高中数学人教A版必修四（同步练习）第2章　2.1平面向量的实际背景及基本概念

第二章 2.1 平面向量的实际背景及基本概念课时分层训练1．下列说法中，正确的个数是(  )①时间、摩擦力、重力都是向量；②向量的模是一个正实数；③相等向量一定是平行向量；④向量a与b不共线，则a与b都是非零向量．A．1          B．2C．3D．4解析：选B 时间没有方向，不是向量，摩擦力、重力都是向量，故①错误；零向量的模为0，故②错误；相等向量的方向相同，因此一定是平行向量，故③正确；零向量与任一向量共线，故④正确．故选B.2．若a为任一非零向量，b的模为1，给出下列各式：①|a|＞|b|；②a∥b；③|a|＞0；④|b|＝±1.其中正确的是(  )A．①④B．③C．①②③D．②③解析：选B |a|的大小不能确定，故①错误；两个非零向量的方向不确定，故②错误；向量的模是一个非负实数，故④错误；③正确．故选B.3．已知A＝{与a共线的向量}，B＝{与a长度相等的向量}，C＝{与a长度相等，方向相反的向量}，其中a为非零向量，则下列说法中，错误的是(  )A．CAB．A∩B＝{a}C．CBD．A∩B{a}解析：选B 因为A∩B中含有与a长度相等、方向相反的向量，所以B选项错误． 4．在菱形ABCD中，∠DAB＝120°，则以下说法错误的是(  )A．与相等的向量只有一个(不含)B．与的模相等的向量有9个(不含)C．的模恰为模的倍D.与不共线解析：选D 两向量相等要求长度(模)相等，方向相同．两向量共线只要求方向相同或相反．D中与所在直线平行，向量方向相同，故共线．5．正n边形有n条边，它们对应的向量依次为a1、a2、a3，…，an，则这n个向量(  )A．都相等B．都共线C．都不共线D．模都相等解析：选D 正n边形的边长相等，故这n个向量的模都相等．6．在四边形ABCD中，∥，||≠||，则四边形ABCD是________．答案：梯形7．若D，E，F分别是△ABC的三边AB，BC，AC的中点，则与向量相等的向量为________．解析：三角形的中位线平行且等于底边的一半，如图，∴＝＝.答案：，8．已知A，B，C是不共线的三点，向量m与向量是平行向量，与是共线向量，则m＝__________.解析：平行向量又叫共线向量，而与不共线向量， 都共线的向量只能是零向量．答案：09．如图，在△ABC中，已知向量＝，＝，求证：＝.证明：∵＝，∴D为AB的中点．由＝，可得||＝||且DF∥EC，故四边形CEDF是平行四边形，从而DE∥FC．∴E为AC的中点，∴＝，∴＝.10．如图，已知四边形ABCD是平行四边形，O是两条对角线的交点，设点集M＝{A，B，C，D，O}，向量集合T＝{|P∈M，Q∈M，且P，Q不重合}，求集合T中元素的个数．解：从模和方向两个角度考虑，以下向量是互不相等的向量：，，，，，，，，，，，，其他向量都与它们中的某一个相等，故集合T中有12个元素．1．已知D为▱ABPC两条对角线的交点，则的值为(  )A．B．C．1D．2解析：选C 因为四边形ABPC是平行四边形，D为对角线BC与AP 的交点，所以D为PA的中点，所以的值为1.故选C．2．如图所示，梯形ABCD为等腰梯形，则下列关系正确的是(  )A．＝B．||＝||C．＞D．＜解析：选B ||与||表示等腰梯形两腰的长度，故相等．故选B.3．(2018·福建期末)设向量a0＝，b0＝，则下列结论中正确的是(  )A．a0＝b0B．a0＝－b0C．|a0|＋|b0|＝2D．a0∥b0解析：选C 由题意知a0，b0是单位向量，所以|a0|＝1，|b0|＝1，所以|a0|＋|b0|＝2.故选C．4．如图是3×4的格点图(每个小方格都是单位正方形)，若起点和终点都在方格的顶点处，则与平行且模为的向量共有(  )A．12个B．18个C．24个D．36个解析：选C 由题意，知与平行且模为的向量共有24个．故选C．5．把同一平面内所有模不小于1且不大于2的向量的起点移到同一点O，则这些向量的终点构成的图形的面积等于________．解析：这些向量的终点构成的图形是一个圆环，其面积为π×22－π×12＝3π.答案：3π 6．(2019·北京东城期末)给出下列条件：①a＝b；②|a|＝|b|；③a与b方向相反；④|a|＝0或|b|＝0.其中能使a∥b成立的条件是________(填序号)．解析：若a＝b，则a与b大小相等且方向相同，所以a∥b；若|a|＝|b|，则a与b的大小相等，而方向不确定，因此不一定有a∥b；方向相同或相反的向量都是平行向量，因此若a与b方向相反，则有a∥b；零向量与任意向量平行，所以若|a|＝0或|b|＝0，则a∥b.答案：①③④7．如图，在△ABC中，∠ACB的平分线CD交AB于点D.若的模为2，的模为3，的模为1，则的模为________．解析：如图，延长CD，过点A作BC的平行线交CD的延长线于点E.所以∠BCD＝∠AED，因为CD平分∠ACB，所以∠ACD＝∠BCD，所以∠ACD＝∠AED.所以||＝||.因为∠ADE＝∠BDC，所以△ADE∽△BDC，所以＝＝，故||＝.答案： 8．如图所示的方格纸由若干个边长为1的小正方形组成，方格纸中有两个定点A，B，点C为小正方形的顶点，且||＝.(1)画出所有满足条件的向量；(2)求||的最大值与最小值．解：(1)画出所有的向量如图所示．(2)由(1)所画的图知，①当点C位于点C1或C2时，||取得最小值＝；②当点C位于点C5或C6时，||取得最大值＝.∴||的最大值为，最小值为.