高中数学人教A版选修2-1（同步练习）阶段性测试题三

阶段性测试题三第三章 空间向量与立体几何(时间：120分钟 满分：150分)第Ⅰ卷(选择题，共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知正方体ABCD－A1B1C1D1中，点E为上底面A1C1的中心，若＝＋x＋y，则x，y的值分别为(  )A．x＝1，y＝1B．x＝1，y＝C．x＝，y＝D．x＝，y＝1解析：如图，＝＋＝1＋＝1＋(＋)＝1＋＋∴x＝，y＝.答案：C2．已知A(1,2，－1)，B为A关于平面xOy的对称点，C为B关于y轴的对称点，则＝(  )A．(－2,0，－2)B．(2,0,2)C．(－1,0，－1)D．(0，－2，－2)解析：由题意可知，B(1,2,1)，C(－1,2，－1)，∴＝(－2,0，－2)． 答案：A3．已知在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝2AB，E为AA1的中点，则异面直线BE与CD1所成的角的余弦值为(  )A.B．C.D．解析：如图所示，建立空间直角坐标系D－xyz，设AB＝1，则AA1＝2，∴B(1,1,0)，E(1,0,1)，C(0,1,0)，D1(0,0,2)，∴＝(0，－1,1)，＝(0，－1,2)，∴cos〈，〉＝＝.答案：C4．(2018·长春模拟)如图所示，正三棱锥A－BCD的底面与正四面体E－BCD的侧面BCD重合，连接AE，则异面直线AE与CD所成角的大小为(  )A．30°B．45°C．60°D．90°解析：∵如图，正三棱锥A－BCD的底面与正四面体E－BCD的侧面BCD重合，△BCD是等边三角形，∴AE过△BCD的中心，∴AE⊥平面BCD，∴异面直线AE与CD所成角的大小为90°.答案：D 5．如图，正方形ABCD与矩形ACEF所在平面互相垂直，AB＝，AF＝1，M在EF上，且AM∥平面BDE，则M点的坐标为(  )A．(1,1,1)B.，，1C.，，1D.，，1解析：设M点的坐标为(x，y,1)，连接OE，则O，，0，又E(0,0,1)，A(，，0)，∴＝－，－，1，＝(x－，y－，1)．∵AM∥平面BDE，∴∥，∴∴则M点的坐标为，，1.答案：C6．如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，AA1＝，AD＝2，P为C1D1的中点，M为BC的中点，则AM与PM所成的角为(  )A．60°B．45°C．90°D．以上都不对解析：建立空间直角坐标系D－xyz，如图所示，依题意，得A(2，0,0)，P(0,1，)，M(，2,0)． ∴＝(，1，－)，＝(－，2,0)，∴·＝－2＋2＋0＝0.∴⊥，即AM与PM所成的角为90°.答案：C7．已知空间四个点A(1,1,1)，B(－4,0,2)，C(－3，－1,0)，D(－1,0,4)，则直线AD与平面ABC所成的角为(  )A．60°B．45°C．30°D．90°解析：设m＝(x，y，z)为平面ABC的法向量，由题意得得令z＝1，得∴m＝，则AD与平面ABC所成角θ满足sinθ＝＝，又θ∈，∴θ＝30°.答案：C8．如图，矩形CDEF和梯形ABCD所在的平面互相垂直，∠BAD＝∠ADC＝90°，AB＝AD＝DE＝CD，则DE与平面EBC所成角的正弦值为(  )A.B． C.D．解析：平面CDEF⊥平面ABCD，平面CDEF∩平面ABCD＝CD，DE⊂平面CDEF，DE⊥CD，∴DE⊥平面ABCD.以D为坐标原点，，，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向，建立空间直角坐标系D－xyz，设DA＝a，则B(a，a,0)，E(0,0，a)，C(0,2a,0)，∴＝(－a，－a，a)，＝(0,0，a)，＝(－a，a,0)，设平面EBC的法向量m＝(x，y，z)．则即取x＝1，则m＝(1,1,2)．设DE与平面EBC所成的角为θ，则sinθ＝＝＝.答案：B9．在直三棱柱A1B1C1－ABC中，∠BAC＝，AB＝AC＝AA1＝1，已知G和E分别为A1B1和CC1的中点，D与F分别为线段AC和AB上的动点(不包括端点)，若GD⊥EF，则线段DF的长度的取值范围为(  )A.，1B．，1C.，1D．