高中数学人教A版选修1-1（同步练习）第3章3.3.3 函数的最大（小）值与导数

第三章 导数及其应用3.3 导数在研究函数中的应用3.3.3 函数的最大(小)值与导数课时跟踪检测一、选择题1．函数f(x)＝x3－12x＋1在闭区间[－3,0]上的最大值和最小值分别是(  )A．1，－1B．1，－17C．17,1D．9，－19解析：由f′(x)＝3x2－12＝0，得x＝2或x＝－2.又f(－3)＝－27＋36＋1＝10，f(－2)＝－8＋24＋1＝17，f(0)＝1，∴最大值为17，最小值为1.故选C.答案：C2．函数y＝2x3－3x2－12x＋5在区间[0,3]上的最大值与最小值分别是(  )A．5，－4B．5，－15C．5，－16D．－4，－15解析：由已知得y′＝6x2－6x－12＝6(x＋1)(x－2)，令y′＝0，得x＝－1或x＝2.又x∈[0,3]∴x＝2.∵f(0)＝5，f(2)＝－15，f(3)＝－4.∴最大值为5，最小值为－15.故选B.答案：B3．对于函数f(x)＝ex－x在区间[1,2]上的最值，下列描述正确的是(  )A．最小值为e－1，没有最大值B．最大值为e2－2，没有最小值C．既没有最大值，也没有最小值D．最小值为e－1，最大值为e2－2解析：解法一：∵f(x)＝ex－x在闭区间[1,2]上有定义，∴f(x)在区间[1,2]上必存在最小值和最大值，故选D. 解法二：∵f′(x)＝ex－1，当x∈[1,2]时，f′(x)>0恒成立，∴f(x)在[1,2]上为增函数，故存在最小值f(1)＝e－1，最大值f(2)＝e2－2.故选D.答案：D4．使函数f(x)＝x＋2cosx在上取最大值的x为(  )A．0B．C.D．解析：∵f(x)＝x＋2cosx，∴f′(x)＝1－2sinx.令f′(x)＝0，得sinx＝.又x∈，∴x＝.又f(0)＝2，f＝＋，f＝，∴函数f(x)在上的最大值为＋，此时x＝.故选B.答案：B5．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，x∈[－2,2]表示的曲线过原点，且在x＝±1处的切线斜率均为－1，有以下命题：①f(x)的解析式为：f(x)＝x3－4x，x∈[－2,2]；②f(x)的极值点有且仅有一个；③f(x)的最大值与最小值之和等于零．其中正确的命题个数为(  )A．0B．1C．2D．3解析：∵f′(x)＝3x2＋2ax＋b，由题可得解得∴f(x)＝x3－4x，①正确；f′(x)＝3x2－4，令f′(x)＝0，∴x＝±，∴f(x)有两个极值点，②错误； f(x)＝x3－4x是奇函数，∴f(x)max＋f(x)min＝0，③正确．故选C.答案：C6．(2019·沈阳月考)已知函数f(x)＝(b∈R)，∃m0，n0∈，使得对于∀x1，x2∈(m，n)，且x10，且对称轴x＝－＝>0，∴Δ＝9－16a≤0，即a≥.∴实数a的取值范围为.12．证明：当x∈[0,1]时，x≤sinx≤x.证明：设F(x)＝sinx－x，则F′(x)＝cosx－，当x∈，F′(x)>0，F(x)单调递增；当x∈，F′(x)0，所以当x∈[0,1]时，F(x)≥0，即sinx≥x.设H(x)＝sinx－x，则H′(x)＝cosx－1.当x∈[0,1]时，H′(x)≤0，H(x)单调递减，所以H(x)≤H(0)＝0，即sinx≤x， 综上，x≤sinx≤x，x∈[0,1]．13．(2019·安平中学月考)已知f(x)＝－(x－1)2＋m，g(x)＝xex，若∃x1，x2∈R，使得f(x1)≥g(x2)成立，则实数m的取值范围是________．解析：若∃x1，x2∈R，使得f(x1)≥g(x2)成立，只需f(x)max≥g(x)min，∵f(x)＝－(x－1)2＋m≤m，且g′(x)＝(1＋x)ex，当x0，g(x)为增函数，∴g(x)min＝g(－1)＝－，∴只需m>－，即m的取值范围是.答案：