高中数学人教A版必修五（同步练习）章末质量检测卷(一)

章末质量检测卷(一)(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题(本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．在△ABC中，下列式子与的值相等的是(  )A.         B．C.D．解析：选C 由正弦定理得＝，所以＝.故选C.2．已知△ABC中，c＝6，a＝4，B＝120°，则b等于(  )A．76B．2C．27D．2解析：选B 由余弦定理，得b2＝a2＋c2－2accosB＝76，所以b＝2.故选B.3．在△ABC中，已知b＝40，c＝20，C＝60°，则此三角形的解的情况是(  )A．有一解B．有两解C．无解D．有解但解的个数不确定解析：选C 由正弦定理得＝，∴sinB＝＝＝>1.∴B不存在，即满足条件的三角形不存在．故选C.4．在△ABC中，a＝15，b＝20，A＝30°，则cosB＝(  )A．±B． C．－D．解析：选A 因为＝，所以＝，解得sinB＝.因为b>a，所以B>A，故B有两解，所以cosB＝±.故选A.5．若＝＝，则△ABC是(  )A．等边三角形B．有一内角是30°的直角三角形C．等腰直角三角形D．有一内角是30°的等腰三角形解析：选C ∵＝，∴acosB＝bsinA，∴2RsinAcosB＝2RsinBsinA.又2RsinA≠0，∴cosB＝sinB，∴B＝45°.同理C＝45°，故A＝90°.故选C.6．已知圆的半径为4，a，b，c为该圆的内接三角形的三边，若abc＝16，则三角形的面积为(  )A．2B．8C.D．解析：选C ∵＝＝＝2R＝8，∴sinC＝，∴S△ABC＝absinC＝＝＝.故选C.7．在△ABC中，三边长分别为a－2，a，a＋2，最大角的正弦值为，则这个三角形的面积为(  )A.B． C.D．解析：选B ∵三边不等，∴最大角大于60°.设最大角为α，故α所对的边长为a＋2，∵sinα＝，∴α＝120°.由余弦定理得(a＋2)2＝(a－2)2＋a2＋a(a－2)，即a2＝5a，故a＝5，故三边长为3,5,7，∴S△ABC＝×3×5×sin120°＝.故选B.8．在△ABC中，若acos2＋ccos2＝b，那么a，b，c的关系是(  )A．a＋b＝2cB．a＋c＝2bC．b＋c＝2aD．a＝b＝c解析：选B 由题意，得cos2＝，cos2＝，代入已知等式，得a＋c＋acosC＋ccosA＝3b，∴a＋c＋a·＋c·＝3b，整理得a＋c＝2b.故选B.9．有一长为1km的斜坡，它的倾斜角为20°，现高不变，将倾斜角改为10°，则斜坡长为(  )A．1kmB．2sin10°kmC．2cos10°kmD．cos20°km解析：选C 如图所示，∵∠ABC＝20°，AB＝1km，∠ADC＝10°，∴∠ABD＝160°.在△ABD中，由正弦定理＝，∴AD＝AB·＝＝2cos10°(km)．故选C.10．在△ABC中，已知2acosB＝c，sinAsinB(2－cosC)＝sin2＋，则△ABC为(  )A．等边三角形B．等腰直角三角形C．锐角非等边三角形D．钝角三角形 解析：选B 由2acosB＝c⇒2a·＝c⇒a2＝b2，所以a＝b.因为sinAsinB(2－cosC)＝sin2＋，所以2sinAsinB(2－cosC)－2＋1－2sin2＝0，所以2sinAsinB(2－cosC)－2＋cosC＝0，所以(2－cosC)(2sinAsinB－1)＝0，因为cosC≠2，所以sinAsinB＝，因为a＝b，所以sin2A＝，所以A＝B＝，所以△ABC是等腰直角三角形，故选B.11．如图，海平面上的甲船位于中心O的南偏西30°，与O相距15海里的C处．现甲船以35海里/小时的速度沿直线CB去营救位于中心O正东方向25海里的B处的乙船，则甲船到达B处需要的时间为(  )A.小时 B．1小时C.小时 D．2小时解析：选B 在△OBC中，由余弦定理，得CB2＝CO2＋OB2－2CO·OBcos120°＝152＋252＋15×25＝352，因此CB＝35，＝1(小时)，因此甲船到达B处需要的时间为1小时．