高中数学人教A版选修1-1（同步练习）第2章 2.3.2 抛物线的简单几何性质

第二章 圆锥曲线与方程2.3 抛物线2.3.2 抛物线的简单几何性质课时跟踪检测一、选择题1．过点(2,4)作与抛物线y2＝8x只有一个公共点的直线有(  )A．1条B．2条C．3条D．4条解析：∵点(2,4)在抛物线上，∴与抛物线只有一个公共点的直线有2条，即一条与抛物线相切，另一条与对称轴平行．故选B.答案：B2．已知点A(－2,3)在抛物线C：y2＝2px的准线上，记C的焦点为F，则直线AF的斜率为(  )A．－B．－1C．－D．－解析：∵A(－2,3)在y2＝2px的准线x＝－上，∴－＝－2，∴p＝4.∴y2＝2px的焦点F(2,0)，∴kAF＝＝－.故选C.答案：C3．(2019·衡水月考)已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，点P在抛物线C上，以PF为半径的圆P与y轴交于A，B两点，O为坐标原点，若＝7，则圆P的半径r＝(  ) A．2B．3C．4D．5解析：设P(a，b)，则4a＝b2，F(1,0)，r＝|PF|＝a＋1，则圆P的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝(a＋1)2，令x＝0，则y2－2by＋b2－2a－1＝0，∴y1y2＝b2－2a－1，y1＋y2＝2b.设A(0，y1)，B(0，y2)，∵＝7，∴y2＝7y1.又y1＋y2＝2b，y1y2＝b2－2a－1，∴y1＝，y2＝，∴∴a＝4，∴r＝5，故选D.答案：D4．(2019·甘谷一中期中)过抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点F的直线交抛物线C于A，B两点．若|AF|＝6，|BF|＝3，则p的值为(  )A．2B．4C．8D．4解析：如图所示，A，B在准线l上的射影分别为A′，B′.作BN⊥AA′于N，则|AF|＝|AA′|＝6，|BF|＝|BB′|＝3，∴|AN|＝|AA′|－|BB′|＝3，∴cos∠NAB＝，∴tan∠NAB＝2，∴kAB＝2，设AB的方程为y＝2，A(x1，y1)，B(x2，y2)， 由得4x2－5px＋p2＝0，∴x1＋x2＝，∴|AB|＝x1＋x2＋p＝＋p＝＝9，∴p＝4.故选B.答案：B5．设直线l与抛物线y2＝4x相交于A，B两点，与圆(x－5)2＋y2＝r2(r>0)相切于点M，且M为线段AB的中点，若这样的直线l恰有4条，则r的取值范围是(  )A．(1,3)B．(1,4)C．(2,3)D．(2,4)解析：当直线l的斜率不存在且00，且x1＋x2＝.所以|AB|＝|AF|＋|BF|＝(x1＋1)＋(x2＋1)＝.由题设知＝8，解得k＝－1(舍去)，k＝1.因此直线l的方程为y＝x－1.(2)由(1)得AB的中点坐标为(3,2)，所以AB的垂直平分线方程为y－2＝－(x－3)，即y＝－x＋5.设所求圆的圆心坐标为(x0，y0)，则解得或若圆心为(3,2)，则AB为直径，∴半径为4，圆的方程为(x－3)2＋(y－2)2＝16，若圆心为(11，－6)，则圆的半径r2＝2＋42＝144， ∴圆的方程为(x－11)2＋(y＋6)2＝144.因此所求圆的方程为(x－3)2＋(y－2)2＝16或(x－11)2＋(y＋6)2＝144.