高中数学人教A版选修1-1（同步练习）第2章 2.3.1 抛物线及其标准方程

第二章 圆锥曲线与方程2.3 抛物线2.3.1 抛物线及其标准方程课时跟踪检测一、选择题1．(2019·棠湖月考)抛物线y＝x2的准线方程是(  )A．y＝－B．y＝－C．y＝D．y＝解析：x2＝y中，p＝，且开口向上，故选B.答案：B2．平面内到定点M(2,2)与到定直线x＋y－4＝0的距离相等的点的轨迹是(  )A．抛物线B．椭圆C．双曲线D．直线解析：∵点M在直线x＋y－4＝0上，∴动点的轨迹是过M点且与直线x＋y－4＝0垂直的直线，故选D.答案：D3．已知抛物线y2＝2px(p＞0)的准线与圆x2＋y2－6x－7＝0相切，则p的值为(  )A.B．1C．2D．4解析：∵y2＝2px的准线方程为x＝－，x2＋y2－6x－7＝0可化为(x－3)2＋y2＝16， ∴由题意得3＋＝4，∴p＝2.答案：C4．(2019·唐山月考)已知点A在抛物线y2＝2px(p>0)上，且A为第一象限的点，过A作y轴的垂线，垂足为B，F为该抛物线的焦点，|AF|＝，则直线BF的斜率为(  )A．－B．－C．－1D．－2解析：设A(x，y)，由抛物线y2＝2px，可知F，∵|AF|＝，∴x＋＝，∴x＝，∴y2＝2p·＝p2.∵A在第一象限，∴y＝p，∴B，∴kBF＝＝－，故选B.答案：B5．若抛物线的焦点为椭圆＋＝1的下焦点，顶点在椭圆的中心，则抛物线方程为(  )A．x2＝－4yB．y2＝－4xC．x2＝－4yD．y2＝－4x解析：由椭圆＋＝1，知a2＝9，b2＝4，∴c＝＝，∴椭圆的下焦点为(0，－)，∴抛物线的焦点F(0，－)，故抛物线方程为x2 ＝－4y.答案：A6．如图，南北方向的公路L，A地在公路正东2km处，B地在A北偏东60°方向2km处，河流沿岸曲线PQ上任意一点到公路L和到A地距离相等，现要在曲线PQ上某处建一座码头，向A，B两地运货物，经测算，从M到A，B修建公路的费用都为a万元/km，那么，修建这两条公路的总费用最低是(  )A．(2＋)a万元B．(2＋1)a万元C．5a万元D．6a万元解析：由题意知，曲线PQ是以A为焦点，L为准线的抛物线，要使M到A，B两地的总费用最低，只要求出B到L的距离，由|AB|＝2，∠MAB＝60°，得|BM|＝2×sin60°＝3，从而得B到L的距离为3＋2＝5(km)，因此最低费用是5a万元．故选C.答案：C二、填空题7．焦点为F的抛物线y2＝2px(p>0)上一点M在准线上的射影是N，若|MN|＝p，则|FN|＝________.解析：如图，由抛物线的定义及题意知，|FM|＝|MN|＝p，MF⊥MN，在Rt△MNF中，|FN|＝p.答案：p8．动点P到点F(2,0)的距离与它到直线x＋2＝0的距离相等，则P的轨迹方程是________．解析：由抛物线的定义知，动点P的轨迹是以F(2,0)为焦点，准线为x＝－2的抛物线，其方程为y2＝8x.答案：y2＝8x 9．已知抛物线y2＝2px(p＞0)上有一点M(1，m)到其焦点的距离为5，双曲线x2－＝1的左顶点为A，若双曲线一条渐近线与直线AM垂直，则实数a＝________.解析：根据抛物线的焦半径公式得1＋＝5，∴p＝8，∴焦点F(4,0)，|MF|＝＝5，解得m＝±4.取M(1,4)，则AM的斜率为2，由已知得－×2＝－1，得a＝.答案：三、解答题10．抛物线的焦点F在x轴上，点A(m，－3)在抛物线上，且|AF|＝5，求抛物线的标准方程．解：当焦点在x轴的正半轴时，设抛物线的方程为y2＝2px(p>0)，∵A(m，－3)在抛物线上，∴9＝2pm，∴m＝.又∵|AF|＝5＝m＋，∴＋＝5，解得p＝1或p＝9.∴抛物线的标准方程为y2＝2x或y2＝18x.当焦点在x轴的负半轴时，同理，可求得抛物线方程为y2＝－2x或y2＝－18x.综上，所求抛物线方程为y2＝±2x或y2＝±18x.11．探照灯反射镜的轴截面是抛物线的一部分，光源位于抛物线的焦点处，已知灯口圆的直径为60cm，灯深为40cm，求抛物线的标准方程及焦点的位置．解：在探照灯的轴截面所在平面内建立直角坐标系，使反光镜的顶点与原点重合，x轴垂直于灯口直径，如图所示． 设抛物线方程为y2＝2px(p>0)，则A(40,30)，代入方程得302＝2p×40，∴p＝.∴所求抛物线的标准方程为y2＝x，焦点坐标为.12．(2019·全国卷Ⅰ)已知点A，B关于坐标原点O对称，|AB|＝4，⊙M过点A，B且与直线x＋2＝0相切．(1)若A在直线x＋y＝0上，求⊙M的半径；(2)是否存在定点P，使得当A运动时，|MA|－|MP|为定值？并说明理由．解：(1)因为⊙M过点A，B，所以圆心M在AB的垂直平分线上．由已知A在直线x＋y＝0上，且A，B关于坐标原点O对称，所以M在直线y＝x上，故可设M(a，a)．因为⊙M与直线x＋2＝0相切，所以⊙M的半径为r＝|a＋2|.由已知得|AO|＝2，又MO⊥AO，故在Rt△OMA中，可得2a2＋4＝(a＋2)2＝r2，解得a＝0或a＝4.故⊙M的半径r＝2或r＝6.(2)存在定点P(1,0)，使得|MA|－|MP|为定值．理由如下：设M(x，y)，由已知得⊙M的半径为r＝|x＋2|，|AO|＝2.由于MO⊥AO，故可得x2＋y2＋4＝(x＋2)2，化简得M的轨迹方程为y2＝4x.因为曲线C：y2＝4x是以点P(1,0)为焦点，以直线x＝－1为准线的抛物线，所以|MP|＝x＋1.因为|MA|－|MP|＝r－|MP|＝x＋2－(x＋1)＝1， 所以存在满足条件的定点P.13．(2019·全国卷Ⅱ)若抛物线y2＝2px(p>0)的焦点是椭圆＋＝1的一个焦点，则p＝(  )A．2   B．3C．4   D．8解析：椭圆的焦点为(±，0)，由题可得，＝，∴p＝8，故选D.答案：D