高中数学人教A版选修2-1（同步练习）第3章　3.2 立体几何中的向量方法 第三课时

第三章 空间向量与立体几何3.2 立体几何中的向量方法第三课时 空间向量与空间角课时跟踪检测一、选择题1．已知平面α的一个法向量为n1＝，平面β的一个法向量为n2＝(1，－1,1)，则平面α与β所成的角为(  )A．30°         B．45°C．60°D．90°解析：∵n1·n2＝0，∴α⊥β，∴α与β所成的角为90°.答案：D2．设直线l与平面α相交，且l的方向向量为a，α的法向量为n，若〈a，n〉＝，则l与α所成的角为(  )A.B．C.D．解析：如图所示，直线l与平面α所成的角θ＝－＝.答案：C3．已知向量a＝(1,0，－1)，则下列向量中与a成60°角的向量是(  )A．(－1,1,0)B．(1，－1,0)C．(0，－1,1)D．(－1,0,1) 解析：设b＝(1，－1,0)，则cos〈a，b〉＝＝＝，∴b与a的夹角为60°.答案：B4．(2019·牡丹江中学高二期中)在一个二面角的两个半平面内都和二面角的棱垂直的两个向量分别为(0，－1,3)，(2,2,4)，则这个二面角的余弦值为(  )A.B．－C.D．或－解析：∵＝，∴这个二面角的余弦值为或－.答案：D5．在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AA1＝2，AD＝1，E为CC1的中点，则异面直线BC1与AE所成的角的余弦值为(  )A.B．C.D．解析：以D为坐标原点，建系如图，则B(1,2,0)，C1(0,2,2)，A(1,0,0)，E(0,2,1)，∴＝(－1,0,2)，＝(－1,2,1)．则cos〈，〉＝， ∴异面直线BC1与AE所成的角的余弦值为.答案：B6．(2019·江苏无锡高二期末)如图所示，已知点P为菱形ABCD外一点，且PA⊥平面ABCD，PA＝AD＝AC.点F为PC的中点，则二面角C－BF－D的正切值为(  )A.B．C.D．解析：如图，连接OF，∵四边ABCD为菱形，∴O为AC的中点，AC⊥BD.∵F为PC的中点，∴OF∥PA.∵PA⊥平面ABCD，∴OF⊥平面ABCD.以O为原点，OB，OC，OF所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系O－xyz，设PA＝AD＝AC＝1，则BD＝，∴B，0,0，F0,0，，C0，，0，D－，0,0，结合图形可知，＝0，，0，且为平面BDF的一个法向量．由＝－，，0，＝，0，－，可求得平面BCF的一个法向量n＝(1，，)．∴cos〈n，〉＝，sin〈n，〉＝，∴tan〈n，〉＝.答案：D二、填空题7．若平面α的一个法向量为m＝(1，－2,1)，平面β的一个法向量为n＝(0,1,1)，则平面α与平面β所成的锐二面角的余弦值为________．解析：α与β所成的锐二面角为θ，则cosθ＝＝＝. 答案：8．如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为正方形．PA⊥平面ABCD，且PA＝AB＝1，则平面PAD与平面PBC所成的角的大小为________．解析：建立如图所示的直角坐标系A－xyz，则P(0,0,1)，A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(1,1,0)，D(0,1,0)．显然平面PAD的一个法向量为m＝(1,0,0)，设平面PBC的法向量为n＝(x，y，z)，则即令x＝1，则z＝1，∴n＝(1,0,1)．又cos〈m，n〉＝＝＝.故平面PAD与平面PBC所成的角为45°.答案：45°9．(2018·浙江高二期末)在三棱锥O－ABC中，已知OA，OB，OC两两垂直且相等，点P，Q分别是线段BC和OA上的动点，且满足BP≤BC，AQ≥AO，则PQ和OB所成角的余弦的取值范围是________．解析：根据题意，以O为原点，分别以OA，OB，OC所在直线为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设OA＝OB＝OC＝1，则A(1,0,0)，B(0,1,0)，C(0,0,1)，P(0，b,1－b)≤b≤1，Q(a,0,0)0≤a≤.＝(－a， b,1－b)，＝(0,1,0)，所以cos〈，〉＝＝＝.