第三章 3.4 基本不等式:≤第二课时 利用基本不等式求最值课时分层训练1.已知f(x)=x+-2(x<1),则f(x)有( )A.最大值为0 B.最小值为0C.最大值为-3D.最小值为-3解析:选C ∵x<1,∴x-1<0,∴f(x)=--1≤-2-1=-3,∴f(x)有最大值-3.故选C.2.函数y=3x2+的最小值是( )A.3-3B.-3C.6D.6-3解析:选D y=3=3x2+1+-1≥3(2-1)=6-3,当且仅当x2+1=时等号成立.3.已知x>0,y>0,x+2y+2xy=8,则x+2y的最小值是( )A.3B.4C.D.解析:选B 依题意得(x+1)(2y+1)=9,(x+1)+(2y+1)≥2=6,即x+2y≥4,当且仅当x+1=2y+1,即x=2,y=1时取等号,故x+2y
的最小值是4.故选B.4.若实数a,b满足+=,则ab的最小值为( )A.B.2C.2D.4解析:选C 因为+=,所以a>0,b>0,由=+≥2=2,得ab≥2(当且仅当b=2a时取等号),所以ab的最小值为2.故选C.5.已知a>0,b>0,a+b=2,则+的最小值是( )A. B.4C. D.5解析:选C ∵a+b=2,∴1=,4=2(a+b).∴+=+=+++2=++≥+2=.故选C.6.若a>0,b>0,且+=,则a3+b3的最小值为.解析:∵a>0,b>0,∴=+≥2,即ab≥2,当且仅当a=b=时取等号,∴a3+b3≥2≥2=4,当且仅当a=b=时取等号,则a3+b3的最小值为4.答案:47.若正实数x,y满足2x+y+6=xy,则xy的最小值是.解析:由基本不等式得xy≥2+6,令=t得不等式t2-2t-6≥0,解得t≤-(舍去)或t≥3,故xy的最小值为18.当且仅当2x=y
=6时等号成立.答案:188.当x>1时,不等式x+≥a恒成立,则实数a的最大值为.解析:x+≥a恒成立⇔min≥a,∵x>1,即x-1>0,∴x+=x-1++1≥2+1=3,当且仅当x-1=,即x=2时,等号成立.∴a≤3,即a的最大值为3.答案:39.已知正常数a,b和正变数x,y,满足a+b=10,+=1,x+y的最小值是18,求a,b的值.解:x+y=(x+y)=a+b++≥a+b+2=(+)2,∴(+)2=18,又∵a+b=10,∴a=2,b=8或a=8,b=2.10.已知x>0,y>0,且x+8y-xy=0.(1)当x,y分别为何值时,xy取得最小值?(2)当x,y分别为何值时,x+y取得最小值?解:(1)∵x>0,y>0,且x+8y-xy=0,∴xy=x+8y≥4,当且仅当x=8y,即x=16,y=2时取等号,∴xy≥32.∴xy的最小值为32.(2)∵x+8y-xy=0,∴+=1,
∴x+y=(x+y)=9++≥9+4,当且仅当=,即y=1+2,x=8+2时取等号.因此x+y的最小值为9+4.1.y=(-6≤a≤3)的最大值为( )A.9 B.C.3 D.解析:选B 解法一:因为-6≤a≤3,所以3-a≥0,a+6≥0,则由基本不等式可知,≤=,当且仅当a=-时等号成立.解法二:=≤,当且仅当a=-时等号成立.故选B.2.已知x,y为正实数,则+的最小值为( )A.B.C.D.3解析:选D 由题意得x>0,y>0,+=+-1≥2-1=4-1=3(当且仅当x=3y时等号成立).故选D.3.已知x>0,y>0,且x+y=8,则(1+x)(1+y)的最大值为( )A.16B.25C.9D.36解析:选B 因为(1+x)(1+y)≤2=2=2
=25,当且仅当1+x=1+y,即x=y=4时,等号成立,所以(1+x)(1+y)的最大值为25,故选B.4.已知x>0,y>0,lg2x+lg8y=lg2,则+的最小值为( )A.2B.2C.4D.2解析:选C 由lg2x+lg8y=lg2,得2x·8y=2,即2x+3y=21,∴x+3y=1,∴+=(x+3y)=1+++1≥2+2=2+2=4.当且仅当=,即x=,y=时等号成立.故选C.5.设a>0,b>0,若3是3a和3b的等比中项,则+的最小值为.解析:因为3a·3b=9,所以a+b=2,所以+=(a+b)=1+≥1+×2=2,当且仅当=,即a=b=1时“=”成立.答案:26.已知不等式(x+y)≥9对任意正实数x,y恒成立,则正实数a的值为.解析:∵a>0,∴(x+y)=1+a++≥1+a+2,由条件知a+2+1=9,∴a=4.答案:47.若实数x,y满足x2+y2+xy=1,则x+y的最大值是.解析:x2+y2+xy=(x+y)2-xy=1,
∴(x+y)2=xy+1≤2+1.∴(x+y)2≤1.∴x+y≤,当且仅当x=y=时等号成立.答案:8.某工地决定建造一批房型为长方体、房高为2.5m的简易房,房的前后墙用2.5m高的彩色钢板,两侧墙用2.5m高的复合钢板.两种钢板的价格都用长度来计算(即:钢板的高均为2.5m.用钢板的长度乘以单价就是这块钢板的价格).已知彩色钢板每米单价为450元.复合钢板每米单价为200元,房的地面不需另买材料,房顶用其他材料建造,每平方米材料费200元,每套房的材料费控制在32000元以内.(1)设房前面墙的长为x(m),两侧墙的长为y(m),建造一套房所需材料费为P(元),试用x,y表示P;(2)试求一套简易房面积S的最大值是多少?当S最大时,前面墙的长度应设计为多少米?解:(1)依题意,P=2x×450+2y×200+xy×200=900x+400y+200xy,即P=900x+400y+200xy.(2)∵S=xy,∴P=900x+400y+200xy≥2+200S=200S+1200,又因为P≤32000,所以200S+1200≤32000,解得0