高中数学人教A版选修1-2（同步练习）第2章 2.1.1 合情推理

第二章 推理与证明2.1 合情推理与演绎推理2.1.1 合情推理课时跟踪检测一、选择题1．在公差为d的等差数列{an}中，我们可以得到an＝am＋(n－m)d(m，n∈N＋)．通过类比推理，在公比为q的等比数列{bn}中，我们可得(  )A．bn＝bm＋qn－m    B．bn＝bm＋qm－nC．bn＝bm×qm－nD．bn＝bm×qn－m解析：在公比为q的等比数列{bn}中，设其首项为b1，则bm＝b1qm－1，所以b1＝，则bn＝b1qn－1＝qn－1＝bmqn－m.故选D.答案：D2．(2019·重庆铜梁一中月考)下列推理是归纳推理的是(  )A．由a1＝1，an＝3n－1(n≥2)求出S1，S2，S3，猜想出数列的前n项和Sn的表达式B．A，B为定点，动点P满足|PA|＋|PB|＝2a>|AB|，则P点的轨迹为椭圆C．由圆x2＋y2＝r2的面积πr2，猜想出椭圆＋＝1的面积S＝πabD．科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇答案：A3．观察下列各式：a＋b＝1，a2＋b2＝3，a3＋b3＝4，a4＋b4＝7，a5＋b5＝11，…，则a10＋b10＝(  )A．28B．76C．123D．199解析：观察可得各式的值构成数列1,3,4,7,11，… ，其规律为从第三项起，每项等于其前相邻两项的和，所求值为数列中的第十项．继续写出此数列为1,3,4,7,11,18,29,47,76,123，…，第十项为123，即a10＋b10＝123.故选C.答案：C4．设n∈N*，f(n)＝1＋＋＋…＋，计算知f(2)＝，f(4)>2，f(8)>，f(16)>3，f(32)>，由此猜测(  )A．f(2n)>B．f(n2)≥C．f(2n)≥D．以上都不对解析：由已知f(2)＝＝，f(4)＝f(22)>2＝，f(8)＝f(23)>＝，f(16)＝f(24)>3＝，…，猜想，f(2n)≥.答案：C5．(2019·邵东一中月考)在平面几何里有射影定理：设三角形ABC的两边AB⊥AC，D是A点在BC上的射影，则AB2＝BD·BC.拓展到空间，在四面体A－BCD中，AD⊥平面ABC，点O是A在平面BCD内的射影，且O在△BCD内，类比平面三角形射影定理，得出正确的结论是(  )A．S＝S△BCO·S△BCDB．S＝S△BCD·S△BOCC．S＝S△DOC·S△BOCD．S＝S△ABD·S△ABC解析：如图所示，连接DO交BC于H，连接AH，连接OC，∵AD⊥平面ABC，∴AD⊥BC，∵AO⊥平面DBC，∴AO⊥BC，又∵AD∩AO＝A，∴BC⊥平面AOD，∴BC⊥DH， 在△ADH中，DA⊥AH，AO⊥DH，∴AH2＝OH·DH，S＝2＝BC2·AH2，S△BCO·S△BCD＝BC·OH··BC·DH＝BC2·OH·DH＝BC2·AH2，∴S＝S△BCO·S△BCD，故选A.答案：A6．已知数列{an}满足an＋1＝an－an－1(n≥2，n∈N*)，a1＝a，a2＝b，记Sn＝a1＋a2＋…＋an，则下列选项中正确的是(  )A．a100＝－a，S100＝2b－aB．a100＝－b，S100＝2b－aC．a100＝－b，S100＝b－aD．a100＝－a，S100＝b－a解析：∵an＋1＝an－an－1，a1＝a，a2＝b，∴a3＝a2－a1＝b－a，S3＝a1＋a2＋a3＝2b；a4＝a3－a2＝－a，S4＝S3＋a4＝2b－a；a5＝a4－a3＝－b，S5＝S4＋a5＝b－a；a6＝a5－a4＝a－b，S6＝S5＋a6＝0；a7＝a6－a5＝a，S7＝S6＋a7＝a；…，通过观察知an，Sn都是6项一重复，由归纳推理得a100＝a4＝－a，S100＝S4＝2b－a.