高中数学人教A版选修1-2（同步练习）第3章 3.1.2 复数的几何意义

第三章 数系的扩充与复数的引入3.1 数系的扩充和复数的概念3.1.2 复数的几何意义课时跟踪检测一、选择题1．若＝(0，－3)，则对应的复数是(  )A．0         B．－3C．3D．－3i解析：∵＝(0，－3)，∴对应的复数为－3i.答案：D2．设z＝(2t2＋5t－3)＋(t2＋2t＋3)i，t∈R，则以下结论正确的是(  )A．z对应的点在第一象限B．z一定不是纯虚数C．z一定是纯虚数D．z对应的点在实轴上方解析：∵实部为2t2＋5t－3＝22－≥－，虚部为t2＋2t＋3＝(t＋1)2＋2≥2，∴复数z对应的点在实轴上方．答案：D3．复平面内，向量表示的复数为1＋i，将向右平移一个单位后得到向量，则向量与点A′对应的复数分别为(  )A．1＋i,1＋iB．2＋i,2＋iC．1＋i,2＋iD．2＋i,1＋i解析：由已知得＝(1,1)，将向右平移一个单位后，＝(1,0)，＝(2,1)，∴＝(1,1)，∴对应的复数为1＋i，A′ 对应的复数是2＋i.答案：C4．复平面上三点A，B，C分别对应复数1,2i,5＋2i，则由A，B，C构成的三角形是(  )A．直角三角形B．等腰三角形C．锐角三角形D．钝角三角形解析：由题知A(1,0)，B(0,2)，C(5,2)，结合图形知△ABC是直角三角形．答案：A5．已知复数z对应的向量为(O为坐标原点)，与实轴正向的夹角为120°，且复数z的模为2，则复数z为(  )A．1＋iB．2C．(－1，)D．－1＋i解析：设复数z对应的点为(x，y)，则x＝|z|·cos120°＝2×＝－1，y＝|z|·sin120°＝2×＝，∴复数z对应的点为，∴z＝－1＋i，故选D.答案：D6．已知复数z＝a＋bi(a，b∈R)，|z|＝3，则ab的最大值为(  )A.   B．C．3   D．9解析：∵|z|＝3，∴a2＋b2＝9.又a2＋b2≥2ab，∴ab≤.答案：B 二、填空题7．若复数z1＝3－5i，z2＝1－i，z3＝－2＋ai在复平面内所对应的点在同一条直线上，则实数a＝________.解析：设复数z1，z2，z3对应的点分别为P1，P2，P3，则P1(3，－5)，P2(1，－1)，P3(－2，a)．由P1，P2，P3共线，得kP1P2＝kP1P3，即＝，解得a＝5.答案：58．已知z－|z|＝－1＋i，则复数z＝________.解析：设z＝x＋yi(x，y∈R)，则x＋yi－＝－1＋i，∴∴∴z＝i.答案：i9．设z1＝1＋i，z2＝－1＋i，复数z1和z2在复平面内对应点分别为A、B，O为原点，则△AOB的面积为________．解析：在复平面内，z1、z2对应的点A(1,1)，B(－1,1)，如图，连接AB交y轴于C.∵|z1|＝|z2|＝，∴△AOB是等腰三角形．∵|AB|＝＝2，|OC|＝1，∴S△AOB＝|AB|·|OC|＝×2×1＝1.答案：1三、解答题10．已知两个向量a，b对应的复数是z1＝3和z2＝－5＋5i，求向量a与b的夹角． 解：∵a＝(3,0)，b＝(－5,5)，∴a·b＝－15，|a|＝3，|b|＝5.设a与b的夹角为θ，则cosθ＝＝＝－.∵0≤θ≤π，∴θ＝.11．已知a∈R，z＝(a2－2a＋4)－(a2－2a＋2)i所对应的点在第几象限？复数z对应的点的轨迹是什么？解：∵a2－2a＋4＝(a－1)2＋3≥3，－(a2－2a＋2)＝－(a－1)2－1≤－1，∴复数z的实部为正数，复数z的虚部为负数，因此，复数z对应的点在第四象限．设z＝x＋yi(x、y∈R)，则消去a，得y＝－x＋2(x≥3)．∴复数z对应的点的轨迹是一条射线，方程为y＝－x＋2(x≥3)．12．在复平面内，A，B，C三点对应的复数分别为1,2＋i，－1＋2i.(1)求向量，，对应的复数；(2)判断△ABC的形状．解：(1)由复数的几何意义知：＝(1,0)，＝(2,1)，＝(－1,2)，∴＝－＝(1,1)，＝－＝(－2,2)，＝－＝(－3,1)，∴，，对应的复数分别为1＋i，－2＋2i，－3＋i.(2)∵||＝，||＝2，||＝， ∴||2＋||2＝||2，∴△ABC是以BC为斜边的直角三角形．13．在复平面内，复数6＋5i，－2＋3i对应的点分别为A，B.若C为线段AB的中点，则点C对应的复数是________． 解析：复数6＋5i对应的点A(6,5)，复数－2＋3i对应的点B(－2,3)，C为线段AB的中点，∴C(2,4)．∴C点对应的复数为2＋4i.答案：2＋4i