高中数学人教A版选修1-1（同步练习）第3章 3.1.1　3.1.2 变化率与导数

第三章 导数及其应用3．1 变化率与导数3．1.1 变化率问题3．1.2 导数的概念课时跟踪检测一、选择题1．(2019·宜春月考)已知质点的运动方程为s＝t2＋t，则其在第2秒的瞬时速度为(  )A．3B．4C．5D．6解析：由题可得lim＝＝(5＋Δt)＝5，即质点在第2秒的瞬时速度为5，故选C.答案：C2．若函数f(x)在x＝x0处存在导数，则(  )A．与x0，t都有关B．仅与x0有关，而与t无关C．仅与t有关，而与x0无关D．与x0，t都无关答案：B3．若函数y＝f(x)在x＝1处的导数为2，则等于(  )A．2  B．1C.D．解析：由导数的定义知f′(1)＝＝2.故选A. 答案：A4．已知曲线f(x)＝x2＋2x上一点A(2,8)，则li＝(  )A．3B．－3C．6D．－6解析：li＝li＝li＝－3.故选B.答案：B5．(2019·北重五中月考)设函数y＝f(x)可导，则＝(  )A．f′(1)B．3f′(1)C．－3f′(1)D．以上都不对解析：由导数的定义可知，f′(1)＝，故选A.答案：A6．函数f(x)＝x2在x0到x0＋Δx之间的平均变化率为k1，在x0－Δx到x0之间的平均变化率为k2，则k1与k2的大小关系为(  )A．k1＞k2B．k1＜k2C．k1＝k2D．不确定解析：由题意得k1＝＝2x0＋Δx，k2＝＝2x0－Δx，由于Δx可正可负，∴k1，k2的大小关系不确定．答案：D二、填空题7．汽车行驶的路程s和时间t之间的函数图象如图，在时间段[t0，t1][t1，t2][t2，t3]上的平均速度分别为1，2，3 ，则三者的大小关系为____________．解析：由平均速度的定义结合图象知118．在x＝1附近，取Δx＝0.3，在四个函数①y＝x，②y＝x2，③y＝x3，④y＝中，平均变化率最大的是________．解析：①＝＝1；②＝＝＝2＋Δx；③＝＝＝3＋3Δx＋(Δx)2；④＝·＝·＝－.由此可知，当Δx＝0.3时，函数y＝x3的平均变化率最大．答案：③9．已知f(x)＝x(x＋1)(x＋2)…(x＋8)，则f′(0)＝________.解析：由导数的定义，得f′(0)＝＝＝[(x＋1)(x＋2)…(x＋8)]＝1×2×…×8＝40320.答案：40320三、解答题10．若函数f(x)＝2x2＋4x在x＝x0处的导数是8，求x0的值．解：∵f(x)＝2x2＋4x，∴Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)＝2(x0＋Δx)2＋4(x0＋Δx)－(2x＋4x0)＝2(Δx)2＋4x0Δx＋4Δx，∴f′(x0)＝＝(2Δx＋4x0＋4)＝4x0＋4. 又∵f′(x0)＝8，∴4x0＋4＝8，∴x0＝1.11．求函数f(x)＝－x2＋x在x＝3附近的平均变化率，并求出在该点处的导数．解：∵Δy＝－(3＋Δx)2＋(3＋Δx)－(－32＋3)＝－5Δx－(Δx)2，∴平均变化率为＝＝－5－Δx.f′(3)＝＝(－5－Δx)＝－5.12．用导数的定义求：(1)y＝在x＝1处的导数；(2)y＝x2＋ax＋b(a，b为常数)在x＝－1处的导数．解：(1)∵Δy＝－2＝，∴＝－.由导数的定义，得y′x＝1＝＝＝－4.(2)∵Δy＝(－1＋Δx)2＋a(－1＋Δx)＋b－(1－a＋b)＝(a－2)Δx＋(Δx)2，∴＝a－2＋Δx.∴y′x＝－1＝＝(a－2＋Δx)＝a－2.13．设f(x)＝x2＋ax＋1，且f′(1)＝4，则a＝________.解析：∵f′(1)＝＝＝2＋a＝4， ∴a＝2.答案：2