f(x)的图象关于直线x＝对称D．y＝f(x)的图象关于点对称解析：选D 函数y＝sinx的图象向左平移个单位长度后，得到函数f(x)＝sin＝cosx的图象，f(x)＝cosx为偶函数，周期为2π；又因为f＝cos ＝0，所以f(x)＝cosx的图象不关于直线x＝对称；又由f＝cos＝0，知f(x)＝cosx的图象关于点对称．故选D.5．函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的部分图象如图所示，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2017)的值等于(  )A．B．2＋2C．＋2D．－2解析：选A 由题图可知A＝2，φ＝2kπ，k∈Z，T＝8，∴＝8，即ω＝，∴f(x)＝2sinx.∵周期为8，且f(1)＋f(2)＋…＋f(8)＝0，∴f(1)＋f(2)＋…＋f(2017)＝f(1)＝2sin＝.6．函数y＝sin的对称中心是______________，对称轴方程是__________________．解析：函数的对称中心：x＋＝kπ，k∈Z，∴x＝2kπ－，k∈Z，即，k∈Z，对称轴方程：x＋＝kπ＋，k∈Z，∴x＝2kπ＋，k∈Z.答案：，k∈Z x＝2kπ＋，k∈Z7．函数y＝sinx的图象的横坐标和纵坐标同时扩大3倍，再将图象向右平移3个单位长度，所得图象的函数解析式为________________． 解析：将函数y＝sinx的图象的横坐标和纵坐标同时扩大3倍，所得函数解析式为y＝3sinx再把所得图象向右平移3个单位长度，所得函数解析式为y＝3sin(x－3)＝3sin.答案：y＝3sin8．在函数y＝2sin(ωx＋φ)(ω＞0)的一个周期上，当x＝时，有最大值2，当x＝时，有最小值－2，则ω＝________.解析：依题意知＝－＝，所以T＝π，又T＝＝π，得ω＝2.答案：29．函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的部分图象如图所示．(1)求函数y＝f(x)的解析式；(2)当x∈时，求f(x)的取值范围．解：(1)由函数图象得A＝1，＝－＝，所以T＝2π，则ω＝1.将点代入得sin＝1，而－＜φ＜，所以φ＝，因此函数的解析式为f(x)＝sin.(2)由于－π≤x≤－，－≤x＋≤， 所以－1≤sin≤，所以f(x)的取值范围是.10．已知函数f(x)＝2sin＋1(0＜φ＜π，ω＞0)为偶函数，且函数f(x)的图象的两相邻对称轴间的距离为.(1)求f的值；(2)将函数f(x)的图象向右平移个单位长度后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长为原来的4倍，纵坐标不变，得到函数g(x)的图象，求函数g(x)的单调递减区间．解：(1)∵f(x)为偶函数，∴φ－＝kπ＋(k∈Z)，∴φ＝kπ＋(k∈Z)．又0＜φ＜π，∴φ＝，∴f(x)＝2sin＋1＝2cosωx＋1.∵函数f(x)的图象的两相邻对称轴间的距离为，∴T＝＝2×，∴ω＝2，∴f(x)＝2cos2x＋1，∴f＝2cos＋1＝＋1.(2)将f(x)的图象向右平移个单位长度后，得到函数f的图象，再将所得图象上各点的横坐标伸长为原来的4倍，纵坐标不变，得到f的图象， 所以g(x)＝f＝2cos2＋1＝2cos＋1.当2kπ≤－≤2kπ＋π(k∈Z)，即4kπ＋≤x≤4kπ＋(k∈Z)时，g(x)单调递减．∴函数g(x)的单调递减区间是(k∈Z)．1．已知ω＞0,0＜φ＜π，直线x＝和x＝是函数f(x)＝sin(ωx＋φ)图象的两条相邻的对称轴，则φ＝(  )A．B．C．D．解析：选A 由题意得周期T＝2＝2π，∴2π＝，即ω＝1，∴f(x)＝sin(x＋φ)，∴f＝sin＝±1.∵0＜φ＜π，∴＜φ＋＜，∴φ＋＝，∴φ＝.故选A．2．函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象的一部分如图所示，则它的函数解析式是(  ) A．y＝2sinB．y＝2sinC．y＝2sinD．y＝2sin解析：选B 由题图知，A＝2，T＝2＝4，∴ω＝＝，∴解析式可写成y＝2sin.将看作函数图象的第一个特殊点代入上式，得×＋φ＝2kπ，k∈Z.∵|φ|＜，∴φ＝.∴函数解析式为y＝2sin，故选B.3．同时具有性质“①最小正周期是π；②图象关于直线x＝对称；③在上单调递增”的一个函数是(  )A．y＝sinB．y＝cosC．y＝sinD．y＝cos解析：选C 由①知T＝π＝，ω＝2，排除A；由②③知x＝时，f(x)取最大值，验证知只有C符合要求． 4．已知函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)的图象如图所示，则f等于(  )A．B．0C．2D．－2解析：选B 由题图可知，T＝－＝π，即T＝.又由正弦图象性质可知，若f(x0)＝0，则f＝0.∴f＝f＝0.故选B.5．如图所示的曲线是y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的图象的一部分，则这个函数的解析式是________．解析：由函数图象可知A＝2，T＝＝π，即＝π，故ω＝2.又是五点法作图的第五个点，即2×＋φ＝2π，则φ＝.故所求函数的解析式为y＝2sin.答案：y＝2sin 6．关于函数f(x)＝2sin，有以下说法：①其最小正周期为；②图象关于点对称；③直线x＝－是其一条对称轴．其中正确的序号是________．解析：T＝＝，故①正确；x＝时，f＝2sin＝0，所以图象关于点对称，故②正确；x＝－时，f＝2sin＝2，所以直线x＝－是其一条对称轴，故③正确．答案：①②③7．(2019·湖南高一期中)设函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A，ω，φ是常数，A＞0，ω＞0)．若f(x)在区间上具有单调性，且f＝f＝－f，则f(x)的最小正周期为________．解析：由f(x)在区间上具有单调性，且f＝－f知，函数f(x)的对称中心为，由f＝f知，函数f(x)的图象的一条对称轴为直线x＝＝.设函数f(x)的最小正周期为T，则T≥－，即T≥，所以－＝，解得T＝π.答案：π8．(2018·湖北高一期末)如图为函数f(x)＝Asin(ωx＋φ) 的一个周期内的图象．(1)求函数f(x)的解析式；(2)若g(x)的图象与f(x)的图象关于直线x＝2对称，求函数g(x)的解析式及g(x)的最小正周期、频率、振幅、初相．解：(1)由题图，知A＝2，T＝7－(－1)＝8，∴ω＝＝＝，∴f(x)＝2sin.将点(－1,0)代入，得0＝2sin.∵|φ|＜，∴φ＝，∴f(x)＝2sin.(2)作出与f(x)的图象关于直线x＝2对称的图象(图略)，可以看出g(x)的图象相当于将f(x)的图象向右平移2个单位长度得到的，∴g(x)＝2sin＝2sin，∴g(x)的最小正周期为T＝＝8，∴频率为，振幅为2，初相为－.