高中数学人教A版选修1-1（同步练习）阶段性测试题二

阶段性测试题二第二章 圆锥曲线与方程(时间：120分钟 满分：150分)第Ⅰ卷(选择题，共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(2019·鸡东二中月考)双曲线2x2－y2＝8的实轴长是(  )A．2B．2C．4D．4解析：双曲线的方程可化为－＝1，∴a＝2，∴实轴长为4，故选C.答案：C2．(2019·保定月考)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的焦距为4，A(2,3)为双曲线C上一点，则双曲线C的渐近线方程为(  )A．y＝±xB．y＝±xC．y＝±xD．y＝±x解析：由题可知，c＝2，∴双曲线的焦点为(－2,0)，(2,0)，∵A(2,3)在双曲线上，∴2a＝－＝5－3＝2.∴a＝1，∴b＝，∴双曲线C的渐近线方程为y＝±x，故选D.答案：D3．(2019·海口月考)椭圆C：＋＝1与双曲线E：－＝1(a>0，b >0)有相同的焦点，且两曲线的离心率互为倒数，则双曲线渐近线的倾斜角的正弦值为(  )A.B．C.D．解析：∵椭圆＋＝1的焦点为(±1,0)，离心率为，∴双曲线的离心率为2，c＝1，∴a＝，∴b＝＝＝，∴渐近线的斜率为k＝＝，∴α＝，∴渐近线的倾斜角的正弦值为，故选D.答案：D4．已知抛物线y2＝8x的准线与双曲线－＝1(a>0，b>0)相交于A，B两点，双曲线的一条渐近线方程是y＝2x，点F是抛物线的焦点，且△FAB是直角三角形，则双曲线的标准方程是(  )A.－＝1B．x2－＝1C.－＝1D．－y2＝1解析：y2＝8x的焦点为(2,0)，准线方程为x＝－2，∵△FAB是直角三角形，且由题意得，|AF|＝|BF|，由题意得|AB|＝8，∴A的坐标为(－2,4)．∴－＝1，①双曲线的渐近线方程为y＝2x，∴＝2， ∴b＝2a，②由①②得a2＝2，b2＝16，∴双曲线的标准方程为－＝1，故选C.答案：C5．(2019·武汉四校期中)如图，一圆形纸片的圆心为O，F是圆内一定点，M是圆周上一动点，把纸片折叠使点M与F重合，然后抹平纸片，折痕为CD，设CD与OM交于点P，则点P的轨迹是(  )A．椭圆B．双曲线C．抛物线D．圆解析：由题可知CD为MF的垂直平分线，连接PF，则|PM|＝|PF|，∴|PO|＋|PF|＝|PO|＋|PM|＝|OM|＝R，又显然|MO|>|OF|，∴点P的轨迹是以O，F为焦点的椭圆，故选A.答案：A6．若抛物线y2＝x上两点A(x1，y1)，B(x2，y2)关于直线y＝x＋b对称，且y1y2＝－1，则实数b的值为(  )A．－3B．3C．2D．－2解析：由题可知AB与直线y＝x＋b垂直，且AB的中点在y＝x＋b上，∴kAB＝－1.设AB的中点为(x0，y0)，则∴y－y＝x1－x2，∴k＝＝＝－1， ∴y0＝－，∴x0＝＝＝＝.又∵AB的中点在y＝x＋b上，即在y＝x＋b上，∴－＝＋b，∴b＝－2，故选D.答案：D7．(2019·月考)若直线y＝kx＋2与双曲线x2－y2＝6的右支交于不同的两点，则k的取值范围是(  )A.B．C.D．解析：由消去y，得(1－k2)x2－4kx－10＝0，∵直线y＝kx＋2与双曲线x2－y2＝6的右支交于不同两点，设两点坐标为(x1，y1)，(x2，y2)，则由题意得解得－b>0)的上顶点(0，b)和左焦点(－c,0)(b>0，c>0)，则直线l的方程为＋＝1，即bx－cy＋bc＝0，由已知得＝×2b，解得b2＝3c2.又b2＝a2－c2，∴a2＝4c2，∴e2＝＝.又00)的右焦点为F(3,0)，过点F的直线交E于A，B两点，若AB的中点坐标为(1，－1)，则E的方程为(  )A.＋＝1B．＋＝1C.＋＝1D．＋＝1解析：由题意可得，kAB＝＝，故直线AB的方程为y＝(x－3)．由消去y并整理，得(a2＋4b2)x2－6a2x＋9a2－4a2b2＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有＝＝1，∴a2＝2b2.又a2＝b2＋c2＝b2＋9，∴b2＝9，a2＝18.故E的方程为＋＝1.答案：D12．若抛物线y2＝8x的焦点为F，准线为l，则经过点F，M(3,3)且与l相切的圆共有(  )A．0个B．1个C．2个D．4个 解析：连接FM，作它的中垂线，则要求的圆心就在中垂线上，∵经过点F，M且与l相切的圆的圆心到准线的距离与到焦点F的距离相等，∴圆心在抛物线上．∵直线与抛物线交于两点，∴这两点可以作为圆心，这样的圆有2个，故选C.