答案：A二、填空题7．在平面几何中有如下结论：若正三角形ABC的内切圆面积为S1，外接圆面积为S2，则＝.推广到空间几何可以得到类似结论：若正四面体A－BCD的内切球体积为V1，外接球体积为V2，则＝________.解析：在平面几何中，圆的面积与圆的半径的平方成正比，而在空间几何中，球的体积与球的半径的立方成正比．设正四面体A－BCD的棱长为a ，可得其内切球的半径为a，外接球的半径为a，于是得＝.答案：8．观察下列等式：×＝1－，×＋×＝1－，×＋×＋×＝1－，…，由以上等式推测到一个一般的结论：对于n∈N*，×＋×＋×＋…＋×＝________.解析：观察可得×＝1－，×＋×＝1－，∴×＋×＋×＋…＋×＝1－.答案：1－9．(2019·汕头月考)记等差数列{an}的前n项和为Sn，利用倒序相加法的求和办法，可将Sn表示成首项a1，末项an与项数n的一个关系式，即Sn＝；类似地，记等比数列{bn}的前n项积为Tn，bn>0(n∈N*)，类比等差数列的求和方法，可将Tn表示为首项b1，末项bn与项数n的一个关系式，即公式Tn＝________.解析：根据等比数列的性质可知b1bn＝b2bn－1＝…，∴Tn＝b1b2b3…bn，Tn＝bnbn－1bn－2…b1，∴T＝(b1bn)n，∴Tn＝.答案：三、解答题 10．设f(x)＝1＋＋＋…＋(x∈N＋)，通过对n＝2,3,4的探索，猜想n＋f(1)＋f(2)＋…＋f(n－1)与nf(n)(n∈N＋，n≥2)是否相等．解：由f(x)＝1＋＋＋…＋(x∈N＋)得，当n＝2时，2＋f(1)＝2＋1＝3,2f(2)＝2＝3，∴2＋f(1)＝2f(2)；当n＝3时，3＋f(1)＋f(2)＝，3f(3)＝，∴3＋f(1)＋f(2)＝3f(3)；当n＝4时，4＋f(1)＋f(2)＋f(3)＝，4f(4)＝，∴4＋f(1)＋f(2)＋f(3)＝4f(4)．猜想n＋f(1)＋f(2)＋…＋f(n－1)＝nf(n)(n≥2，n∈N＋)．11．(2019·晋江月考)在数列{an}中，a1＝1，当n≥2时，an＝.(1)求a2，a3，a4；(2)猜想数列{an}的通项an，并证明你的结论．解：(1)∵在数列{an}中，a1＝1，当n≥2时，an＝，∴a2＝，a3＝，a4＝.(2)猜想an＝.证明：∵当n≥2时，an＝，∴＝＋，∴－＝， ∴数列是首项为1，公差为的等差数列，∴＝，∴an＝.12．已知：sin230°＋sin290°＋sin2150°＝，sin25°＋sin265°＋sin2125°＝，通过观察上述两等式的规律，请你写出一般性的命题：________＝(*)，并给出(*)式的证明．解：一般形式：sin2α＋sin2(α＋60°)＋sin2(α＋120°)＝.证明：左边＝＋＋＝－[cos2α＋cos(2α＋120°)＋cos(2α＋240°)]＝－(cos2α＋cos2αcos120°－sin2αsin120°＋cos2αcos240°－sin2αsin240°)＝－cos2α－cos2α－sin2α－cos2α＋sin2α＝＝右边，∴sin2α＋sin2(α＋60°)＋sin2(α＋120°)＝成立．将一般形式写成sin2(α－60°)＋sin2α＋sin2(α＋60°)＝，sin2(α－240°)＋sin2(α－120°)＋sin2α＝等均正确．13．(2019·长沙月考)设等差数列{an}的前n项和为Sn，则S4，S8－S4，S12－S8成等差数列；类比以上结论有：设等比数列{bn}的前n项积为Tn，则T4 ，________，________成等比数列．解析：由类比推理可知T4，，成等比数列．答案：