高中数学人教A版选修1-1（同步练习）第3章 3.2 导数的计算

第三章 导数及其应用3.2 导数的计算课时跟踪检测一、选择题1．(2019·永城月考)下列求导运算正确的是(  )A.′＝1＋B．(log2x)′＝C．(3x)′＝3xlog3eD．(x2cosx)′＝－2xsinx解析：′＝1－，A错；(log2x)′＝，B正确；(3x)′＝3xln3，C错；(x2cosx)′＝2xcosx－x2sinx，D错，故选B.答案：B2．已知函数f(x)＝xsin，则f′＝(  )A．－B．0C．1D．解析：∵f(x)＝xsin＝xcosx，∴f′(x)＝cosx－xsinx，∴f′＝－.故选A.答案：A3．若f(x)＝x2－2x－4lnx，则f′(x)>0的解集为(  )A．(0，＋∞)B．(－1,0)∪(2，＋∞)C．(2，＋∞)D．(－1,0)解析：∵f(x)＝x2－2x－4lnx，又x>0.∴f′(x)＝2x－2－>0，即x2－x－2>0，∴x>2或x0)，函数y＝f(x)存在与直线2x－y＝0平行的切线，∴f′(x)＝2在(0，＋∞)上有解，即－2a＝2在(0，＋∞)上有解，即＝2＋2a在(0，＋∞)上有解，所以2＋2a>0，得a>－1，故所求实数a的取值范围是(－1，＋∞)．11．设f(x)＝x3＋ax2＋bx＋1的导数f′(x)满足f′(1)＝2a，f′(2)＝－b.其中常数a，b∈R，求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程．解：∵f(x)＝x3＋ax2＋bx＋1，∴f′(x)＝3x2＋2ax＋b.∵f′(1)＝3＋2a＋b＝2a，∴b＝－3.又∵f′(2)＝12＋4a＋b＝－b，∴a＝－. ∴f(x)＝x3－x2－3x＋1，从而f(1)＝－.又f′(1)＝2×＝－3，故曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y－＝－3(x－1)，即6x＋2y－1＝0.12．设函数f(x)＝ax－，曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为7x－4y－12＝0.(1)求f(x)的解析式；(2)证明：曲线y＝f(x)上任意一点处的切线与直线x＝0和直线y＝x所围成的三角形面积为定值，并求此定值．解：(1)∵f′(x)＝a＋，∴即解得∴f(x)＝x－.(2)证明：设P(x0，y0)为曲线上任一点．由(1)得f′(x)＝1＋，∴点P处的切线方程为y－y0＝(x－x0)，即y－＝(x－x0)．令x＝0，得y＝－.即切线与x＝0的交点为.令y＝x，得y＝x＝2x0.∴切线与直线y＝x的交点为(2x0,2x0)．∴所求面积S＝×·|2x0|＝6是定值．考题过关13．(2019·全国卷Ⅲ)已知曲线y＝aex＋xlnx在点(1，ae)处的切线方程为y＝2x＋b，则(  ) A．a＝e，b＝－1B．a＝e，b＝1C．a＝e－1，b＝1D．a＝e－1，b＝－1解析：∵y′＝aex＋lnx＋1，∴y′|x＝1＝ae＋1，由题意得y′＝ae＋1＝2，∴a＝e－1，∴y＝ex－1＋xlnx，当x＝1时，y＝1，∴(1,1)在直线y＝2x＋b上，∴2＋b＝1，∴b＝－1，故选D.答案：D