高中数学人教A版选修1-2（同步练习）第3章 3.1.1 数系的扩充和复数的概念

第三章 数系的扩充与复数的引入3.1 数系的扩充和复数的概念3.1.1 数系的扩充和复数的概念课时跟踪检测一、选择题1．下列命题中真命题的个数是(  )①若x，y∈C，则x＋yi＝1＋i的充要条件是x＝y＝1；②若a，b∈R，且a＞b，则a＞b＋i2；③x＝i是方程x2＋1＝0在复数集C中的一个解；④x4＝1在R中有两个解，在复数集C中也有两个解．A．1         B．2C．3D．4解析：∵x，y∈C，∴x＋yi不一定是复数的代数形式，因此不符合复数相等的条件，∴①是假命题；∵a，b∈R，且a＞b，∴a＞b－1＝b＋i2.∴②是真命题；∵x＝i，∴x2＝i2＝－1，∴x2＋1＝0，故③是真命题；x4＝1在R中有两个解为x＝±1.在复数集C中应有4个解为x＝±1或x＝±i，故④是假命题，故选B.答案：B2．已知复数z＝＋i是纯虚数(i为虚数单位)，则tan的值为(  )A．－7B．－C.D．7解析：由题可得∴cosθ＝，sinθ＝－，∴tanθ＝－， ∴tan＝＝＝－7.故选A.答案：A3．已知复数z＝a＋(2－b)i的实部和虚部分别是2和3，则实数a，b的值是(  )A．2,5B．1,3C．2，－1D．2,1解析：由题可得∴故选C.答案：C4．复数z＝a2－b2＋(a＋|a|)i(a，b∈R)为实数的充要条件是(  )A．|a|＝|b|B．a＜0，且a＝－bC．a＞0，且a≠bD．a≤0解析：z∈R⇔a＋|a|＝0⇔a≤0.答案：D5．已知复数z1＝sin2θ＋icosθ，z2＝cosθ＋isinθ，若z1＝z2，则θ等于(  )A．kπ＋(k∈Z)B．kπ＋(k∈Z)C．2kπ＋(k∈Z)D．2kπ±(k∈Z)解析：∵z1＝z2，∴解得sinθ＝，cosθ＝.∴θ＝2kπ＋(k∈Z)．答案：C6．已知k∈R，关于x的方程x2＋(k＋3i)x＋4＋k＝0有实根的充要条件是(  )A．|k|≥4B．k≥2＋2或k≤2－2C．k＝±3D．k＝－4 解析：x2＋(k＋3i)x＋4＋k＝0可化为(x2＋kx＋4＋k)＋3xi＝0.∵k，x∈R，∴得答案：D二、填空题7．若log2(x2－3x－2)＋ilog2(x2＋2x＋1)>1，则实数x的值为________．解析：∵log2(x2－3x－2)＋ilog2(x2＋2x＋1)>1，∴∴x＝－2.答案：－28．满足x2＋2x＋3i＝m＋xi(x，m∈R)的m的值为________．解析：由已知可得∴m＝15.答案：159．下列命题：①ab＝0，则a＝0或b＝0；②z＝a＋bi(a，b∈R)为纯虚数的充要条件是a＝0；③若z＝a＋bi，且z∈R，则b＝0；④z＝a＋bi(a，b∈R)，若z＞0，则a＞0，且b＝0.其中正确命题的序号是________．解析：①正确．在复数集C内，ab＝0，则a＝0或b＝0成立．②错．z＝a＋bi(a，b∈R)为纯虚数，则a＝0，且b≠0.③错．因z＝a＋bi并不一定是代数形式．④正确．答案：①④三、解答题10．已知m∈R，复数z＝＋(m2＋2m－3)i，当m为何值时(1)z∈R；(2)z是纯虚数；(3)z是虚数；(4)z＝＋4i. 解：(1)∵z∈R.∴∴m＝－3.∴当m＝－3时，z∈R. (2)∵z是纯虚数，∴∴m＝0或m＝－2.∴当m＝0或m＝－2时，z为纯虚数．(3)∵z是虚数，∴∴m≠1且m≠－3.∴当m≠1且m≠－3时，z是虚数．(4)∵z＝＋4i，∴此方程组无解，故不存在m值使得z＝＋4i.11．(2019·庆阳二中月考)已知复数z＝m(m－1)＋(m2＋2m－3)i(m∈R)．(1)若z是实数，求m的值；(2)若z是纯虚数，求m的值．解：(1)若z是实数，则m2＋2m－3＝0，解得m＝1或m＝－3.(2)若z是纯虚数，则∴m＝0.12．求适合方程xy－(x2＋y2)i＝2－5i的实数x，y的值．解：由题得解得或或或13．已知z1＝－4a＋1＋(2a2＋3a)i，z2＝2a＋(a2＋a)i，其中a∈R，z1＞z2，则a的值为________．解析：由题意得解得a＝0.答案：0