高中数学人教A版选修1-1（同步练习）第2章 2.2.2 双曲线的简单几何性质

第二章 圆锥曲线与方程2.2 双曲线2.2.2 双曲线的简单几何性质课时跟踪检测一、选择题1．(2019·三明期末)双曲线C：－＝1的实轴顶点到渐近线的距离为(  )A．3B．4C.D．解析：双曲线C：－＝1的一个顶点为(4,0)，其中一条渐近线为y＝x，∴点(4,0)到直线y＝x的距离d＝＝，故选C.答案：C2．设双曲线的一个焦点为F，虚轴的一个顶点为B，如果直线FB与该双曲线的一条渐近线垂直，那么双曲线的离心率为(  )A.B．C.D．解析：不妨设双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)，则F(c,0)，B(0，b)，一条渐近线方程为y＝x，直线FB的斜率为－，根据题意得＝－1，即b2＝ac，即c2－a2＝ac，∴e2－e－1＝0，解得e＝，又e>1，∴e＝.答案：D 3．(2019·保定月考)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的离心率e∈，则其经过第一、三象限的渐近线的倾斜角的取值范围是(  )A.B．C.D．解析：双曲线－＝1的一条渐近线方程为y＝x，∵e＝＝＝，且e∈，∴≤1＋≤4，∴≤≤3，∴≤≤.∴渐近线的倾斜角的范围为，故选B.答案：B4．已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线方程为y＝x，且与椭圆＋＝1有公共焦点，则C的方程为(  )A.－＝1B．－＝1C.－＝1D．－＝1解析：由题可得∴∴双曲线C的方程为－＝1，故选B.答案：B 5．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)，若过右焦点F且倾斜角为30°的直线与双曲线的右支有两个交点，则此双曲线离心率的取值范围是(  )A．(1,2),B．C．[2，＋∞)D．解析：由题意知，过右焦点F且倾斜角为30°的直线与双曲线右支有两个交点，需满足0)的离心率为，实轴长为2.(1)求双曲线的方程及其渐近线的方程；(2)若直线y＝x＋m被双曲线C截得的弦长为4，求m的值．解：(1)∵离心率为，实轴长为2，∴＝，2a＝2，解得a＝1，c＝，∴b2＝c2－a2＝2，∴所求双曲线C的方程为x2－＝1，渐近线方程为y＝±x.(2)设直线与双曲线的交点为A，B，A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立消去y，得x2－2mx－m2－2＝0，∴Δ＝4m2＋4(m2＋2)＝8m2＋8>0. ∴x1＋x2＝2m，x1x2＝－m2－2.∴|AB|＝＝＝4，化简得m2＝1，解得m＝±1.12．过双曲线－＝1(a>0，b>0)的右焦点F作双曲线的斜率大于0的渐近线的垂线l，垂足为P，设l与双曲线的左、右支相交于A，B两点．(1)求证：点P在直线x＝上；(2)求双曲线的离心率e的取值范围．解：(1)证明：设右焦点为F(c,0)，斜率大于0的渐近线为y＝x，则l的方程为y＝－(x－c)．由得P，故点P在直线x＝上．(2)由得(a4－b4)x2－2a4cx＋a2(a2c2＋b4)＝0，设A，B两点的横坐标分别为x1，x2，∵A，B两点分别在双曲线的左、右支上，∴x1x2，即e>.13．(2019·全国卷Ⅰ)双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线的倾斜角为130°，则C的离心率为(  )A．2sin40°B．2cos40° C.D．解析：由题可得－＝tan130°，即＝tan50°，∴e＝＝＝＝，故选D.答案：D