，1解析：建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0,0,0)，E0,1，，G，0,1，F(x,0,0)，D(0，y,0)．因为GD⊥EF，即⊥，且＝－，y，－1，＝x ，－1，－，所以x＋2y－1＝0，DF＝＝＝.当y＝时，线段DF长度的最小值是；当y＝1时，线段DF长度的最大值是1.因为不包括端点，所以y＝1不能取．故选A.答案：A10．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，BB1与平面ACD1所成角的正弦值为(  )A.B．C.D．解析：不妨设正方体的棱长为1，如图建立空间直角坐标系D－xyz，则D(0,0,0)，B(1,1,0)，B1(1,1,1)．平面ACD1的一个法向量为＝(1,1,1)．又＝(0,0,1)，则cos〈，〉＝＝＝.故BB1与平面ACD1所成角的正弦值为.答案：B 11．已知三棱锥底面是边长为1的等边三角形，侧棱长均为2，则侧棱与底面所成角的余弦值为(  )A.B．C.D．解析：如图所示，三棱锥A－BCD，顶点A在底面的射影为O，O为底边的中心，连接BO，则∠ABO为侧棱与底面所成的角，由题可得，BO＝×1×＝，∴cos∠ABO＝＝.答案：D12．如图所示，在四面体P－ABC中，PC⊥平面ABC，AB＝BC＝CA＝PC，那么二面角B－AP－C的余弦值为(  )A.B．C.D．解析：以C为原点，CA所在的直线为x轴，过C作AC的垂线为y轴．建立空间直角坐标系C－xyz，如图所示．设AB＝BC＝CA＝PC＝2，∴A(2,0,0)，B(1，，0)，P(0,0,2)，取AC的中点D，则D(1,0,0)，＝(2,0，－2)，＝(2,0,0)，∴＝(0，，0)，∵·＝0，·＝0，∴是平面PAC的一个法向量．设平面PAB的法向量为n＝(x，y，z)，＝(－1，，0)，则∴令x＝，y＝1，z＝， ∴n＝(，1，)，∴cos〈n，〉＝＝.答案：C第Ⅱ卷(非选择题，共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分，把答案填写在题中的横线上)13．若空间三点A(1,5，－2)，B(2,4,1)，C(p,3，q＋2)共线，则p＝________，q＝________.解析：∵＝(1，－1,3)，＝(p－1，－2，q＋4)，又A，B，C三点共线，∴＝＝.∴p＝3，q＝2.答案：3 214．在空间直角坐标系O－xyz中，已知A(1，－2,3)，B(2,1，－1)，若直线AB交平面xOz于点C，则C点的坐标为________．解析：∵点C在平面xOz内，∴可设C的坐标为(x,0，z)．又A(1，－2,3)，B(2,1，－1)，∴＝(x－1,2，z－3)．＝(1,3，－4)．∵A，B，C三点共线，∴＝＝，∴x＝，z＝.∴C的坐标为.答案：15．正△ABC与正△BCD所在平面垂直，则二面角A－BD－C的正弦值为________． 解析：取BC的中点O，连接AO，DO，建立如图所示的空间直角坐标系O－xyz.设BC＝1，则A，O(0,0,0)，B，D，所以＝，＝，＝.则＝为平面BCD的一个法向量．设平面ABD的法向量为n＝(x，y，z)，则所以取x＝1，则y＝－，z＝1，所以平面ABD的一个法向量为n＝(1，－，1)，所以cos〈n，〉＝，sin〈n，〉＝.答案：16．给出下列命题：①直线l的方向向量为a＝(1，－1,2)，直线m的方向向量为b＝2,1，－，则l与m垂直；②直线l的方向向量为a＝(0,1，－1)，平面α的法向量为n＝(1，－1，－1)，则l⊥α；③平面α，β的法向量分别为n1＝(0,1,3)，n2＝(1,0,2)，则α∥β；④平面α经过三点A(1,0，－1)，B(0,1,0)，C(－1,2,0)，向量n＝(1，u，t )是平面α的法向量，则u＋t＝1.其中真命题的是________(把正确命题的序号都填上)．解析：∵a＝(1，－1,2)，b＝2,1，－，则a·b＝1×2＋(－1)×1＋2×－＝0，则a⊥b，∴直线l与m垂直，故①正确；a＝(0,1，－1)，n＝(1，－1，－1)，则a·n＝0×1＋1×(－1)＋(－1)×(－1)＝0.则a⊥n，∴l∥α或l⊂α，故②错误；∵n1＝(0,1,3)，n2＝(1,0,2)，∴n1与n2不共线，∴α∥β不成立，故③错误；∵点A(1,0，－1)，B(0,1,0)，C(－1,2,0)，∴＝(－1,1,1)，＝(－1,1,0)，∵向量n＝(1，u，t)是平面α的法向量，∴即解得u＋t＝1，故④正确．