高中数学人教A版选修1-2（同步练习）第2章 2.2.1 综合法和分析法 第一课时

第二章 推理与证明2.2 直接证明与间接证明2.2.1 综合法和分析法第一课时 综合法课时跟踪检测一、选择题1．若ax2＋ax－1＜0恒成立，则a的取值范围是(  )A．a≤0       B．a＜－4C．－4＜a＜0D．－4＜a≤0解析：当a＝0时，－1＜0成立．当a≠0时，依题意应有解得－4＜a＜0.综上知，－4＜a≤0.答案：D2．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若b＝2a，sin2B＝2sinAsinC，则cosB＝(  )A.B．C.D．1解析：由正弦定理得b2＝2ac，∵b＝2a，∴4a2＝2ac，∴c＝2a，∴cosB＝＝＝，故选B.答案：B3．已知向量a＝(cosα，－2)，b＝(sinα，1)，且a∥b，则tan等于(  )A．3B．－3C.D．－ 解析：a∥b⇒1·cosα＋2sinα＝0⇒tanα＝－，tan＝＝－3.答案：B4．(2019·沈阳期末)如果a>b>0，那么下列不等式中错误的是(  )A.C．ab>b2D．a2>ab解析：∵a>b>0，∴ab>b2，a2>ab，>，即>，∴A、C、D正确，B不正确．故选B.答案：B5．(2019·汕头金山中学月考)如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是BC1，CD1的中点，则下列判断错误的是(  )A．MN⊥CC1B．MN⊥平面ACC1A1C．MN∥平面ABCDD．MN∥A1B1解析：在正方体ABCD－A1B1C1D1中，连接DC1，N为DC1的中点，M为BC1的中点，∴MN∥BD，∴MN∥平面ABCD，C正确；∵CC1⊥BD，∴MN⊥CC1，A正确；∵BD⊥平面ACC1A1，∴MN⊥平面ACC1A1，B正确；MN与A1B1异面，D错误，故选D.答案：D6．已知函数f(x)＝x，a，b是正实数，A＝f，B＝f()，C＝f，则A、B、C的大小关系为(  )A．A≤B≤CB．A≤C≤BC．B≤C≤AD．C≤B≤A 解析：∵－＝＝－≤0，∴≥.又－＝＝－≤0，∴≤.又≥，∴≥≥.又f(x)＝x为减函数，∴f≥f()≥f，即C≥B≥A.答案：A二、填空题7．已知函数f(x)＝a－为奇函数，则a＝________.解析：∵f(x)＝a－为奇函数，且定义域为R.∴f(0)＝0，∴a＝.答案：8．已知直线l，m，平面α，β，且l⊥α，m⊂β，给出下列四个命题：①若α∥β，则l⊥m；②若l⊥m，则α∥β；③若α⊥β，则l⊥m；④若l∥m，则α⊥β.其中正确命题的序号为________．(把正确命题的序号都填上)解析：⇒⇒l⊥m，故①正确；l⊥β，故②不正确；l⊥β，故③不正确；⇒⇒α⊥β，故④正确．答案：①④9．函数y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称，若当x≤1时，f(x)＝(x＋1)2 －1，则当x＞1时，f(x)的解析式为______________．解析：设点(x0，y0)(x0≤1)为函数f(x)＝(x＋1)2－1上任意一点，点(x0，y0)关于x＝1的对称点为(x′，y′)，则将点(2－x′，y′)代入f(x)＝(x＋1)2－1，得y′＝(2－x′＋1)2－1＝(x′－3)2－1.∴当x＞1时，f(x)的解析式为f(x)＝(x－3)2－1.答案：f(x)＝(x－3)2－1三、解答题10．设a，b，c都是正数，求证＋＋≥＋＋.证明：∵a，b，c都是正数，∴＋≥2＝.又∵≥＞0，即≥，∴＋≥.同理，＋≥，＋≥.三式相加得＋＋≥＋＋.11．如图，四边形ABCD与BDEF均为边长为2的菱形，∠DAB＝∠DBF＝60°，且FA＝FC.(1)求证：FC∥平面EAD；(2)求点A到平面BDEF的距离．解：(1)证明：∵四边形BDEF是菱形，∴FB∥ED.又ED⊂平面EAD，FB⊄平面EAD，∴FB∥平面EAD.∵四边形ABCD是菱形，∴BC∥AD.又AD⊂平面EAD，BC⊄平面EAD，∴ BC∥平面EAD.又FB∩BC＝B，FB⊂平面FBC，BC⊂平面FBC，∴平面FBC∥平面EAD.又FC⊂平面FBC，∴FC∥平面EAD.(2)设AC∩BD＝O，则O为AC的中点，∵FA＝FC，∴FO⊥AO.又AO⊥BD，FO∩BD＝O，FO、BD⊂平面BDEF，∴AO⊥平面BDEF.在菱形ABCD中，∵AB＝2，∠DAB＝60°，∴AO＝，故点A到平面BDEF的距离为.12.如图所示，设抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点为F，经过点F的直线交抛物线于A，B两点，点C在抛物线的准线上，且BC∥x轴，证明直线AC经过点O.证明：∵抛物线的方程为y2＝2px(p＞0)，∴焦点为F.∴过点F的直线AB的方程为x＝my＋.由得y2－2pmy－p2＝0.设交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1，y2是该方程的两个根，∴y1y2＝－p2.∵BC∥x轴，且点C在准线x＝－上，∴点C的坐标为，故直线CO的斜率k＝＝＝，即k也是直线OA的斜率，∴点A，O，C在同一条直线上． ∴直线AC经过原点O.13．(2019·蕉岭月考)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a4＝6，S5＝20，则a10＝(  )A．16B．18C．22D．25解析：解得d＝2，∴a10＝a4＋6d＝18，故选B.答案：B