高中数学人教A版必修四（同步练习）第1章 1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质 第1课时

第一章 1.4 1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质第一课时 正弦函数、余弦函数的周期性与奇偶性课时分层训练1．下列函数中，最小正周期为4π的是(  )A．y＝sinx      B．y＝cosxC．y＝sinD．y＝cos2x解析：选C y＝sinx的最小正周期为2π，故A项不符合题意；y＝cosx的最小正周期为2π，故B项不符合题意；y＝sin的最小正周期为T＝4π，故C项符合题意；y＝cos2x的最小正周期为T＝π，故D项不符合题意，故选C．2．函数y＝2cos的最小正周期为4π，则ω等于(  )A．2B．C．±2D．±解析：选D ∵y＝2cos＝2cos，∴T＝＝4π，∴ω＝±，故选D.3．设点P是函数f(x)＝sinωx的图象C的一个对称中点，若点P到图象C的对称轴的距离的最小值是，则f(x)的最小正周期是(  ) A．B．πC．2πD．解析：选A 依题意得＝，所以最小正周期为T＝.故选A．4．定义在R上的函数y＝f(x)，满足f(x＋2)＝－，则(  )A．f(x)不是周期函数B．f(x)是周期函数，且最小正周期为2C．f(x)是周期函数，且最小正周期为4D．f(x)是周期函数，且4是它的一个周期解析：选D f(x＋4)＝－＝f(x)，∴T＝4.5．若函数f(x)＝sin(φ∈[0,2π])是偶函数，则φ等于(  )A．B．C．D．解析：选C 因为f(x)＝sin是偶函数，所以f(0)＝±1.所以sin＝±1.所以＝kπ＋(k∈Z)．所以φ＝3kπ＋(k∈Z)．又因为φ∈[0,2π]所以当k＝0时，φ＝，故选C．6．函数y＝＋2的最小正周期是．解析：∵函数y＝sin2x的最小正周期T＝π. ∴函数y＝＋2的最小正周期为.答案：7．函数y＝的奇偶性为．解析：由题意，当sinx≠1时，y＝＝cosx，所以函数的定义域为，由于定义域不关于原点对称，所以该函数是非奇非偶函数．答案：非奇非偶函数8．函数y＝cos(k＞0)的最小正周期不大于2，则正整数k的最小值应是．解析：由T＝≤2，解得k≥4π.又k∈Z，所以满足题意的k的最小值是13.答案：139．判断下列函数的奇偶性．(1)f(x)＝coscos(π＋x)；(2)f(x)＝＋；(3)f(x)＝(e为自然对数的底数)．解：(1)易得x∈R，定义域关于原点对称．f(x)＝coscos(π＋x)＝－sin2x(－cosx)＝sin2xcosx.∴f(－x)＝sin(－2x)cos(－x)＝－sin2xcosx＝－f(x)．∴该函数是奇函数．(2)对任意x∈R，－1≤sinx≤1，∴1＋sinx≥0,1－sinx≥0.∴f(x)＝＋的定义域为R，关于原点对称．又f(－x)＝＋＝＋＝f(x)， ∴该函数是偶函数．(3)∵esinx－e－sinx≠0，∴sinx≠0，∴x∈R且x≠kπ，k∈Z，∴定义域关于原点对称．又f(－x)＝＝＝－f(x)，∴该函数是奇函数．10．已知函数y＝sinx＋|sinx|.(1)画出函数的简图；(2)这个函数是周期函数吗？如果是，求出它的最小正周期．解：(1)y＝sinx＋|sinx|＝函数图象如图所示．(2)由图象知该函数是周期函数，且函数的最小正周期是2π.1．已知a∈R，函数f(x)＝sinx＋|a|－1，x∈R为奇函数，则实数a等于(  )A．0B．1C．－1D．±1解析：选D 由题意，得f(0)＝0，即|a|－1＝0，所以a＝±1，即当a＝±1时，f(x)＝sinx为R上的奇函数．2．(2018·吉林大学附中期中)函数y＝sin(0≤φ≤π)是R上的偶函数，则φ的值是(  )A．0B．C．D．π 解析：选C ∵y＝sin(0≤φ≤π)是R上的偶函数，故由选项可验证知φ＝.故选C．3．(2018·山东高一月考)函数f(x)＝的奇偶性是(  )A．奇函数B．偶函数C．既是奇函数又是偶函数D．既不是奇函数也不是偶函数解析：选A 因为f(x)的定义域为{x|x≠2kπ＋π，k∈Z}，关于原点对称，又f(－x)＝＝－＝－f(x)，所以函数f(x)为奇函数，故选A．4.下列函数中是奇函数，且最小正周期是π的函数是(  )A．y＝cos|2x|B．y＝|sinx|C．y＝sinD．y＝cos解析：选D 由条件知A、B、C均为偶函数，D中y＝－sin2x，为奇函数，T＝＝π，故选D.5．(2019·福建泉州高三月考)设函数f(x)＝x3cosx＋1，若f(a)＝11，则f(－a)＝.解析：因为f(a)＝a3cosa＋1＝11，所以a3cosa＝10，所以f(－a)＝－a3cos(－a)＋1＝－a3cosa＋1＝－9.答案：－96．设函数f(x)＝3sin(ω＞0)的最小正周期为.若f＝，则sinα的值为．解析：由题意知：T＝＝，∴ω＝4，∴f(x)＝3sin. f＝3sin＝，即sin＝.∴cosα＝，∴sinα＝±＝±.答案：±7．(2019·四川蓉城名校联盟期末)已知函数f(x)＝2sin－3x＋1，则函数的最小正周期为．解析：函数f(x)＝2sin＋1＝－2sin3x－＋1，函数的最小正周期T＝.答案：8．定义在R上的函数f(x)既是偶函数又是周期函数，若f(x)的最小正周期是π，且当x∈时，f(x)＝sinx.(1)当x∈[－π，0]时，求f(x)的解析式；(2)画出函数f(x)在[－π，π]上的函数简图；(3)当f(x)≥时，求x的取值范围．解：(1)若x∈，则－x∈.因为f(x)是偶函数，所以f(x)＝f(－x)＝sin(－x)＝－sinx.若x∈，则π＋x∈. 因为f(x)是最小正周期为π的周期函数，所以f(x)＝f(π＋x)＝sin(π＋x)＝－sinx，所以x∈[－π，0]时，f(x)＝－sinx.(2)函数f(x)在[－π，π]上的函数简图，如图所示：(3)由x∈[0，π]sinx≥，可得≤x≤，函数周期为π，所以x的取值范围是，k∈Z.