综上所述，其中真命题是①④.答案：①④三、解答题(本大题共6小题，满分70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(10分)(2019·北京卷)如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD⊥CD，AD∥BC，PA＝AD＝CD＝2，BC＝3.E为PD的中点，点F在PC上，且＝.(1)求证：CD⊥平面PAD；(2)求二面角F－AE－P的余弦值；(3)设点G在PB上，且＝.判断直线AG是否在平面AEF内，说明理由．解：(1)证明：因为PA⊥平面ABCD，所以PA⊥CD.又因为AD⊥CD，所以CD⊥平面PAD.(2)过A作AD的垂线交BC于点M.因为PA⊥平面ABCD，所以PA⊥AM，PA⊥AD. 如图建立空间直角坐标系A－xyz，则A(0,0,0)，B(2，－1,0)，C(2,2,0)，D(0,2,0)，P(0,0,2)．因为E为PD的中点，所以E(0,1,1)．所以＝(0,1,1)，＝(2,2，－2)，＝(0,0,2)．所以＝＝，，－，＝＋＝，，.设平面AEF的法向量为n＝(x，y，z)，则即令z＝1，则y＝－1，x＝－1，于是n＝(－1，－1,1)．又因为平面PAD的一个法向量为p＝(1,0,0)，所以cos〈n，p〉＝＝－.由题知，二面角F－AE－P为锐角，所以其余弦值为.(3)直线AG在平面AEF内，因为点G在PB上，且＝，＝(2，－1，－2)，所以＝＝，－，－，＝＋＝，－，.由(2)知，平面AEF的一个法向量n＝(－1，－1,1)，所以·n＝－＋＋＝0，所以直线AG在平面AEF内．18．(12分)在正三棱柱ABC－A1B1C1中，所有棱的长度都是2，M是BC边的中点，试问：侧棱CC1上是否存在一点N，使得异面直线AB1和MN所成的角等于45°？ 解：以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系A－xyz.因为所有棱长都等于2，所以A(0,0,0)，C(0,2,0)，B(，1,0)，B1(，1,2)，M.假设侧棱CC1上存在点N，可设N(0,2，m)(0≤m≤2)，则＝(，1,2)，＝.于是||＝2，||＝，·＝2m－1.如果异面直线AB1和MN所成的角等于45°，那么向量和的夹角是45°或135°，而cos〈，〉＝＝，所以＝±，解得m＝－，这与0≤m≤2矛盾．所以侧棱CC1上不存在点N，使得异面直线AB1和MN所成的角等于45°.19．(12分)如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为梯形，PD⊥底面ABCD，AB∥CD，AD⊥CD，AD＝AB＝1，BC＝.(1)求证：平面PBD⊥平面PBC；(2)设H为CD上一点，满足2＝3，若直线PC与平面PBD 所成角的正切值为，求二面角H－PB－C的余弦值．解：(1)证明：由AD⊥CD，AB∥CD，AD＝AB＝1，可得BD＝，又BC＝，∠BDC＝，∴BC⊥BD，∵PD⊥底面ABCD，∴BC⊥PD.∵PD∩BD＝D，∴BC⊥平面PBD，∵BC⊂平面PBC，∴平面PBD⊥平面PBC.(2)由(1)可知，∠BPC为PC与底面PBD所成的角．∴tan∠BPC＝，∴PB＝，PD＝1.又2＝3，由(1)知，CD＝2，可得CH＝，DH＝.如图，以D点为坐标原点，DA，DC，DP分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系D－xyz.则B(1,1,0)，P(0,0,1)，C(0,2,0)，H.∴＝，＝(1,1，－1)．设平面HPB的法向量为n＝(x，y，z)，则由得取n＝(1，－5，－4)．同理平面PBC的一个法向量为m＝(1,1,2)．∴cos〈m，n〉＝＝－.又二面角H－PB－C为锐角，∴二面角H－PB－C的余弦值为.20．(12分)(2019·浙江卷)如图，已知三棱柱ABC－A1B1C1，平面A1ACC1⊥平面ABC，∠ABC＝90°，∠BAC ＝30°，A1A＝A1C＝AC，E，F分别是AC，A1B1的中点．(1)证明：EF⊥BC；(2)求直线EF与平面A1BC所成角的余弦值．