高中数学人教A版选修1-1（同步练习）第2章 2.1.2　 椭圆的简单几何性质椭圆的简单几何性质 第一课时

第二章 圆锥曲线与方程2.1 椭 圆2.1.2 椭圆的简单几何性质第一课时 椭圆的简单几何性质课时跟踪检测一、选择题1．(2019·昆明月考)如果椭圆＋＝1(k>－8)的离心率为e＝，则k＝(  )A．4B．4或－C．－D．4或－解析：若椭圆的焦点在x轴上，则＝，解得k＝4；若椭圆的焦点在y轴上，则＝，解得k＝－，所以k＝4或k＝－，故选B.答案：B2．椭圆的长轴是短轴的3倍，且过点(－3,0)，则其标准方程为(  )A.＋y2＝1B．＋＝1C.＋y2＝1或＋x2＝1D．以上均不对解析：当焦点在x轴上时，a＝3，b＝1，其方程为＋y2＝1；当焦点在y轴上时，b＝3，a＝9，其方程为＋＝1.所以A、B、C均不对，故选D.答案：D3．一个椭圆的半焦距为2，离心率e＝，那么它的短轴长是(  ) A．3B．C．2D．6解析：由题意知，c＝2，e＝＝，∴a＝3.∴b＝＝＝，∴短轴长2b＝2.故选C.答案：C4．(2019·期中)设直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l的距离为其短轴长的，则该椭圆的离心率为(  )A.B．C.D．解析：不妨设椭圆的焦点在x轴上，直线过(c,0)，(0，b)，则直线l的方程为＋＝1，即bx＋cy－bc＝0，则＝×2b，即＝，∴e＝，故选A.答案：A5．椭圆＋＝1与＋＝1(00)，过椭圆的右焦点F作x轴的垂线交椭圆于A，B两点，若·＝0，则椭圆的离心率e等于________．解析：当x＝c时，y2＝，则y＝±.设A＝，由·＝0，知OA⊥OB，∴|AF|＝|OF|，即＝c.∴ac＝b2＝a2－c2，∴e2＋e－1＝0.又00)的左、右顶点，点P在E上，在△APB中，tanA＝，tanB＝，则E的离心率为________．解析：设P(x，y)，则＋＝1，A(－a,0)，B(a,0)，∵tanA＝，tanB＝，∴＝，＝－，∴＝－，∴＋＝1，∴b＝，∴c＝＝a，∴e＝.答案：三、解答题10．在直角坐标系xOy中，已知中心在原点，离心率为的椭圆E的一个焦点为圆C：x2＋y2－4x＋2＝0的圆心，求椭圆E的方程．解：由x2＋y2－4x＋2＝0，得(x－2)2＋y2＝2.故圆C的圆心为点(2,0)，则点(2,0)为椭圆E的一个焦点，从而可设椭圆E的方程为＋＝1(a>b>0)，其焦点为(2,0)∵e＝＝，∴a＝4.b2＝a2－c2＝16－4＝12，故椭圆E的方程为＋＝1. 11．椭圆＋＝1(a>b>0)的一个焦点与短轴的两顶点的连线互相垂直，且此焦点和长轴上较近的顶点距离为4－2，求此椭圆方程．解：解法一：如图，可知A(0，b)，B(0，－b)，F2(c,0)．∴＝(c，－b)，＝(c，b)．∵AF2⊥BF2，∴·＝0，∴c2－b2＝0，∴b2＝c2.由题意知a－c＝4－2，得解得a2＝48，b2＝24.∴所求椭圆的方程为＋＝1.解法二：如解法一中图，由题设知AF2⊥BF2，∴∠AF2O＝45°，∴|OA|＝|OF2|，即b＝c.∴a2＝b2＋c2＝2c2，∴a＝c.又a－c＝4－2，从而得(－1)c＝2(－1)，∴c＝2，∴b2＝c2＝24，a2＝48.∴所求椭圆的方程为＋＝1.12．如图，已知P是椭圆＋＝1(a>b>0)上且位于第一象限的一点，F是椭圆的右焦点，O是椭圆中心，B是椭圆的上顶点，H是直线x＝－(c是椭圆的半焦距)与x轴的交点，若PF⊥OF，HB∥OP，试求椭圆的离心率e. 解：依题意知，H，F(c,0)，B(0，b)．设P(x，y)(x>0，y>0)，将x＝c，代入椭圆方程得y＝，∴P.∵HB∥OP，∴kHB＝kOP，即＝.∴ab＝c2，∴e＝＝⇒e2＝＝－1.∴e4＋e2－1＝0.∵00)的两个焦点，P为C上一点，O为坐标原点．(1)若△POF2为等边三角形，求C的离心率；(2)如果存在点P，使得PF1⊥PF2，且△F1PF2的面积等于16，求b的值和a的取值范围．解：(1)连接PF1，由△POF2为等边三角形可知，在△F1PF2中，∠F1PF2＝90°，|PF2|＝c，|PF1|＝c，于是2a＝|PF1|＋|PF2|＝(＋1)c，故C的离心率是e＝＝－1.(2)由题意可知，满足条件的点P(x，y)存在．当且仅当|y|·2c＝16，·＝－1，＋＝1，即c|y|＝16，① x2＋y2＝c2，②＋＝1，③由②③及a2＝b2＋c2，得y2＝，又由①知，y2＝，得b＝4.由②③得，x2＝(c2－b2)，所以c2≥b2，从而a2＝b2＋c2≥2b2＝32，故a≥4.当b＝4，a≥4时，存在满足条件的点P.所以b＝4，a的取值范围为[4，＋∞)．