因为∈[0,1]∈[1,2]所以当a＝0，b＝1时，cos〈，〉＝1取得最大值；当a＝＝b时，cos〈，〉＝，取得最小值，所以PQ和OB所成角的余弦的取值范围是，1.答案：，1三、解答题10．(2019·全国卷Ⅰ)如图，直四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面是菱形，AA1＝4，AB＝2，∠BAD＝60°，E，M，N分别是BC，BB1，A1D的中点．(1)证明：MN∥平面C1DE；(2)求二面角A－MA1－N的正弦值．解：(1)证明：连接B1C，ME.因为M，E分别为BB1，BC的中点，所以ME∥B1C，且ME＝B1C.又因为N为A1D的中点，所以ND＝A1D. 由题设，知A1B1綊DC，可得B1C綊A1D，故ME綊ND，因此四边形MNDE为平行四边形，MN∥ED.又MN⊄平面EDC1，所以MN∥平面C1DE.(2)由已知可得DE⊥DA.以D为坐标原点，的方向为x轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系D－xyz，则A(2,0,0)，A1(2,0,4)，M(1，，2)，N(1,0,2)，＝(0,0，－4)，＝(－1，，－2)，＝(－1,0，－2)，＝(0，－，0)．设m＝(x，y，z)为平面A1MA的法向量，则所以可取m＝(，1,0)．设n＝(p，q，r)为平面A1MN的法向量，则所以可取n＝(2,0，－1)．于是cos〈m，n〉＝＝＝，所以二面角A－MA1－N的正弦值为.11.(2018·衡水模拟)如图，多面体A－PCBE中，四边形PCBE是直角梯形，且PC⊥BC，PE∥BC，平面PCBE⊥平面ABC，AC⊥BE，M是AE的中点，N是PA上的点．(1)若MN∥平面ABC，求证：N是PA的中点；(2)若PE＝BC，且AC＝BC＝PC，求二面角E－AB－C的余弦值． 解：(1)证明：∵PE∥BC，PE⊄平面ABC，BC⊂平面ABC，∴PE∥平面ABC.∵A∈平面ABC，A∈平面PEA，∴平面ABC∩平面PEA＝l且A∈l.∵PE⊂平面PEA，∴PE∥l.∵MN∥平面ABC，∴同理，MN∥l.∴MN∥PE.∵M是AE的中点，∴N是PA的中点．(2)∵平面PCBE⊥平面ABC，平面PCBE∩平面ABC＝BC，PC⊥BC，∴PC⊥平面ABC，则PC⊥AC.∵在梯形PCBE中，PE∥BC，∴PC与BE相交．∵AC⊥BE，∴AC⊥平面PCBE.∵BC⊂平面PCBE，∴AC⊥BC.∴CA，CB，CP两两垂直．则以C为原点，CA，CB，CP所在直线分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系C－xyz，设BC＝3a，则E(0，a,3a)，A(3a,0,0)，B(0,3a,0)，C(0,0,0)，P(0,0,3a)，∴＝(3a，－a，－3a)，＝(0,2a，－3a)．由上知，＝(0,0,3a)是平面ABC的一个法向量．设u＝(x，y，z)是平面EAB的法向量．由得不妨取u＝(3,3,2)．∴cos〈u，〉＝＝＝.由图知，二面角E－AB－C为锐二面角，∴二面角E－AB－C的余弦值为. 12.(2018·全国卷Ⅰ)如图，四边形ABCD为正方形，E，F分别为AD，BC的中点，以DF为折痕把△DFC折起，使点C到达点P位置，且PF⊥BF.(1)证明：平面PEF⊥平面ABFD；(2)求DP与平面ABFD所成角的正弦值．解：(1)证明：由已知可得，BF⊥PF，BF⊥EF，所以BF⊥平面PEF，又BF⊂平面ABFD，所以平面PEF⊥平面ABFD.(2)作PH⊥EF，垂足为H，由(1)得，PH⊥平面ABFD.以H为坐标原点，的方向为y轴正方向，||为单位长度，建立如图所示的空间直角坐标系H－xyz.由(1)可得，DE⊥PE，又DP＝2，DE＝1，所以PE＝，又PF＝1，EF＝2，所以PE⊥PF.从而可得PH＝，EH＝.则H(0,0,0)，P，D，＝，＝为平面ABFD的一个法向量．设DP与平面ABFD所成的角为θ，则sinθ＝＝＝.所以DP与平面ABFD所成角的正弦值为.13．(2018·全国卷Ⅰ)在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD 的中点，则＝(  )A.－B．－C.＋D．＋解析：如图所示，＝＋＝＋＝×(＋)＋(－)＝－.答案：A