解：(1)证明：连接A1E，因为A1A＝A1C，E是AC的中点，所以A1E⊥AC.又平面A1ACC1⊥平面ABC，A1E⊂平面A1ACC1，平面A1ACC1∩平面ABC＝AC，所以，A1E⊥平面ABC.如图，以点E为原点，分别以射线EC，EA1为y，z轴的正半轴，建立空间直角坐标系E－xyz.不妨设AC＝4，则A1(0,0,2)，B(，1,0)，B1(，3,2)，F，，2，C(0,2,0)．因此，＝，，2，＝(－，1,0)，由·＝0得EF⊥BC.(2)设直线EF与平面A1BC所成角为θ.由(1)可得，＝(－，1,0)，＝(0,2，－2)．设平面A1BC的法向量为n＝(x，y，z)，由得取n＝(1，，1)，故sinθ＝|cos〈，n〉|＝＝，因此，直线EF与平面A1BC所成的角的余弦值为. 21.(12分)(如图1)等边△ABC的边长为3，点D，E分别是边AB，AC上的点，且满足＝＝，现将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使二面角A1－DE－B为直二面角，连接A1B，A1C(如图2)．(1)求证：A1D⊥平面BCED；(2)在线段BC上是否存在点P，使直线PA1与平面A1BD所成的角为60°，若存在，求出PB的长，若不存在，请说明理由．解：(1)证明：∵等边△ABC的边长为3，且＝＝，∴AD＝1，AE＝2.在△ADE中，∠DAE＝60°，∴由余弦定理得DE＝＝.∵AD2＋DE2＝AE2，∴AD⊥DE.折叠后有A1D⊥DE，二面角A1－DE－B是直二面角，∴平面A1DE⊥平面BCED.又平面A1DE∩平面BCED＝DE，A1D⊂平面A1DE，A1D⊥DE，∴A1D⊥平面BCED.(2)解法一：假设在线段BC上存在点P，使直线PA1与平面A1BD所成的角为60°.如图所示，作PH⊥BD于点H，连接A1H，A1P，由(1)有，A1D⊥平面BCED， 而PH⊂平面BCED，∴A1D⊥PH.又A1D∩BD＝D，∴PH⊥平面A1BD，∴∠PA1H是直线PA1与平面A1BD所成的角．设PB＝x(0≤x≤3)，则BH＝，PH＝x，在Rt△PA1H中，∠PA1H＝60°，∴A1H＝x.在Rt△A1DH中，A1D＝1，DH＝2－x，由A1D2＋DH2＝A1H2，得12＋2＝2，解得x＝，满足0≤x≤3，符合题意．∴在线段BC上存在点P，使直线PA1与平面A1BD所成的角为60°，此时PB＝.解法二：由(1)的证明，可知ED⊥DB，A1D⊥平面BCED.以D为坐标原点，以射线DB，DE，DA1分别为x轴，y轴，z轴的正半轴，建立空间直角坐标系D－xyz如图所示，设PB＝2a(0≤2a≤3)，则BH＝a，PH＝a，DH＝2－a，∴A1(0,0,1)，P(2－a，a,0)，E(0，，0)，∴PA1＝(a－2，－a,1)．∵ED⊥平面A1BD， ∴平面A1BD的一个法向量为＝(0，，0)．∵直线PA1与平面A1BD所成的角为60°，∴sin60°＝，即＝，解得a＝.即PB＝2a＝，满足0≤2a≤3，符合题意，∴在线段BC上存在点P，使直线PA1与平面A1BD所成的角为60°，此时PB＝.22．(12分)四棱锥P－ABCD中，PD⊥平面ABCD,2AD＝AB＝BC＝2a，AD∥BC，PD＝a，∠DAB＝60°.(1)若平面PAD∩平面PBC＝l，求证：l∥BC；(2)求平面PAD与平面PBC所成二面角的大小．解：(1)证明：因为AD∥BC，AD⊂平面PAD，BC⊄平面PAD，所以BC∥平面PAD.又平面PBC过BC，且与平面PAD交于l，所以l∥BC.(2)连接BD，在△ABD中，AD＝a，AB＝2a，∠DAB＝60°，由余弦定理，得BD2＝DA2＋AB2－2DA·ABcos60°，得BD＝a，因为AB2＝AD2＋BD2， 所以△ABD为直角三角形，且BD⊥AD.因为PD⊥平面ABCD，因此，以D为坐标原点，分别以DA，DB，DP所在直线为x，y，z轴，建立如图所示空间直角坐标系D－xyz.因为BD⊥平面PAD，所以是平面PAD的一个法向量，且＝(0，a,0)．设平面PBC的法向量为n＝(x，y，z)．P(0,0，a)，B(0，a,0)，C(－2a，a,0)，所以＝(0，a，－a)，＝(－2a,0,0)，由可得令z＝1，则x＝0，y＝1.得n＝(0,1,1)，所以cos〈，n〉＝＝＝.所以平面PAD与平面PBC所成二面角为45°.