高中数学人教A版必修五（同步练习）第二章 2.3 平面向量的基本定理及坐标表示 第1课时

第二章 2.3 等差数列的前n项和 第一课时 等差数列前n项和的基本问题课时分层训练1．在数列{an}中，若a1＝－2，且对任意的n∈N*，有2an＋1＝1＋2an，则数列{an}前10项的和为(  )A．2          B．10C.D．解析：选C 由2an＋1＝1＋2an，可得an＋1－an＝，即数列{an}是以－2为首项，为公差的等差数列，则an＝，故a10＝，所以数列{an}的前10项的和S10＝＝.故选C.2．(2019·岳阳模拟)在等差数列{an}中，如果a1＋a2＝40，a3＋a4＝60，那么a7＋a8＝(  )A．95B．100C．135D．80解析：选B 由等差数列的性质可知，a1＋a2，a3＋a4，a5＋a6，a7＋a8构成新的等差数列，于是a7＋a8＝(a1＋a2)＋(4－1)[(a3＋a4)－(a1＋a2)]＝40＋3×20＝100.故选B.3．在等差数列{an}中，a2＋a3＋a4＝3，Sn为等差数列{an}的前n项和，则S5＝(  ) A．3B．4C．5D．6解析：选C ∵a2＋a3＋a4＝3a3＝3，解得a3＝1，∴S5＝(a1＋a5)＝5a3＝5.故选C.4．设等差数列{an}的前n项和为Sn，且S9＝18，an－4＝30(n>9)，若Sn＝336，则n的值为(  )A．18B．19C．20D．21解析：选D 因为{an}是等差数列，所以S9＝9a5＝18，a5＝2，Sn＝＝＝×32＝16n＝336，解得n＝21.故选D.5．设数列{an}是公差为d(d>0)的等差数列，若a1＋a2＋a3＝15，a1a2a3＝80，则a21＋a22＋a23＝(  )A．75B．105C．195D．120解析：选C 由a1＋a2＋a3＝15，得3a2＝15，解得a2＝5，由a1a2a3＝80，得(a2－d)a2(a2＋d)＝80，将a2＝5代入，得d＝3(d＝－3舍去)，从而a21＋a22＋a23＝3a22＝3(a2＋20d)＝3×(5＋60)＝195.故选C.6．等差数列{an}的前n项和为Sn，若a2＝1，a3＝3，则S4＝.解析：∵a2＋a3＝a1＋a4＝4，∴S4＝＝8.答案：87．设等差数列{an}的前n项和为Sn，且Sm＝－2，Sm＋1＝0，Sm＋2＝3，则m＝.解析：因为Sn是等差数列{an}的前n项和，所以数列是等差数列，所以＋＝，即＋＝0，解得m＝4.答案：4 8．为了参加运动会的5000m长跑比赛，李强给自己制定了10天的训练计划：第1天跑5000m，以后每天比前一天多跑400m．李强10天将要跑m.解析：由题意可知，李强每天跑的距离数构成一个等差数列，把李强第1天跑的距离记为a1＝5000，且公差为d＝400，则李强10天跑的距离为该等差数列的前10项和．由S10＝10a1＋d＝10×5000＋×400＝68000.所以，李强10天将跑68000m.答案：680009．已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足log2(Sn＋1)＝n＋1，求数列{an}的通项公式．解：由已知条件，可得Sn＋1＝2n＋1，则Sn＝2n＋1－1.当n＝1时，a1＝S1＝3，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(2n＋1－1)－(2n－1)＝2n，又当n＝1时，3≠21，故an＝10．已知等差数列{an}的前n项和记为Sn，a5＝15，a10＝25.(1)求通项an；(2)若Sn＝112，求n.解：(1)设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，∵a5＝15，∴a1＋4d＝15.①∵a10＝25，∴a1＋9d＝25.②由①②得，a1＝7，d＝2.∴an＝7＋(n－1)×2＝2n＋5.(2)∵Sn＝112，∴7n＋n(n－1)×2＝112.即n2＋6n－112＝0，解得n＝8或n＝－14(舍去)，故n＝8. 1．(2019·大同模拟)在等差数列{an}中，a1＋a2＋a3＝3，a18＋a19＋a20＝87，则此数列前20项的和等于(  )A．290B．300C．580D．600解析：选B 由a1＋a2＋a3＝3a2＝3，得a2＝1.由a18＋a19＋a20＝3a19＝87，得a19＝29，所以S20＝＝10(a2＋a19)＝300.故选B.2．正项等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a4＋a10－a＋15＝0，则S13＝(  )A．－39B．5C．39D．65解析：选D ∵正项等差数列{an}的前n项和为Sn，a4＋a10－a＋15＝0，∴a－2a7－15＝0，解得a7＝5或a7＝－3(舍去)，∴S13＝(a1＋a13)＝13a7＝13×5＝65.故选D.3．(2017·全国卷Ⅰ)记Sn为等差数列{an}的前n项和．若a4＋a5＝24，S6＝48，则{an}的公差为(  )A．1B．2C．4D．8解析：选C 设等差数列{an}的公差为d，由得即解得d＝4.故选C.4．在等差数列{an}中，Sn是其前n项和，且S2011＝S2014，Sk＝S2009，则正整数k为(  )A．2014B．2015C．2016D．2017解析：选C 因为等差数列的前n项和Sn是关于n 的二次函数，所以由二次函数的对称性及S2011＝S2014，Sk＝S2009，可得＝，解得k＝2016，故选C.5．设Sn为等差数列{an}的前n项和，S4＝14，S10－S7＝30，则S9＝.解析：设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，由题意，得S4＝4a1＋d＝14，①S10－S7＝－＝30，②联立①②解得a1＝2，d＝1，所以S9＝9×2＋×1＝54.答案：546．若两个等差数列{an}和{bn}的前n项和分别是Sn，Tn，已知＝，则＋＝.解析：∵数列{an}和{bn}都是等差数列，∴＋＝＝＝＝＝.答案：7．《九章算术》之后，人们进一步用等差数列求和公式来解决更多的问题，《张丘建算经》卷上第22题为：“今有女善织，日益功疾(注：从第2天起每天比前一天多织相同量的布)，初日织5尺，今一月(按30天计)织九匹三丈(一匹＝40尺，月共织390尺布)”，则从第2天起每天比前一天多织尺布．解析：根据题意，a1＝5，S30＝390，∴S30＝30×5＋d＝390.∴d＝.答案：8．(2019·四川联合诊断)等差数列{an}中，a3＋a4＝4，a5＋a7＝6. (1)求{an}的通项公式；(2)记Sn为{an}的前n项和，若Sm＝12，求m.解：(1)设等差数列{an}的公差为d，∵a3＋a4＝4，a5＋a7＝6，∴解方程可得a1＝1，d＝，∴an＝1＋(n－1)＝.(2)由(1)可知，Sn＝n＋×＝，由Sm＝12，可得＝12，∴m＝6或m＝－10(舍)，故m＝6.