高中数学人教A版必修四（同步练习）第2章 2.3.1平面向量基本定理

第二章 2.3 平面向量的基本定理及坐标表示2.3.1 平面向量基本定理课时分层训练1．(2019·合肥质检)已知O，A，B，C为同一平面内的四个点，若2＋＝0，则向量等于(  )A．－    B．－＋C．2－D．－＋2解析：选C 因为＝－，＝－，所以2＋＝2(－)＋(－)＝－2＋＝0，所以＝2－.故选C．2．已知点M是△ABC的边BC的中点，点E在边AC上，且＝2，则＝(  )A．＋B．＋C．＋D．＋解析：选C 如图，∵＝2，∴＝＋＝＋＝＋(－)＝＋.故选C． 3．(2018·常州调研)已知A，B，C三点不共线，且点O满足＋＋＝0，则下列结论正确的是(  )A．＝＋B．＝＋C．＝－D．＝－－解析：选D ∵＋＋＝0，∴O为△ABC的重心，∴＝－×(＋)＝－(＋)＝－(＋＋)＝－(2＋)＝－－.故选D.4．若向量a与b的夹角为60°，则向量－a与－b的夹角是(  )A．60°B．120°C．30°D．150°解析：选A ∵－a与－b分别为a与b的相反向量．∴－a与－b的夹角为60°.故选A．5．若D点在△ABC的边BC上，且＝4＝r＋s，则3r＋s的值为(  )A．B．C．D．解析：选C ∵＝4＝r＋s，∴＝＝(－)＝r＋s， ∴r＝，s＝－.∴3r＋s＝－＝.故选C．6．已知向量a与b的夹角等于60°，则(1)2a与3b的夹角是________．(2)2a与－b的夹角是________．解析：2a与3b的夹角等于a与b的夹角即为60°；2a与－b的夹角等于a与b夹角的补角，即为120°.答案：(1)60° (2)120°7．已知e1、e2不共线，a＝e1＋2e2，b＝2e1＋λe2，要使a，b能作为平面内的一组基底，则实数λ的取值范围为________．解析：若a，b能作为平面内的一组基底，则a与b不共线，则a≠kb(k∈R)，又a＝e1＋2e2，b＝2e1＋λe2，∴λ≠4.答案：(－∞，4)∪(4，＋∞)8．设D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，AD＝AB，BE＝BC．若＝λ1＋λ2(λ1，λ2∈R)，则λ1＋λ2的值为________．解析：由＝－＝－＝(－)＋＝－＋，得λ1＝－，λ2＝，从而λ1＋λ2＝.答案：9．已知向量a，b的夹角为60°，试求下列向量的夹角．(1)－a与b；(2)2a与b.解：(1)如图①，由向量夹角的定义，可知向量－a与b的夹角为120°.(2)如图②，向量2a与b的夹角为60°. 10．如图，O，A，B三点不共线，＝2，＝3，设＝a，＝b.(1)试用a，b表示向量；(2)设线段AB，OE，CD的中点分别为L，M,N，试证明L，M，N三点共线．解：(1)∵B，E，C三点共线，∴＝x＋(1－x)＝2xa＋(1－x)b，①同理，∵A，E，D三点共线，可得＝ya＋3(1－y)b，②比较①②得解得x＝，y＝，∴＝a＋b.(2)证明：∵＝，＝＝，＝(＋)＝，＝－＝，＝－＝，∴＝6，∴L，M，N三点共线．1．(2019·泉州检测)如图，向量e1，e2，a的起点与终点均在正方形网格的格点上，则向量a用基底e1，e2表示为(  ) A．e1＋e2B．2e1－e2C．－2e1＋e2D．2e1＋e2解析：选C 平移e1，e2，由图易知a＝＋＝－2e1＋e2.故选C．2.(2019·赣州寻乌中学期末)在△ABC中，AB＝2，BC＝3，∠ABC＝60°，AD为BC边上的高，O为AD的中点，若＝λ＋μ，则λ＋μ＝(  )A．1B．C．D．解析：选D 由题知，＝＝(＋)．又因为BD＝AB×cos60°＝1，所以＝，故＝＋，因此λ＋μ＝＋＝，故选D.3．如图所示，|OA,\s\up6(→))|＝||＝1，||＝，∠AOB＝60°，⊥，设＝x＋y，则(  )A．x＝－2，y＝－1B．x＝－2，y＝1C．x＝2，y＝－1D．x＝2，y＝1解析：选B 过点C作CD∥OB交AO的延长线于点D，连接BC．由||＝1，||＝，∠AOB＝60°，OB⊥OC，知∠COD＝30°.在△OCD中，可得OD＝2CD＝2，则＝＋＝－2＋，故x＝－2，y＝1，故选B. 4．已知△ABC是边长为4的正三角形，D，P是△ABC内的两点，且满足＝(＋)，＝＋，则△APD的面积为(  )A．B．C．D．2解析：选A 取BC的中点E，连接AE，由于△ABC是边长为4的正三角形，则AE⊥BC，＝(＋)，又＝(＋)，所以点D是AE的中点，AD＝.取＝，以，为邻边作平行四边形，可知＝＋＝＋，而△APD是直角三角形，||＝，所以△APD的面积为××＝.5．(2018·江西临川二中月考)已知非零向量a，b，c满足a＋b＋c＝0，向量a，b的夹角为120°，且|b|＝2|a|，则向量a与c的夹角为________．解析：由题意可画出图形，如图所示，在△OAB中，因为∠OAB＝60°，|b|＝2|a|，所以∠ABO＝30°，OA⊥OB，即向量a与c的夹角为90°.答案：90°6．已知点P，Q是△ABC所在平面上的两个定点，且满足＋＝0,2＋ ＋＝，若||＝λ||，则实数λ＝________.解析：由＋＝0，知＝－＝，所以点P是边AC的中点．又2＋＋＝，所以2＝－－＝＋＋＝2，从而有＝，故点Q是边AB的中点，所以PQ是△ABC的中位线，所以||＝||，故λ＝.答案：7．已知S是△ABC所在平面外一点，D是SC的中点，若＝x＋y＋z，则x＋y＋z＝________.解析：依题意得＝－＝(＋)－＝－＋＋，因此x＋y＋z＝－1＋＋＝0.答案：08.(2019·江苏月考)如图，在△ABC中，已知M为BC边上一点，且满足＝＋，求△ABM与△ABC的面积之比．解：∵＝＋，∴＝(－)＋(－)，∴＋＝0，∴＝3， ∴＝＝.