答案：C第Ⅱ卷(非选择题，共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中的横线上)13．双曲线的渐近线方程为x±2y＝0，焦距为10，则双曲线的方程为______________________．解析：设双曲线方程为x2－4y2＝λ(λ≠0)，∴－＝1，∴|λ|＋＝25，∴|λ|＝20，∴λ＝±20.∴双曲线的方程为－＝1或－＝1.答案：－＝1或－＝114．椭圆＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F2作x轴的垂线与椭圆的一个交点为P，若∠F1PF2＝45°，则椭圆的离心率e＝________.解析：由题意得△PF1F2为直角三角形，|PF2|＝， ∠F1PF2＝45°，∴|PF2|＝|F1F2|，∴＝2c，∴a2－c2＝2ac，∴e2＋2e－1＝0，解得e＝－1±.又0＜e＜1，∴e＝－1.答案：－115．如图，在平面直角坐标系xOy中，F是椭圆＋＝1(a>b>0)的右焦点，直线y＝与椭圆交于B，C两点，且∠BFC＝90°，则该椭圆的离心率是________．解析：由题意得B，C，F(c,0)，又∵∠BFC＝90°，∴·＝0，即·＝c2－a2＋b2＝0.又b2＝a2－c2，∴c＝a，∴e＝＝＝.答案：16．(2019·福州期末)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左焦点为F，过原点O的直线与双曲线C相交于A，B两点，连接BF，若|OA|＝|OF|＝5，|BF|＝8，则双曲线C的离心率为________．解析：设双曲线的右焦点为F1，连接AF1，BF1，∵A，B两点关于原点O对称，且都在双曲线上，又∵|OA|＝|OF|＝5，∴|AB|＝|F1F|＝10，且四边形AFBF1为矩形，∴|BF|2＋|BF1|2＝|FF1|2，∴|BF1|＝6，∴2a＝|BF|－|BF1|＝8－6＝2，∴a＝1，又c＝5，∴e＝＝5.答案：5 三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤)17．(10分)已知双曲线与椭圆＋＝1共焦点，它们的离心率之和为，求双曲线的方程．解：椭圆＋＝1的焦点为(0，±4)，e＝，∴双曲线的焦点为(0，±4)．设双曲线的方程为－＝1(a>0，b>0)．∴解得∴双曲线的方程为－＝1.18．(12分)已知抛物线C：y2＝4x与直线y＝2x－4交于A，B两点．(1)求弦AB的长度；(2)若点P在抛物线C上，且△ABP的面积为12，求点P的坐标．解：(1)由得x2－5x＋4＝0，∴x1＝1，x2＝4，∴|AB|＝|x1－x2|＝×|1－4|＝3.(2)设P(x0，y0)，∴y＝4x0，P到直线AB的距离d＝＝，又∵S△ABP＝×|AB|·d＝12，∴×3d＝12，∴d＝，∴＝，即＝8，∴－y0－4＝8或－y0－4＝－8， ∴或∴点P的坐标为(4，－4)或(9,6)．19．(12分)(2019·蕉岭月考)已知椭圆C过点A，两个焦点分别为(－1,0)，(1,0)．(1)求椭圆C的方程；(2)已知E，F是椭圆C上的两个动点，如果直线AE的斜率与AF的斜率互为相反数，求证：直线EF的斜率为定值，并求出这个定值．解：(1)由题意得，c＝1，又知椭圆C过点A，∴可设椭圆方程为＋＝1，解得b2＝3，b2＝－(舍去)，所以椭圆C的方程为＋＝1.(2)设直线AE的方程为y＝k(x－1)＋，联立方程消y得(3＋4k2)x2＋4k(3－2k)x＋42－12＝0，设E(xE，yE)，F(xF，yF)，因为点A在椭圆上，所以xE＝，yE＝kxE＋－k，又直线AF的斜率与AE的斜率互为相反数，在上式中以－k代k，可得xF＝，yF＝－kxF＋＋k，所以直线EF的斜率kEF＝＝＝，即直线EF 的斜率为定值，其值为.20．(12分)(2019·永泰二中期末)已知抛物线C：y2＝2x，直线l：y＝x＋b与抛物线C交于A，B两点，O为坐标原点．(1)当直线l过抛物线C的焦点F时，求|AB|；(2)是否存在直线l使得直线OA⊥OB？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．解：(1)由题意得F，把F代入l得，l：y＝，由消去y得x2－9x＋＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝9，∴|AB|＝x1＋x2＋p＝9＋1＝10.(2)假设存在使OA⊥OB，∴x1x2＋y1y2＝0，由消去x，得y2－4y＋4b＝0，由Δ＝16－16b>0，得b