高中数学人教A版选修1-1（同步练习）第2章 2.1.2 椭圆的简单几何性质 第二课时

第二章 圆锥曲线与方程2.1 椭 圆2.1.2 椭圆的简单几何性质第二课时 椭圆方程及几何性质的应用课时跟踪检测一、选择题1．直线l：kx－y－k＝0与椭圆＋＝1的位置关系是(  )A．相交B．相离C．相切D．不确定解析：∵直线l：kx－y－k＝0恒过定点(1,0)，又点(1,0)在椭圆＋＝1的内部，∴直线l与椭圆相交．答案：A2．若直线mx＋ny＝4和圆O：x2＋y2＝4没有公共点，则过点P(m，n)的直线与椭圆＋＝1的交点个数为(  )A．0个B．1个C．2个D．至多1个解析：根据题意，得>2，即b>0)的离心率为，且过点，它的左右顶点分别为A，B，若P点在椭圆上且PA斜率的取值范围是[－2，－1]则直线PB的斜率的取值范围是(  )A.B． C.D．解析：由题可得解得∴椭圆C的标准方程为＋＝1，∴A(－2,0)，B(2,0)，设P(x，y)，∴kPA·kPB＝·＝＝＝－，∴kPB＝－，∵kPA∈[－2，－1]∴kPB∈，故选B.答案：B4．(2019·成都期末调研)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左焦点为F，过点F的直线x－y＋＝0与椭圆C相交于不同的两点A，B，若P为线段AB的中点，O为坐标原点，直线OP的斜率为－，则椭圆C的方程为(  )A.＋＝1B．＋＝1C.＋＝1D．＋＝1解析：∵直线x－y＋＝0与x轴的交点为(－，0)，∴F(－，0)，即c＝，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(x0，y0)，则∴由①－②得，＋＝0，∴＝－，∴·＝－， ∴kAB·＝－，∴＝，∴a2＝2b2，又a2－b2＝3，∴a2＝6，b2＝3，∴椭圆C的方程为＋＝1.故选D.答案：D5．(2019·蕉岭期中)已知F1，F2分别是椭圆D：＋＝1(a>b>0)的左右两个焦点，若在D上存在点P使∠F1PF2＝90°，且满足2∠PF1F2＝∠PF2F1，则＝(  )A．2＋3B．2－3C.＋1D．－1解析：∵在△F1PF2中，∠F1PF2＝90°，2∠PF1F2＝∠PF2F1，∴∠PF1F2＝30°，∠PF2F1＝60°，∴|PF2|＝|F1F2|sin30°＝c，|PF1|＝c，∴2a＝c＋c＝(＋1)，两边平方得，＝2－3，故选B.答案：B6．已知椭圆C：＋＝1，A，B分别为椭圆C的长轴、短轴的顶点，则椭圆C上到直线AB的距离等于的点的个数有(  )A．1B．2C．3D．4解析：依题意，不妨设A(4,0)，B(0,3)，则直线AB：＋＝1，即3x＋4y－12＝0.与直线AB平行且与直线AB的距离等于的直线方程为3x＋4y＝0和3x＋4y－24＝0.结合图形可知，直线3x＋4y＝0与椭圆C有两个交点．而直线3x＋4y －24＝0与椭圆C相离，因此在椭圆C上到直线AB的距离等于的点的个数为2.答案：B二、填空题7．F1，F2是椭圆C：＋＝1的左、右焦点，在C上满足PF1⊥PF2的点P的个数为________．解析：设P(x，y)，又F1(－2,0)，F2(2,0)，∴＝(－2－x，－y)，＝(2－x，－y)，∵PF1⊥PF2，∴·＝(－2－x)(2－x)＋(－y)(－y)＝0.即x2＋y2－4＝0.又y2＝4，∴x2＋4－4＝0，∴x＝0.这时点P为椭圆C的两顶点(0，－2)，(0,2)．答案：28．椭圆mx2＋ny2＝1与直线y＝1－x交于M，N两点，原点O与线段MN的中点P连线的斜率为，则的值是________．解析：由消去y，得(m＋n)x2－2nx＋n－1＝0.设M(x1，y1)，N(x2，y2)．则x1＋x2＝，∴MN的中点P的坐标为，∴kOP＝＝.答案：9．