高中数学人教A版必修五（同步练习）第一章 1.2 应用举例 第3课时

第一章 1.2 应用举例 第三课时 三角形中的几何计算课时分层训练1．在△ABC中，若a＝7，b＝3，c＝8，则其面积等于(  )A．12          B．C．28D．6解析：选D 由余弦定理的推论，得cosA＝＝＝，故A＝60°.∴S△ABC＝bcsinA＝×3×8×＝6.故选D.2．已知锐角△ABC的面积为3，BC＝4，CA＝3，则角C的大小为(  )A．75°B．60°C．45°D．30°解析：选B ∵S△ABC＝absinC，即3＝×4×3sinC，∴sinC＝.∵△ABC为锐角三角形，∴C＝60°，故选B.3．在△ABC中，已知(b＋c)∶(a＋c)∶(a＋b)＝4∶5∶6，则sinA∶sinB∶sinC等于(  )A．6∶5∶4B．7∶5∶3C．3∶5∶7D．4∶5∶6解析：选B ∵(b＋c)∶(c＋a)∶(a＋b)＝4∶5∶6，∴＝＝.令＝＝＝k(k>0)，则，解得 ∴sinA∶sinB∶sinC＝a∶b∶c＝7∶5∶3.故选B.4．在△ABC中，内角A、B、C所对的边分别是a，b，c.若c2＝(a－b)2＋6，C＝，则△ABC的面积是(  )A．3B．C.D．3解析：选C 由余弦定理，得c2＝a2＋b2－2abcosC＝a2＋b2－ab＝(a－b)2＋6，∴ab＝6，∴S△ABC＝absinC＝×6×＝.故选C.5．△ABC的两边长分别为2,3，其夹角的余弦值为，则其外接圆半径为(  )A.  B．C.  D．解析：选C 不妨设c＝2，b＝3，则cosA＝，sinA＝.∵a2＝b2＋c2－2bccosA，∴a2＝32＋22－2×3×2×＝9，∴a＝3.∵＝2R，∴R＝＝＝.故选C.6．在△ABC中，若a2－b2＝bc，sinC＝2sinB，则A＝.解析：由sinC＝2sinB，根据正弦定理，得c＝2b，代入a2－b2＝bc，得a2－b2＝6b2，即a2＝7b2.由余弦定理得cosA＝＝＝＝.又∵0°b，∴tanA＝3，tanB＝2，A，B都是锐角．∴sinA＝，cosA＝，sinB＝，cosB＝，sinC＝sin(A＋B)＝sinAcosB＋cosAsinB＝.由正弦定理＝＝，得a＝，b＝.∴S△ABC＝absinC＝×××＝.10．在锐角△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2asinB＝ b.(1)求角A的大小；(2)若a＝6，b＋c＝8，求△ABC的面积．解：(1)由2asinB＝b及正弦定理＝，得sinA＝.因为A是锐角，所以A＝.(2)因为a＝6，cosA＝，所以由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccosA，得b2＋c2－bc＝36.又因为b＋c＝8，所以bc＝.由三角形面积公式得，S＝bcsinA＝××＝.1．已知在△ABC中，三边与面积的关系为S△ABC＝，则cosC的值为(  )A.   B．C.   D．0解析：选C ∵S△ABC＝absinC＝＝，∴tanC＝，C∈(0，π)，∴C＝，∴cosC＝.故选C.2．已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，且(b－c)(sinB＋sinC)＝(a－c)sinA，则角B的大小为  (  ) A．30°B．45°C．60°D．120°解析：选A 由正弦定理，得(b－c)(b＋c)＝a(a－c)，即a2＋c2－b2＝ac，又由余弦定理得，cosB＝＝，∴B＝30°.故选A.3．在△ABC中，有下列关系式：①asinB＝bsinA；②a＝bcosC＋ccosB；③a2＋b2－c2＝2abcosC；④b＝csinA＋asinC.一定成立的有(  )A．1个B．2个C．3个D．4个解析：选C 对于①③，由正弦、余弦定理，知一定成立．对于②，由正弦定理及sinA＝sin(B＋C)＝sinBcosC＋sinCcosB，知显然成立．对于④，利用正弦定理，变形得sinB＝sinCsinA＋sinAsinC＝2sinAsinC，又sinB＝sin(A＋C)＝cosCsinA＋cosAsinC，与上式不一定相等，所以④不一定成立，故选C.4．若△ABC的内角A，B，C满足6sinA＝4sinB＝3sinC，则cosB＝(  )A.B．C.D．解析：选D ∵6sinA＝4sinB＝3sinC，由正弦定理得，∴6a＝4b＝3c，∴b＝a，c＝2a.由余弦定理，得cosB＝＝＝.故选D.5．在△ABC中，BC＝3，AB＝2，且＝(＋1)，则A＝.解析：由题意得a＝3，c＝2，且由正弦定理，得＝(＋1)＝， ∴b＝＝－1，∴cosA＝＝－，∴A＝120°.答案：120°6．在△ABC中，BC＝8，AC＝5，且S△ABC＝12，则cos2C＝.解析：因为S△ABC＝AC·BCsinC＝20sinC＝12，则sinC＝，所以cos2C＝1－2sin2C＝1－2×2＝.答案：7．已知三角形两边长分别为1和，第三边上的中线长为1，则三角形的外接圆半径为．解析：如图，AB＝1，BD＝1，BC＝，设AD＝DC＝x，在△ABD中，cos∠ADB＝＝，在△BDC中，cos∠BDC＝＝，∵∠ADB与∠BDC互补，∴cos∠ADB＝－cos∠BDC，∴＝－，∴x＝1，∴∠A＝60°，由＝2R，得R＝1.答案：1 8．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且＋＝.(1)证明：sinAsinB＝sinC；(2)若b2＋c2－a2＝bc，求tanB．解：(1)证明：根据正弦定理，可设＝＝＝k(k>0)．则a＝ksinA，b＝ksinB，c＝ksinC.代入＋＝中，有＋＝，变形可得sinAsinB＝sinAcosB＋cosAsinB＝sin(A＋B)．在△ABC中，由A＋B＋C＝π，有sin(A＋B)＝sin(π－C)＝sinC，所以sinAsinB＝sinC.(2)由已知，b2＋c2－a2＝bc，根据余弦定理，有cosA＝＝.所以sinA＝＝.由(1)知，sinAsinB＝sinAcosB＋cosAsinB，所以sinB＝cosB＋sinB，故tanB＝＝4.