高中数学人教A版必修四（同步练习）第2章 2.2.3向量的数乘运算及其几何意义

第二章 2.2 平面向量的线性运算2.2.3 向量数乘运算及其几何意义课时分层训练1．设D，E，F分别为△ABC的三边BC，CA，AB的中点，则＋＝(  )A．B．C．D．解析：选A ＋＝(＋)＋(＋)＝(＋)＝.故选A．2．如图，已知＝a，＝b，＝3，用a，b表示，则＝(  )A．a＋bB．a＋bC．a＋bD．a＋b解析：选D ＝＋＝＋＝＋(－)＝＋＝a＋b.故选D.3．已知实数m，n和向量a，b，给出下列说法：①m(a－b)＝ma－mb；②(m－n)a＝ma－na；③若ma＝mb，则a＝b； ④若ma＝na(a≠0)，则m＝n.其中，正确的说法是(  )A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④解析：选B 易知①和②正确；③中，当m＝0时，ma＝mb＝0，但a与b不一定相等，故③不正确；④中，由ma＝na，得(m－n)a＝0，因为a≠0，所以m＝n，故④正确．故选B.4．设a，b为不共线的两个非零向量，已知向量＝a－kb，＝2a＋b，＝3a－b，若A，B，D三点共线，则实数k的值等于(  )A．10B．－10C．2D．－2解析：选C 因为A，B，D三点共线，所以＝λ＝λ(－)，所以a－kb＝λ(3a－b－2a－b)＝λ(a－2b)，所以λ＝1，k＝2.故选C．5．(2019·江西月考)设D，E，F分别是△ABC的边BC，CA，AB上的点，且＝2，＝2，＝2，则＋＋与(  )A．反向平行B．同向平行C．一定不平行D．不能判断两个向量的关系解析：选A ＋＋＝＋＋＋＋－＝＋＋－－－＝(－)＋＝＋＝－，故选A．6．已知向量a，b满足|a|＝3，|b|＝5，且a＝λb，则实数λ的值是________．解析：由a＝λb，得|a|＝|λb|＝|λ||b|.∵|a|＝3，|b|＝5，∴|λ|＝，即λ＝±. 答案：±7．已知A，B，P三点共线，O为直线外任意一点，若＝x＋y，则x＋y的值为________．解析：由于A，B，P三点共线，所以向量，在同一直线上，由向量共线定理可知，必定存在实数λ使＝λ，即－＝λ(－)，所以＝(1－λ)＋λ，故x＝1－λ，y＝λ，即x＋y＝1.答案：18．设点O在△ABC的内部，点D，E分别为边AC，BC的中点，且|＋2|＝1，则|＋2＋3|＝________.解析：如图所示，易知|＋2＋3|＝|＋＋2(＋)|＝|2＋4|＝2|＋2OE|＝2.答案：29．已知e，f为两个不共线的向量，若四边形ABCD满足＝e＋2f，＝－4e－f，＝－5e－3f.(1)将用e，f表示；(2)证明：四边形ABCD为梯形．解：(1)＝＋＋＝(e＋2f)＋(－4e－f)＋(－5e－3f)＝(1－4－5)e＋(2－1－3)f＝－8e－2f.(2)证明：因为＝－8e－2f＝2(－4e－f)＝2， 所以根据数乘向量的定义，知与同向，且||＝2||，所以在四边形ABCD中，AD∥BC，且AD≠BC，所以四边形ABCD是梯形．10．已知非零向量e1，e2不共线．(1)如果＝e1＋e2，＝2e1＋8e2，＝3(e1－e2)，求证：A、B、D三点共线；(2)欲使ke1＋e2和e1＋ke2共线，试确定实数k的值．解：(1)证明：∵＝e1＋e2，＝＋＝2e1＋8e2＋3e1－3e2＝5(e1＋e2)＝5.∴，共线，且有公共点B，∴A、B、D三点共线．(2)∵ke1＋e2与e1＋ke2共线，∴存在实数λ，使ke1＋e2＝λ(e1＋ke2)，则(k－λ)e1＝(λk－1)e2，由于e1与e2不共线，只能有∴k＝±1.1．若点O为▱ABCD的中心，＝2e1，＝3e2，则e2－e1＝(  )A．B．C．D．解析：选A ∵＝－＝－＝3e2－2e1，∴＝＝e2－e1.故选A． 2．设P，Q为△ABC内的两点，且＝＋，＝＋，则＝(  )A．B．C．D． 解析：选D 如图，设＝，＝，连接PM，PN，则＝＋，易知四边形AMPN为平行四边形，则NP∥AB，所以＝＝.同理＝，故＝.故选D.3．已知△ABC和点M满足＋＋＝0.若存在实数m使得＋＝m成立，则m＝(  )A．2B．3C．4D．5解析：选B 如图，在△ABC中，以BM，CM为邻边作平行四边形MBDC，连接MD，交BC于点E，依据向量加法的平行四边形法则可得＋＝，又＋＋＝0，则＝，两向量有公共点M，则A，M，D三点共线，结合MD是平行四边形MBDC的对角线可知，AE是△ABC的中线，同理可证BM，CM也在△ABC的中线上，即M是△ABC的重心．以AB，AC为邻边作平行四边形ABFC，连接DF，易知A，D，F三点共线．依据向量加法的平行四边形法则可得＋＝＝2＝2×＝3，故m＝3.故选B.4．已知A，B，C是平面上不共线的三点，O是△ABC的重心，动点P满足 ＝，则点P一定为(  )A．AB边中线的中点B．AB边中线的三等分点(非重心)C．BC边中线的中点D．AB边的中点解析：选B ∵O是△ABC的重心，∴＋＋＝0，∴＝＝，∴点P是线段OC的中点，即AB边中线的三等分点(非重心)．故选B.5．(2019·山西朔州期末)化简(a－b)－(2a＋4b)＋(2a＋13b)＝________.解析：原式＝a－b－a－b＋a＋b＝a＋b＝0a＋0b＝0＋0＝0.答案：06．在△ABC中，点M，N满足＝2，＝.若＝x＋y，则x＝________；y＝________.解析：由题意得＝＋＝＋＝＋(－)＝－＝x＋y，所以x＝，y＝－.答案： －7．设向量a，b不平行，若向量λa＋b与向量a＋2b平行，则实数λ＝________.解析：由于λa＋b与a＋2b平行，所以存在μ∈R，使得λa＋b＝μ(a＋2b)，即(λ－μ)a＋(1－2μ)b＝0，因为向量a，b不平行，所以λ－μ＝0,1－2μ＝0，解得λ ＝μ＝.答案：8．(2018·四川眉山仁寿一中周练)如图所示，在△ABC中，D，F分别是BC，AC的中点，＝，＝a，＝b.(1)用a，b表示，，，，；(2)求证：B，E，F三点共线．解：(1)如图，延长AD到点G，使＝2，连接BG，CG，得到▱ABGC．则＝a＋b，＝＝(a＋b)，＝＝(a＋b)，＝＝b，＝－＝(a＋b)－a＝(b－2a)，＝－＝b－a.(2)证明：由(1)，知＝，∴，共线．又，有公共点B，∴B，E，F三点共线．