高中数学人教A版必修五（同步练习）第二章 2.1 数列的概念与简单表示法 第2课时

第二章　2.1　数列的概念与简单表示法　第二课时　数列的递推公式与通项公式课时分层训练1．已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝2an＋1，则a5等于(　　)A．15　　　B．16　　　　C．31　　　D．32解析：选C　∵数列{an}满足a1＝1，an＋1＝2an＋1，∴a2＝2×1＋1＝3，a3＝2×3＋1＝7，a4＝2×7＋1＝15，a5＝2×15＋1＝31.故选C.2．已知数列{an}满足a1＝x，a2＝y，且an＋1＝an－an－1(n≥2)，则a2007＝(　　)A．xB．yC．y－xD．－x解析：选C　根据递推关系可得，x，y，y－x，－x，－y，x－y，这6个数值重复出现a2007＝a334×6＋3＝a3.故选C.3．设a∈R，数列{(n－a)2}，(n∈N＋)是递增数列，则a的取值范围是(　　)A．(－∞，0)B．(－∞，1)C．(－∞，1]D．解析：选D　(n＋1－a)2>(n－a)2(n∈N＋)恒成立，整理得a0，∴an＋an＋1>0，∴(n＋2)an＋1－nan＝0，∴＝，∴an＝a1·····…·＝1×××××…××＝(n≥2)．又a1＝1满足上式，∴an＝.1．已知数列{an}满足a1＝0，an＋1＝(n∈N＋)，则a20＝(　　)A．0B．－C.D．解析：选B　由a1＝0，可求a2＝＝－，a3＝＝，a4＝＝0，…，可知周期为3，所以a20＝a2＝－.故选B.2．在数列{an}中，a1＝2，an＋1－an－3＝0，则{an}的通项公式为(　　)A．an＝3n＋2B．an＝3n－2C．an＝3n－1D．an＝3n＋1解析：选C　因为a1＝2，an＋1－an－3＝0，所以an－an－1＝3，an－1－an－2＝3， an－2－an－3＝3，…a2－a1＝3，以上各式相加，则有an－a1＝(n－1)×3，所以an＝2＋3(n－1)＝3n－1.故选C.3．已知数列{an}满足an＋1＝若a1＝，则a2016的值为(　　)A.　　　B．C.　　　D．解析：选C　计算得a2＝，a3＝，a4＝，故数列{an}是以3为周期的周期数列，又因为2016＝672×3，所以a2016＝a3＝.故选C.4．观察下图，并阅读图形下面的文字，像这样10条直线相交，交点的个数最多是(　　)A．40个B．45个C．50个D．55个解析：选B　交点个数依次组成数列为1,3,6，即，，，由此猜想an＝，∴a9＝＝45.故选B.5．设an＝－n2＋10n＋11，数列{an}从首项到第m项的和最大，则m的值是．解析：令an＝－n2＋10n＋11≥0，则00，a2>0，…，a10>0，a11＝0. ∴m＝10或11.答案：10或116．已知数列{an}满足a1＝，an＋1＝an，得an＝.解析：由条件知＝，分别令n＝1,2,3，…，n－1，代入上式得n－1个等式，即···…·＝×××…×⇒＝.又∵a1＝，∴an＝.答案：7．如果数列{an}为递增数列，且an＝n2＋λn(n∈N*)，则实数λ的取值范围为．解析：因为{an}为递增数列，所以an＋1>an.即(n＋1)2＋λ(n＋1)>n2＋λn恒成立．∴λ>－2n－1.即λ>－3，故实数λ>－3.答案：(－3，＋∞)8．一老汉为感激梁山好汉除暴安良，带了些千里马要送给梁山好汉，见过宋江后，宋江把老汉带来的马匹的一半和另外一匹马作为回礼送给了他，老汉又去见卢俊义，把现有剩马的一半送给卢俊义，卢俊义也把老汉送的马匹的一半和另一匹马作为回礼送给老汉…一直送到108名好汉的最后一名都是这样的，老汉下山回家时还剩两匹马，你知道老汉上山时一共带了多少匹千里马吗？解：设老汉上山一共带了a1匹千里马，送给宋江后还剩a2匹，则a2＝a1＋1，再送给卢俊义后还剩下a3匹，则a3＝a2＋1.依次地进行下去，送给第k个人后还剩下ak＋1＝ak＋1，按照题目要求应有a109＝a108＋1＝2.∵a109＝2，∴a108＝2.依次代入递推关系可得a1＝a2＝a3＝…＝2.即老汉最初上山带了两匹千里马．