(2019·镇江月考)如图，已知椭圆＋＝1(a>b>0)的左焦点为F，左顶点为A，点B为椭圆第一象限内的点，直线OB交椭圆于另一点C，若直线BF 平分线段AC，则椭圆的离心率为________．解析：设B(x0，y0)，C(－x0，－y0)，由题可知，D为AC的中点，A(－a,0)，F(－c,0)，则D，∵B、F、D三点共线，∴kBF＝kDF，即＝，化简得a＝3c，∴e＝.答案：三、解答题10．设动直线l垂直于x轴，且与椭圆x2＋2y2＝4交于A，B两点，P是l上满足·＝－1的点．(1)求动点P的轨迹方程；(2)设点C(－2,0)，若过点C的直线与动点P的轨迹恰有一个公共点，求该直线的斜率．解：(1)设P(x，y)，A(x，y1)，B(x，－y1)，则＝(0，y1－y)，＝(0，－y1－y)．∵·＝－1，∴y2－y＝－1，∴y＝y2＋1.①又点A在椭圆上，∴x2＋2y＝4.② 由①②得x2＋2(y2＋1)＝4.因此，点P的轨迹方程是＋y2＝1.(2)由题意可设直线的方程为y＝k(x＋2)，由消去y得(1＋2k2)x2＋8k2x＋8k2－2＝0.由Δ＝0得(8k2)2－4(1＋2k2)(8k2－2)＝0，∴k＝±，则直线的斜率为±.11．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的短轴长为2，离心率为，圆E的圆心(x0，y0)在椭圆C上，半径为2，直线y＝k1x与直线y＝k2x为圆E的两条切线．(1)求椭圆C的标准方程；(2)试问：k1·k2是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由．解：(1)由2b＝2，得b＝，∵e＝＝，∴＝，∵a2＝b2＋c2，∴＝，解得a2＝20，∴椭圆C的标准方程为＋＝1.(2)因为直线y＝k1x与圆E：(x－x0)2＋(y－y0)2＝4相切，∴＝2，整理得(x－4)k－2x0y0k1＋y－4＝0；同理可得(x－4)k－2x0y0k2＋y－4＝0，所以k1，k2为方程(x－4)x2－2x0y0x＋y－4＝0的两个根， ∴k1·k2＝，又∵E(x0，y0)在椭圆C：＋＝1上，∴y＝5，∴k1·k2＝＝＝－，故k1·k2是定值，且为－.12．(2019·杭高期末)已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，并且经过点，离心率为.(1)求椭圆C的标准方程；(2)若A，B是椭圆C上两点，且|AB|＝，求△AOB面积的最大值．解：(1)设椭圆的方程为＋＝1(a>b>0)，由e＝设a＝3n，c＝n，b＝n，故椭圆方程为＋＝1，将点代入得n2＝，故椭圆C的标准方程为＋y2＝1. (2)当AB的斜率不存在时，A，B或A－，，B，此时S△OAB＝××＝；当AB的斜率存在时，设AB：y＝kx＋m，由消去y得(1＋3k2)x2＋6kmx＋3m2－3＝0，所以|AB|＝×＝×，由|AB|＝得×＝，化简得到m2＝.设O到直线AB的距离为d， 则d2＝＝，令t＝k2＋1∈[1，＋∞)，则d2＝，令s＝∈(0,1]则d2＝－s2＋s＋＝－2＋1≤1，当且仅当s＝等号成立，故S△OAB的最大值为×1×＝，又>，故S△OAB的最大值为.13．(2018·天津卷)设椭圆＋＝1(a>b>0)的右顶点为A，上顶点为B.已知椭圆的离心率为，|AB|＝.(1)求椭圆的方程；(2)设直线l：y＝kx(kx1>0，点Q的坐标为(－x1，－y1)，由△BPM的面积是△BPQ面积的2倍，可得|PM|＝2|PQ|，从而x2－x1＝2[x1－(－x1)]即x2＝5x1.易知直线AB的方程为2x＋3y＝6，由方程组消去y，可得x2＝ .由方程组消去y，可得x1＝.由x2＝5x1，可得＝5(3k＋2)，两边平方，整理得18k2＋25k＋8＝0，解得k＝－或k＝－，当k＝－时，x2＝－9