高中数学人教A版选修1-2（同步练习）第2章 2.1.2 演绎推理

第二章 推理与证明2.1 合情推理与演绎推理2.1.2 演绎推理课时跟踪检测一、选择题1．下列表述正确的是(  )①归纳推理是由部分到整体的推理；②归纳推理是由一般到一般的推理；③演绎推理是由一般到特殊的推理；④类比推理是由特殊到一般的推理；⑤类比推理是由特殊到特殊的推理．A．①②③B．②③④C．②④⑤D．①③⑤答案：D2．用演绎推理证明函数y＝x3是增函数时的小前提是(  )A．增函数的定义B．函数y＝x3满足增函数的定义C．若x1＜x2，则f(x1)＜f(x2)D．若x1＞x2，则f(x1)＞f(x2)解析：在“三段论”中，根据其特征，大前提是增函数的定义，小前提是函数y＝x3满足增函数的定义，结论是y＝x3是增函数，故选B.答案：B3．已知△ABC中，∠A＝30°，∠B＝60°，求证：a＜b.证明：∵∠A＝30°，∠B＝60°，∴∠A＜∠B，∴a＜b，画线部分是演绎推理的(  )A．大前提B．小前提C．结论D．三段论解析：证明中省略了大前提，大前提应为“在同一个三角形中，大角对大边”，因此画线部分应为小前提．答案：B4．对a，b∈(0，＋∞)，a＋b≥2，大前提 x＋≥2，小前提所以x＋≥2.结论以上推理过程中的错误为(  )A．大前提B．小前提C．结论D．无错误解析：在小前提中，缺少条件x∈(0，＋∞)，因此小前提不正确．答案：B5．(2019·武城期中)演绎推理“因为f′(x0)＝0时，x0是f(x)的极值点，而对于函数f(x)＝x3，f′(0)＝0，所以0是函数f(x)＝x3的极值点．”所得结论错误的原因是(  )A．大前提错误B．小前提错误C．推理形式错误D．全不正确答案：A6．(2019·全国卷Ⅲ)如图，点N为正方形ABCD的中心，△ECD为正三角形，平面ECD⊥平面ABCD，M是线段ED的中点，则(  )A．BM＝EN，且直线BM，EN是相交直线B．BM≠EN，且直线BM，EN是相交直线C．BM＝EN，且直线BM，EN是异面直线D．BM≠EN，且直线BM，EN是异面直线解析：取DC的中点O，连接EO，ON， 不妨设AB＝1，∴ED＝DC＝CE＝1，∴EO＝，ON＝，∵平面ECD⊥平面ABCD，EO⊂平面ECD，∴EO⊥底面ABCD，又∵ON⊂平面ABCD，∴EO⊥ON，∴EN＝＝1，连接MC，∵平面ECD⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD，∴BC⊥平面ECD，∴BC⊥CM，∴BM＝＝＝，∴EN≠BM.连接BE，∵在△DBE中，M、N分别为DE、BD的中点，BM与EN都在平面DBE中，∴BM，EN是相交直线，故选B.答案：B二、填空题7．由“(a2＋1)x>3，得x>”的推理过程中，其大前提是__________________________________________．答案：不等式两边同乘以一个正数，不等号方向不改变8．设f(x)＝(x－a)(x－b)(x－c)，其中a，b，c是互不相等的常数，则＋＋＝________. 解析：∵f(x)＝(x－a)(x－b)(x－c)．∴f′(x)＝(x－b)(x－c)＋(x－a)(x－c)＋(x－a)(x－b)．∴f′(a)＝(a－b)(a－c)，f′(b)＝(b－a)(b－c)，f′(c)＝(c－a)(c－b)．∴＋＋＝＋＋＝＝0.答案：09．关于函数f(x)＝ln(x≠0)，有下列命题：①其图象关于y轴对称；②当x＞0时，f(x)为增函数；③f(x)的最小值为ln2；④当－1＜x＜0或x＞1时，f(x)为增函数；⑤f(x)无最大值，也无最小值．其中正确结论的序号是________．解析：易知f(－x)＝f(x)，又定义域关于原点对称，∴f(x)为偶函数，其图象关于y轴对称，故①正确；当x＞0时，f(x)＝ln＝ln.∵y＝x＋在(0,1)上是减函数，在(1，＋∞)上是增函数，∴f(x)在(0,1)上是减函数，在(1，＋∞)上是增函数，故②不正确；而当x＝1时，f(x)有最小值ln2，故③正确；由偶函数的对称性知，④正确，⑤不正确．答案：①③④三、解答题10．下列推理是否正确，错误的请指出其错误之处．(1)求证：四边形的内角和等于360°. 证明：设四边形ABCD是矩形，则它的四个角都是直角，有∠A＋∠B＋∠C＋∠D＝90°＋90°＋90°＋90°＝360°，所以四边形的内角和为360°；(2)已知和是无理数，试证：＋也是无理数．证明：依题设，和是无理数，而无理数与无理数的和是无理数，故＋也是无理数．解：(1)错误．犯了偷换论题的错误．在证明过程中，把论题的四边形改为了矩形．(2)错误．结论虽然正确，但是证明是错误的．这里使用的论据(即大前提)“无理数与无理数的和是无理数”是假命题．例如和－都是无理数，但＋(－)＝0,0是有理数．11．数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝1，an＋1＝Sn(n＝1,2,3，…)．证明：(1)数列是等比数列；(2)Sn＋1＝4an.证明：(1)∵an＋1＝Sn＋1－Sn，an＋1＝Sn(n＝1,2,3，…)，∴(n＋2)Sn＝nan＋1＝n(Sn＋1－Sn)，即nSn＋1＝2(n＋1)Sn，∴＝2·(n＝1,2,3，…)．故数列是首项是1，公比为2的等比数列．(2)由(1)知，＝2·＝4·(n≥2)，∴Sn＋1＝4(n＋1)·＝4an(n≥2)．又∵a2＝3S1＝3，∴S2＝a1＋a2＝4＝4a1.故对任意的n∈N＋，有Sn＋1＝4an.12．设f(x)对x＞0有意义，f(2)＝1，f(xy)＝f(x)＋f(y)，且f(x)＞f(y)成立的充要条件是x＞y＞0. (1)求f(1)与f(4)的值；(2)当f(x)＋f(x－3)≤2时，求x的取值范围．解：(1)∵f(2)＝1，且对于x＞0，y＞0，有f(xy)＝f(x)＋f(y)，∴令x＝1，y＝2，得f(2)＝f(1)＋f(2)，∴f(1)＝0；令x＝y＝2，得f(4)＝f(2)＋f(2)＝2f(2)＝2.(2)由f(xy)＝f(x)＋f(y)，得f(x)＋f(x－3)＝f(x2－3x)．又f(4)＝2，由f(x)＋f(x－3)≤2，得f(x2－3x)≤f(4)．由f(x)＞f(y)成立的充要条件是x＞y＞0，得解得3＜x≤4.13．(2019·检测)已知函数f(x)＝lg，若f(a)＝b，则f(－a)＝(  )A．bB．－bC.D．－解析：若f(x)为奇函数，则f(－x)＝－f(x)，f(x)＝lg的定义域为(－1,1)．f(－x)＝lg＝－lg＝－f(x)，∴f(x)为奇函数，∴f(－a)＝－f(a)＝－b，故选B.答案：B