故选B.12．空中有一气球，在它的正西方A点测得它的仰角为45°，同时在它南偏东60°的B点，测得它的仰角为30°，若A，B两点间的距离为266米，这两个观测点均离地1米，那么测量时气球到地面的距离是(  )A.米B．米C．266米D．266米 解析：选B如图，D为气球C在过AB且与地面平行的平面上的正投影，设CD＝x米，依题意知，∠CAD＝45°，∠CBD＝30°，则AD＝x米，BD＝米．在△ABD中，由余弦定理得AB2＝AD2＋BD2－2AD·BD·cos∠ADB，即2662＝x2＋(x)2－2x·(x)·cos150°＝7x2，解得x＝，故测量时气球到地面的距离是米．故选B.二、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)13．在△ABC中，已知cosA＝，cosB＝，b＝3，则c＝.解析：在△ABC中，∵cosA＝>0，∴sinA＝.∵cosB＝>0，∴sinB＝.∴sinC＝sin[π－(A＋B)]＝sin(A＋B)＝sinAcosB＋cosAsinB＝×＋×＝.由正弦定理知＝，∴c＝＝＝.答案：14．某人从A处出发，沿北偏东60°行走3km到B处，再沿正东方向行走2km到C处，则A，C两地的距离为km.解析：如图所示，由题意可知AB＝3，BC＝2，∠ABC＝150°.由余弦定理，得AC2＝27＋4－2×3×2×cos150°＝49，AC＝7. 则A，C两地的距离为7km.答案：715．已知△ABC的面积S＝，A＝，则·＝.解析：S△ABC＝·|AB|·|AC|·sinA，即＝·|AB|·|AC|·，所以|AB|·|AC|＝4，于是·＝||·||·cosA＝4×＝2.答案：216．在△ABC中，c＝，b＝1，B＝30°，则△ABC的面积为．解析：根据正弦定理，得sinC＝＝sin30°＝.∵c>b，∴C>B，∴C＝60°或120°.当C＝60°时，A＝180°－(B＋C)＝180°－(30°＋60°)＝90°，∴△ABC的面积S＝bcsinA＝；当C＝120°时，A＝180°－(30°＋120°)＝30°，∴△ABC的面积S＝bcsinA＝×1×sin30°＝.答案：或三、解答题(本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(10分)在△ABC中，求证：b2cos2A－a2cos2B＝b2－a2.证明：∵左边＝b2(1－2sin2A)－a2(1－2sin2B)＝b2－a2－2(b2sin2A－a2sin2B)，由正弦定理＝，得bsinA＝asinB， ∴b2sin2A－a2sin2B＝0，∴左边＝b2－a2＝右边，∴b2cos2A－a2cos2B＝b2－a2.18．(12分)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，并且2sin2＝sinC＋＋1.(1)求角C的大小；(2)若a＝2，c＝2，求b.解：(1)∵2sin2－(sinC＋＋1)＝0，∴2cos2－(sinC＋＋1)＝0.即2·－(sinC＋＋1)＝0，即cosC－sinC＝1，cos＝.∵C为△ABC的内角，∴0c，所以C为锐角，因此cosC＝＝＝.于是cos(B－C)＝cosBcosC＋sinBsinC＝×＋×＝.22．(12分)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.已知A＝，b2－a2＝c2.(1)求tanC的值；(2)若△ABC的面积为3，求b的值．解：(1)由b2－a2＝c2及正弦定理得sin2B－＝sin2C，所以－cos2B＝sin2C.①又由A＝，即B＋C＝，得 －cos2B＝－cos2＝－cos＝sin2C＝2sinCcosC，②由①②解得tanC＝2.(2)由tanC＝2，C∈(0，π)，得sinC＝，cosC＝.因为sinB＝sin(A＋C)＝sin＝sincosC＋cossinC，所以sinB＝.由正弦定理得c＝，又因为A＝，由S△ABC＝bcsinA＝3，所以bc＝6，故b＝3.